Bài tập Vật lí Lớp 12 - Chủ đề: Lưỡng cực điện

Nội dung text: Bài tập Vật lí Lớp 12 - Chủ đề: Lưỡng cực điện

1. LƯỠNG CỰC ĐIỆN Bài 1. a. Tính cường độ điện trường tại một điểm M do lưỡng cực điện với momen lưỡng cực điện bằng p gây ra. Khoảng cách từ M đến lưỡng cực điện là r>>l , trong đó là khoảng cách giữa hai điện tích trong của lưỡng cực điện. Hãy xác định điện thế tại M. b.Tìm phương trình của các đường sức điện của lưỡng cực điện trong hệ tọa độ cực. c. Tìm lực tương tác và thế năng giữa hai lưỡng cực điện pp12, trong trường hợp hai lưỡng cực điện đặt cùng chiều và cách nhau một khoảng d. Bài 2. Trong một tấm phẳng rộng vô hạn có độ dày 2d, mật độ điện tích khối biến thiên theo x quy luật = (-d<x<d), trong đó x là trục vuông góc với tấm phẳng. Trên tấm phẳng này có 0 d một khe nhỏ dọc theo trục x, bên trong khe có một lưỡng cực điện khối lượng m và momen lưỡng cực điện . Tính chu kì của các dao động nhỏ (tịnh tiến) của lưỡng cực dọc theo trục Ox.Coi điện trường trong khe hẹp bằng cường độ điện trường trong tấm điện môi ở cùng một tọa độ x Bài 3. Với sự phân bố của mật độ điện tích mặt ()trên mặt cầu bán kính R như thế nào để điện trường bên trong quả cầu là điện trường đều và bằng E0 ? Khi đó điện trường bên ngoài quả cầu E do nó gây ra bằng bao nhiêu? Bài 4. Một sợi dây bằng đồng rất dài đặt trong điện trường đều . Biết vuông góc trục dây đồng. Tìm sự phân bố điện tích mặt trên dây đồng . Bài 5. Đặt một quả cầu dẫn điện nhưng chưa tích điện vào trong điện trường đều . Hãy tìm trên mặt cầu những điểm mà tại đó : a. Điện trường có giá trị tuyệt đối không đổi. b. Điện trường có giá trị tuyệt đối tăng gấp đôi. PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 1
2. Bài 6. Một quả cầu kim loại chưa tích điện bán kính R, được đặt vào trong điện trường đều E0 (như hình 1.26) a.Cường độ điện trường tại các điểm A,B,C,D gần sát mặt cầu thay đổi như thế nào? b. Hãy xác định các điểm trong không gian sao cho ở đó điện trường E 0 2;E 0 3 Bài 7. Hai quả cầu kim loại có cùng bán kính a, ban đầu chưa tích điện. Sau đó đưa hai quả cầu vào trong điện trường đều sao cho khoảng cách giữa hai tâm hai quả cầu là r (r>>a). a. Lập biểu thức tính mật độ điện mặt cảm ứng trên mỗi quả cầu? Tìm độ lớn và chiều lực tương tác giữa hai quả cầu trong hai trường hợp : b. song song với đường nối tâm hai quả cầu.(1.29) c. vuông góc với đường nối tâm hai quả cầu.(1.30) Bài 8. Một thanh trụ kim loại tích điện q, được bao quanh một vỏ hình trụ kim loại cùng chiều dài và đặt đồng trục mang điện tích -2q. Hãy xác định sự phân bố điện tích q tại: a.Mặt trong vỏ trụ kim loại. b.Mặt ngoài vỏ trụ kim loại. Coi chiều dài thanh trụ và vỏ trụ rất lớn so với các bán kính của chúng. Bài 9. Đoạn dây AB thẳng, tích điện đều, mật độ điện dài  > 0. Chọn V = 0. 1- Xác định vectơ cường độ điện trường E và điện thế V tại: a. Điểm O cách dây một đoạn h, nhìn AB dưới góc 1 và 2 . b. Điểm M trên đường trung trực của dây, cách dây một đoạn h. c. Điểm N rất gần dây (khoảng cách h rất nhỏ so với độ dài AB). d. Điểm P trên đường AB kéo dài. 2- Tính công của lực điện khi 1 hạt anpha di chuyển dọc theo đường trung trực của dây từ khoảng cách h1 đến h2 (h2 > h1). Biết AB có độ dài 2L. Bài 10. Tán xạ ion của một nguyên tử trung hòa Một ion có khối lượng m, điện tích Q, chuyển động với vận tốc ban đầu phi tương đối tính v0 ở rất xa, đi vào vùng không gian lân cận của một nguyên tử trung hòa có khối lượng Mm và có hệ số phân cực điện . Thông số va chạm là b như hình vẽ. PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 2
