30 Bộ đề Bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: 30 Bộ đề Bồi dưỡng HSG môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. §Ò 1 C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 hy so s¸nh: 1 1 1 1 a. A= +++ .... + víi 1 . 2 3 4222 n2 1 1 1 1 b. B = +++ ... + víi 1/2 2 4 6222 ()2n 2 3 4 n +1 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña α , víi α 2 3 4 +++= .... + n+1 2 3 n C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l−ît ®é di hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ l 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox v oy lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A v B ®Ó cho AB cã ®é di nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c v ++ cba l c¸c sè h÷u tØ. §Ò 2: Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính  1 1 2  2 3  18− (0,06:7 + 3 .0,38) : 19− 2 .4   6 2 5  3 4  Bài 2: (4 điểm): Cho a= c chứng minh rằng: c b 2+ 2 2− 2 − a) a c= a b) b a= b a b2 + c2 b a2 + c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x + − 4= − 2 b) −x + = x − 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC 1
2. Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ℕ biết: 25−y2 = 8( x − 2009)2 §Ò 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 12 5− 6 2 10 3− 5 2 = 2.3 4.9− 5.7 25.49 A 6 3 ()22 .3+ 8 4 .3 5 ()125.7+ 59 .14 3 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2− 2 n + 2 + 3n− 2 n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x − + =() −3,2 + 3 5 5 x+1 x+11 b. ()x−7 −() x − 7 = 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo :: . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 2+ 2 b) Cho a= c . Chứng minh rằng: a c= a c b b2 + c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ()HB∈ C . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM=BC §Ò 4 Bi 1: (2 ®iÓm) 2
3. Cho A = 25+811+1417+ +98101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z v x− 2 y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z v xy = 90. y+ z +1 x+ z + 2 x + y − 3 1 c, = = = x y z x+ y + z Bi 3: ( 1 ®iÓm) a a a a a 1= 2 =3 = =8 = 9 1. Cho ... v (a1+a2+ +a9 ≠0) a2 a 3 a 4 a9 a 1 Chøng minh: a1 = a2 = a3= = a9 + + − + 2. Cho tØ lÖ thøc: a b c= a b c v b ≠ 0 a+ b − c a − b − c Chøng minh c = 0 Bi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 l ho¸n vÞ cña 5 sè ® cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1b1).(a2b2).(a3b3).(a4b4).(a5b5) ⋮ 2 Bi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB v O l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax v By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D v F sao cho AC = BD v AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt=== §Ò 5 Bi 1: (3 ®iÓm)   1   4,5: 47,375− 26 − 18.0,75 .2,4 : 0,88  3  1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:     2 5 17,81:1,37− 23 :1 3 6 3
4. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x v y tho¶ mn: 2x − 272007 +() 3y + 102008 = 0 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab l b×nh ph−¬ng cña sè tù nhiªn. Bi 2: ( 2 ®iÓm) − − − 1. T×m x,y,z biÕt: x1= y 2 = z 3 v x2y+3z = 10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 v tho¶ mn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 3+ 3 + 3 Chøng minh r»ng: a b c= a b3+ c 3 + d 3 d Bi 3: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: + + +... + > 10 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = 18 2x− 6 −3 y + 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E l ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK l tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== §Ò sè 6 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ mn: a,5x3 4 c, 4 x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =x +8 x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+...+102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202 C©u 5 : 4
5. Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD HÕt §Ò sè 7 Thêi gian lm bi: 120 phót 3 a b c  a+ b + c  a C©u 1 . ( 2®) Cho: = = . Chøng minh:   = . b c d  b+ c + d  d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = = = . b+ c a+ b c+ a C©u 3. (2®). T×m x∈ Z ®Ó A∈ Z v t×m gi¸ trÞ ®ã. x + 3 1− 2x a). A = . b). A = . x − 2 x + 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x − 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho
   ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh
   MHK vu«ng c©n. HÕt §Ò sè 8 Thêi gian lm bi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é di l 4,12 ,a . BiÕt r»ng a l mét sè tù nhiªn. T×m a ? a c 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®−îc c¸c b d tØ lÖ thøc: a c a+ b c+ d a) = . b) = . a− b c− d b d C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | xa| + | xb| + |xc| + | xd| víi a<b<c<d. C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ. a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. x A vBi 5