3. Nguyên tử bị phân cực bởi dưới tác dụng của điện trường của ion. Khi đó, nguyên tử trở thành một lưỡng cực điện có momen lưỡng cực pE= . Bỏ qua sự mất mát năng lượng do bức xạ trong quá trình này; p=2aq, r>>a 1. Tính cường độ điện trường E p tại điểm cách lưỡng cực một khoảng r, hướng dọc theo phương p . 2. Tìm biểu thức của lực f do nguyên tử phân cực tác dụng lên ion. Chứng tỏ rằng lực này luôn là lực hút bất kể dấu điện tích của ion. 3. Tính thế năng tương tác của hệ ion – nguyên tử trên đây theo , Q và r. 4. Tính khoảng cách ngắn nhất rmin giữa nguyên tử và ion. 5. Nếu thông số va chạm b luôn nhỏ hơn một giá trị tới hạn b0 , ion sẽ chuyển động theo đường xoắn ốc tới nguyên tử. Trong trường hợp như vậy, ion sẽ bị trung hòa, còn nguyên tử sẽ tích điện. 2 Quá trình này được gọi là tương tác “trao đổi điện tích”. Tiết diện tán xạ Ab= 0 của va chạm trao đổi điện tích này bằng bao nhiêu? Bài 11. Lưỡng cực điện nằm trong điện trường đều. Góc hợp bởi hai vectơ -10 3 0 mô men lưỡng cực pe =3,2.10 Cm và E = 10 V/m là =60 . Tính công cần thiết để xoay lưỡng cực điện 1800. Bài 12.Trong mặt phẳng Oxy người ta đặt cố định tại gốc tọa độ O một lưỡng cực điện có momen lưỡng cực p . Véc tơ nằm trên trục Ox và hướng theo chiều dương của Ox( hình vẽ). Một hạt nhỏ có khối lượng m, tích điện q chuyển động ở vùng xa gốc O trong mặt phẳng Oxy dưới tác dụng của điện trường gây bởi lưỡng cực. Bỏ qua tác dụng của trọng lực và lực cản. Xét chuyển động của hạt trong hệ tọa độ cực. Vị trí hạt ở thời điểm t được xác định bởi véc tơ r= OM và góc  = (,)OM p . 1. Chứng minh rằng chuyển động của hạt tuân theo các phương trình vi phân sau: qpsin (r 2 ')'= (1) 4  mr 2 0 2W r'2 += rr ''0 (2) m Trong đó W0 là năng lượng ban đầu của hạt. 2. Biết tại thời điểm t=0 hạt ở vị trí M0 có r(0)=r0; (0) = 0 ; r’(0)=r0’; '(0)= 0 '. Hãy xác định khoảng cách r(t) từ hạt tới gốc O theo t. 3. Tìm các điều kiện để hạt chuyển động theo quỹ đạo là cung tròn tâm O bán kính r0. Tính chu kì và tốc độ góc cực đại của hạt. Mô tả chuyển động của hạt trong hai trường hợp: q>0 và q<0. PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 3
4. /2 d Cho 2,62 0 cos Bài 13. Một lưỡng cực được đặt tại một điểm có tọa độ Descartes (x, y, z) trong trường hợp EE= (x)ex Nhờ mô hình nhóm đôi và biểu thức của nó, hãy tính lực tác dụng lên lưỡng cực khi: a. p song song với ex b. vuông góc với Bài 14. Trong mẫu này, một nguyên tử hydro được biểu diễn bằng một hạt nhân có điện tích e chiếm một khối cầu bán kính R, ở bên trong khối cầu có điện tích được phân bố đều. Electron có điện tích −e , có khả năng vận động ở bên trong khối cầu tích điện dương. a.Electron vận động trong quả cầu có bán kính R chịu lực nào? Vị trí cân bằng của nó ở đâu? b.Bản chất quỹ đạo của electron, giả thiết nằm trong khối cầu là gì? Tìm giá trị trung bình của mômen lưỡng cực của nguyên tử này? c.