6. y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l−ît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 AN + BP + CM = AP + BM + CN HÕt §Ò sè 9 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1(2®): 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + + + +... + 23 2 4 25 2100 b) T×m n ∈Z sao cho : 2n 3 ⋮ n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x 2x + 1 = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x1) = 2(y2), 4(y2) = 3(z3) v 2x+3yz = 50. C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng 213 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu 70 cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I l trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hng. C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + 1 = 1 7 y HÕt §Ò sè 10 Thêi gian lm bi: 120’. C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = + + +.... + . 2.1 3.2 4.3 99.100 1 1 1 1 b) B = 1+ (1++ 2) (1 +++ 2 3) (1 +++++ 2 3 4) .... (1 ++++ 2 3 ... 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 +26 + 1 v 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: + + +.... + > 10 . 1 2 3 100 C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã l béi cña 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 6
7. Cho tam gi¸c ABC cã gãc B v gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD v ACE ( trong ®ã gãc ABD v gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI v EK cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x−2001 + x − 1 hÕt §Ò sè 11 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: + + + + + a, x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 349 =0 327 326 325 324 5 b, 5x − 3 ≥ 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007  1   1   1   1  a, TÝnh tæng: S = −  + −  + −  +........ + −   7   7   7   7  1 2 3 99 b, CMR: + + +........ + < 1 !2 !3 !4 100 ! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d−¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é di ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t−¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè no? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B = 600 hai ®−êng ph©n gi¸c AP v CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B = . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. (2 n −1)2 + 3 hÕt §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ()x −1 5 = 243 . + + + + + b) x2 + x2 + x2 = x2 + x 2 11 12 13 14 15 c) x 2 x = 0 (x≥ 0 ) C©u 2 : (3®) 7
8. 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x v y biÕt : =+ x 4 8 x +1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ l 1 sè nguyªn biÕt : A = (x≥ 0 ) x − 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. x − 35 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ∆ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoi t−¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè no . b, Cho ∆ ABC c©n t¹i A v ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . HÕt §Ò sè 13 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi1( 3 ®iÓm) 1 1 176 12 10 10 26( ) ( −−− )75,1 a, TÝnh: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 − 25,091 ). −1 11 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d−¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dy 234 trang. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ∆ ABC vu«ng t¹i B, ®−êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. hÕt §Ò sè 14 Thêi gian lm bi 120 phót Bi 1(2 ®iÓm). Cho A= x +5 + 2 − x. a.ViÕt biÓu thøc A d−íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 a.Chøng minh r»ng : < + + +....... + < . 6 52 62 72 1002 4 + + b.T×m sè nguyªn a ®Ó : 2a9 +5 a 17 − 3 a l sè nguyªn. a+3 a + 3 a + 3 8
9. Bi 3(2,5 ®iÓm). T×m n l sè tù nhiªn ®Ó : A=()() n +5 n + 6 ⋮6 n . Bi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §−êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f()() x −f x −1= x .. ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. HÕt §Ò sè 15 Thêi gian lm bi: 120 phót x x − 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= x2 +8 x − 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®−îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®−îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®−îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®−îc ®Òu nh− nhau. 2006 + C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 10 53 l mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®−êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chøng minh r»ng: a, K l trung ®iÓm cña AC. b, BH = AC 2 c, KMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d−íi ®©y ®óng mét nöa v sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em hy x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. HÕt §Ò sè 16: Thêi gian lm bi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x− 2 − x = 7 b) 2x − 3 > 5 c) 3x − 1 ≤ 7 d) 3x− 5 + 2 x + 3 = 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+...+ 5200 9
10. b) So s¸nh 230 + 330 + 430 v 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM v CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB v Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®−êng ph©n gi¸c v ph©n gi¸c ngoi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®−êng th¼ng MN lÇn l−ît t¹i D v E c¸c tia AD v AE c¾t ®−êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P v Q. Chøng minh: a) BD ⊥⊥ AQBEAP ;; b) B l trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE − C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn no cña x th× biÓu thøc A= 14 x Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? 4 − x T×m gi¸ trÞ ®ã. HÕt §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4x + 3 x = 15. b. 3x − 2 x > 1. c. 2x + 3 ≤ 5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 l: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é di c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh− thÕ no,biÕt nÕu céng lÇn l−ît ®é di tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng ny tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D l mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB > ADC . Chøng minh r»ng: DB < DC. C©u 5: ( 1 ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc: A = x −1004 x +1003 . HÕt §Ò sè 18 C©u 1 (2 ®iÓm): T×m x, biÕt : a. 3x − 2 +5x = 4x10 b. 3+ 2x + 5 > 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+...+74n chia hÕt cho 400 (n∈N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By. 10