Đặt một trường E0 lên nguyên tử này, hạt nhân được giả thiết đứng yên. Nếu electron vẫn còn ở bên trong quả cầu bán kính R, thì có những thay đổi gì đối với các kết quả trên do có trường đặt vào? Đặc biệt chứng tỏ rằng momen lưỡng cực trung bình có dạng pE = 0 0 , trong đó α gọi là hệ số phân cực của nguyên tử. Hỏi thứ nguyên của α? Cỡ lớn của nó? d.Với giá trị nào của trường ngoài thì nguyên tử này sẽ bị ion hóa? Bài 15. Một quả cầu tâm O bán kính R mang mật độ điện mặt = 0 cos  . Hãy xác định điện trường và điện thế tạo ra bởi phân bố này ở bên trong và bên ngoài quả cầu (chọn V = 0 ở O). Bình luận đặc tính của trường tại r = R. Chỉ dẫn: Ta sẽ sử dụng sự tương đương giữa phân bố này và sự chồng chất của hai phân bố điện tích tương ứng với hai khối cầu tích điện đều − và + , có bán kính R, có các tâm O1 và O2 trên trục Oz, và lần lượt có các hoành độ là −a và +a ở giới hạn a tiến tới O với a== cte 0 . Bài 16. Tính số hạng đầu tiên khác 0 của điện thế tạo ra ở khoảng cách lớn bởi phân bố ba điện tích được mô tả trên sơ đồ dưới đây. Bài 17. Bốn điện tích được bố trí trong mặt phẳng xOy: q tại (a,0) và tại (-a,0); -q tại (0,a) và tại (0,-a). Hãy tính điện trường tạo ra bởi phân bố điện tích với r ≫ a, và r ≪ a, trong mặt phẳng xOy. (Ta sẽ giới hạn ở các số hạng đầu tiên khác 0 của sự khai triển). PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 4
5. q Bài 18. Cho một vòng tròn trục Oz mang mật độ điện dài  = nếu x > a q 0 và  =− nếu x < 0. Hãy tính điện trường tạo ra bởi phân bố điện tích a trên tại một điểm M, nằm trong mặt phẳng của vòng tròn nhưng ở rất xa vòng tròn này (r ≫ a) Bài 19. Một cái vòng có bán kính R, mang mật độ điện dài đều  . a.Hãy tính điện trường tĩnh điện tạo ra bởi vòng ở trên trục của nó, cũng như ở lân cận trục này. b.Những tác dụng cơ học nào do vòng đặt vào lưỡng cực? Hãy đưa ra ba phương pháp để thực hiện phép tính này. c.Từ đây về sau, ta lấy = 0 . Lưỡng cực có thể trượt không ma sát trên trục nằm ngang. Hãy xác định vị trí cân bằng hay các vị trí cân bằng. Biện luận tính bền của chúng và tính chu kỳ của các dao động nhỏ của lưỡng cực, khối lượng m, nếu có dọc theo trục. Bài 20. Cho một lưỡng cực p1 ở điểm O và một lưỡng cực p2 ở điểm M ()OM= r . Lưỡng cực tạo ra trường tĩnh điện E1 , lưỡng cực tạo ra trường tĩnh điện E2 . a.Hỏi giữa hai lưỡng cực có thế năng tương tác nào? b. tác dụng lên lực nào? HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Bài 1. 3(p . r ) r p a. E =− rr53 b.Phân tích véc tơ p=+ p p⊥ (song song và vuông góc với véc tơ bán kính r ). Điện trường tương ứng của chúng tại điểm A: 2p 2p EE=; = − ⊥ rr33⊥ Gọi góc  giữa véc tơ r và đường sức điện trường được xác định bởi công thức : Ep1 tan=⊥⊥ = = tan  ;  =  pp , Ep22 ( ) 6pp c. F = 12 d 4 PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 5
6. Hình chiếu của một đoạn đường sức điện trường vô cùng nhỏ lên phương của véc tơ p⊥ . Một dr tan mặt có thể tính bằng dr tan  = ; mặt khác nó bằng dr tan . 2 dr tan Từ đó suy ra = rd 2 Lấy tích phân biểu thức trên ta nhận được phương trình của đường sức cần tìm là rr= sin2  ; r là độ dài véc tơ r khi  = 0 0 2 md Bài 2. ĐS: T = 0 3E Bài 3. = 0 cos , bên ngoài mặt cầu thì điện trường của lưỡng cực điện liên hệ với momen 4 lưỡng cực điện p= R3 E E Bài 4 (  )= 0 cos  . 2 r Bài 5. a.Điện trường bên ngoài quả cầu(hình ) EEA = 3 cos 0 r 1 EE= →cos = A 0 3 PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 6
7. 2 b. cos = 3 Bài 6.a. Tại các điểm A và B cường độ điện trường tăng lên 3 lần, còn lại tại các điểm C và D cường độ điện trường bằng không. b. Xem hình a, điện trường tăng lên hai lần tại các điểm A1 và A2 nằm cách tâm O(3 điểm này 3 thẳng hàng cùng phương với E0 ) của quả cầu một đoạn rR= 2 3 Cường độ điện trường giảm đi ba lần tại các điểm trên đường tròn bán kính rR= 3 có tâm 2 trùng với O. mặt phẳng chứa đường trò này vuông góc với véc tơ −24  a6 Bài 7. a. FEE 0 ( hút nhau) r 4 00 aE62 b. Fe 12  0 ( đẩy nhau) 0 r 4 r Bài 8. Hướng dẫn: Áp dụng định lý O-G ĐS a. q ; b.-q Bài 9. . Hướng dẫn: Áp dụng định lý O-G Bài 10. 1.Cường độ điện trường tại P nằm trên đường định phương của lưỡng cực được xác định bởi: −kq kq42 kqa k p EP = + r r = 2233 (r+− a) ( r a) rr kQ 2.Khi đó, momen lưỡng cực của nguyên tử được xác định: p= E = − r . r2 2k p k22 Q lực do lưỡng cực tác dụng lên ion: f= QEP = Q = −2 r rr35 r Vì lực f ngược hướng với r = , nghĩa là hướng về phía lưỡng cực nên lực này là lực hút. r PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 7
8. kQ22 3.Thế năng tương tác của hệ được tính từ Ur( ) =− 2r4 b4 k22 Q 4. rmin =11 + − 24 2 mv0 b 5. Do đó, tiết diện tán xạ của tương tác trao đổi điện tích ứng với hệ này là: 2 2 kQ Ab== 0 vm0 Bài 11. A==2 pE cos 3,2.10−7 J q ( pr. ) o +=r 2 0 4 3 o 2  omr0 Bài 12. 2. 2  oomr ; 3.T =10.48 qp ro = 0 dE() x Bài 13. a. F= qd ex dx b.Khi lưỡng cực vuông góc với trường, ví dụ: p= p. ey , thì phép tính ở trên cho ngay: F = 0 e2 Bài 14 a. fr= 3 hướng về điểm O. Lực này bằng không ở O, O là vị trí cân bằng của 4  0 R electron. 2 v0 e b. r( t )=+ r0 cos t sin t , trong đó:  = 3  4  0mR Quỹ đạo là một elip tâm O. Mômen lưỡng cực tức thời của nguyên tử p=− er . Giá trị trung bình của nó bằng 0. c. Nếu electron vẫn ở trong quả cầu, nó sẽ có cùng quỹ đạo, lệch đi một vecto không đổi: elip sẽ 3 4  0R có tâm tại: rE = 0 . e Hệ số phân cực của nguyên tử = 4 R3 , đồng nhất với một thể tích và có cỡ lớn của R3 với R = 0,1nm. e2 d.Lực kéo về là cực đại với r = R, có chuẩn fmax = 2 (ở bên ngoài quả cầu, lực này giảm theo 4  0 R 1 từ giá trị này). r 2 Nó không còn có thể bù được lực do trường E0 tác dụng khi chuẩn của trường này vượt quá: e 11− 1 E0max = 2 . Khi đó có sự ion hóa nguyên tử. Với R = 0,1nm, trường này vào cỡ 10Vm . (rất 4  0 R lớn, trường phá hủy không khí khô vào khoảng 3.1061Vm . − ). Các trường mà ta đặt vào nguyên tử PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 8
9. nói chung nhỏ hơn rất nhiều, và khi đó chỉ có tác dụng gây ra nhiễu loạn nhỏ trên nguyên tử, nghĩa là tuyến tính ở phép gần đúng cấp một. Mẫu nguyên tử này, mặc dầu khá lạ, có tính chất lý thú là giải thích được sự phân cực tuyến tính, và cho được một cỡ lớn của hệ số phân cực rất phù hợp với các giá trị thường dùng đối với sự phân cực điện tử. a Bài 15. Ở bên trong quả cầu: E() M= − O12 O = ez 3300  0 Ở giới hạn a tiến tới 0, ta thu được: Ee=− z đều ở bên trong 30 quả cầu.  Từ đó suy ra thế:V( M )== 00 z r cos 3300 Ở bên ngoài quả cầu: 3 2R  0 cos Er = R3 cos 3 r3 V = 0 và E = 0 3 r 2 3 0 R  0 sin E0 = . 3 30 r Ta xác nhận rằng thế là liên tục trên quả cầu, rằng thành phần tiếp tuyến của trường ( E0 ) là liên tục, và rằng sự gián đọa  của thành phần pháp tuyến ( Er ) cũng bằng nint→ext ( n hướng từ 0 trong ra ngoài). Trên các mô phỏng dưới đây, ta thể hiện rõ các đẳng thế và các đường sức trường cũng như sự biến đổi của thế trong mặt phẳng chứa trục Oz. Sự biến đổi của điện thế tạo ra bởi một quả cầu tích điện: = 00cos  (  0) . Ta thể hiện rõ mặt phẳng nghiêng tương ứng với miền có trường đều. Bài 16. Ta phải tính toán triển khai có giới hạn của thế tới bậc 3 của 1 (ít nhất) r qd 221− 3cos  Vr() 3 48  0r Số hạng đầu tiên khác 0 là thuộc loại tứ cực. Các mô phỏng sau đây mô tả hình dáng của các đường sức trường và các đẳng thế cũng như hình dáng của thế. Ta thể hiện khá rõ ràng các đẳng 2 thế: V = 0 , với  = và  = . 3 3 PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 9
10. Các đường sức trường và các đẳng thế thuộc hệ các điện tích (-q, 2q, -q). Sự biến đổi của thế tạo ra bởi hệ điện tích (-q, 2q, -q). Thế này tiến rất nhanh về 0 (số hạng 1 ) r3 3qa2 Bài 17. Khi r>>a, E = 3(2cos2  − 1)e + 2sin 2 .e 4 r  4  0r 3qr Ở khoảng cách r << a, E = −2(2cos2  − 1)e + 2sin 2 .e 3 r  4  0a Sự biến đổi của thế tạo ra bởi bốn điện tích. Thế tiến rất nhanh về 0 (số hạng ). Các mô phỏng trên đây mô tả hình dáng của các đường sức trường và các đẳng thế, cũng như 3 hình dáng của thế. Ta thể hiện khá rõ các đẳng thế V = 0 , với  = và  = . 4 4 Rz Bài 19.a.Trên trục, trường của vòng bằng: Ee= z 2 223/2 0 zR+ PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 10
11. Ở lân cận của trục, theo cấp 1 của r, ta sẽ có: 22 r dEtruc R z R− 2 z E(,) r z = Etrục (z ) ezr−+ e =3/2ezz + r 3/2 e + 2 2 2 2 2 dz z 20 z++ R z R sin dEtruc b. F= p − erz + cos e 2 dz z p R R22− 2 z c.Đối với một lưỡng cực p= p. ez , lực phải chịu là: Fe= z 2 225/2 0 zR+ R Vậy có hai vị trí cân bằng: z = 2 R R Ta hãy khảo sát chuyển động của lưỡng cực ở lân cận z = và đặt z =+ 2 2 z Đối với một lưỡng cực có khối lượng m, trượt dọc trên trục Oz chỉ chịu duy nhất lực tác dụng trên dọc theo Oz, thì phương trình chuyển động lân cận vị trí cân bằng đã tuyến tính hóa là: d 2 8p m z =−  2 3 z dt 930 R Đó là một phương trình của dao động tử điều hòa, vị trí cân bằng này là bền. Ngược lại vị trí R cân bằng kia z =− là không bền. 2 Bài 20 a.Thế năng tương tác giữa hai lưỡng cực cho bởi công thức: Ep = − p1 E 2 = − p 2 E 1 2 1 3(p11 . r ) r− r p Trường tạo ra bởi lưỡng cực p1 tại r là: Er1()= 5 4  0 r 2 1 −+3(p1 . r )( p 2 . r ) r ( p 1 . p 2 ) Vậy thế năng tương tác bằng: −=pE21. 5 4  0 r Chú ý rằng hệ thức này rõ ràng là đối xứng với  p2 . b.Lực tác dụng của lưỡng cực thứ nhất lên lưỡng cực thứ hai: 3 ppe1(.) 2r+ ppe 2 (.) 1 r + epp r 1 . 2 − 5(.)(.) pepe 1 r 2 r −=F 4  r 4 0 Vậy, lực tức thời là hàm theo 1 . r 4 PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 11
12. PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK-ĐHQG TP HCM 12