11. A α x C β γ B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC =1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (3)0 + (3)1+ (3)2 + .....+ (3)2004. §Ò sè 19 Thêi gian lm bi: 120 phó Bi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x 52 −+− x Bi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l−ît l trùc t©m , träng t©m v giao ®iÓm cña 3 ®−êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hng v GH = 2 GO Bi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®−îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (34x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. HÕt §Ò 20 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x + x + 2 = 3 ; b. 3x −5 = x + 2 C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù l trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®−êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù l trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 v IM c¾t nhau t¹i Q l trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) Hy suy ra c¸c kÕt qu¶ t−¬ng tù nh− kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 3|x5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. HÕt 11
12. §Ò 21: x − 5 Bi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = x + 3 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 1 4 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 xx −=− 1 b) TÝnh tæng M = 1 + ( 2) + ( 2)2 + +( 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC l tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM v CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN 2006 − x Bi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ 6 − x lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. HÕt §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 25 30  1   1   1   1  a.   .  b.   :    2   4   9   3  45 − 9 2. Rót gän: A = 6.29.4 0 + 881 .63.2 20 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n d−íi d¹ng ph©n sè v ng−îc l¹i: 12
13. a. 7 b. 7 c. 0, (21) d. 0,5(16) 33 22 C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®−îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lm ®−îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 v 3. Khèi 8 v 9 tØ lÖ víi 4 v 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: 3 a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = (x +2)2 + 4 b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) v ∠C = 800. Trong tam gi¸c sao cho MBA= 300 v MAB =100 .TÝnh MAC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. HÕt §Ò23 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®) − + − 1) Cho a1 = b3 = c 5 v 5a 3b 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6 2 − + 2 2 − + 2 2) Cho tØ lÖ thøc : a = c . Chøng minh : 2a 3 ab 5 b = 2c 3 cd 5 d . Víi ®iÒu b d 2b2 + 3 ab 2d 2 + 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 1 1 1 1) A = + +.... + 5.3 7.5 97.99 1 1 1 1 1 2) B = − + − +..... + − 3 323 3 350 351 C©u III : (1,5 ®) §æi thnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A l ABD v ACE . Gäi M;N;P lÇn l−ît l trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD v BE ⊥ víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n HÕt 13
14. §Ò 24 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375− 0,3 + + 1,5+ 1 − 0,75 a) A = 11 12 + 5 5 5 −0,265 + 0,5 − −2,5 + − 1,25 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100 Bi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 v 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 v 29 + 14 Bi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®−îc 359 tÊn thãc. Sè ngy lm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®−îc bao nhiªu tÊn thãc. Bi 4 (1®): T×m x, y biÕt:  1 1 1 1 a) 3x − 4 ≤ 3 b)  + +... + −2x =  1.2 2.3 99.100 2 Bi 5 ( 3®): Cho ∆ ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M l giao ®iÓm cña DC v BE. Chøng minh r»ng: a) BMC = 1200 b) AMB = 1200 Bi 6 (1®): Cho hm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu 1 cã: f() x+3. f ( ) = x2 . TÝnh f(2). x HÕt §Ò 25 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z ∈ Z, biÕt a. x+ − x = 3 x x 11 b. =− 6 y 2 c. 2x = 3y; 5x = 7z v 3x 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 1 a. Cho A =( ).(1 −− ).(1 − )...(1 −1) . Hy so s¸nh A víi − 2 2 32 4 2 100 2 2 14
15. + b. Cho B = x 1 . T×m x ∈Z ®Ó B cã gi¸ trÞ l mét sè nguyªn d−¬ng x − 3 C©u 3 (2®) Mét ng−êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h v dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®−îc 1 qung ®−êng th× ng−êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr−a. 5 TÝnh qung ®−êngAB v ng−êi ®ã khëi hnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ∆ABC cã Aˆ > 900. Gäi I l trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh ∆=∆ CIDAIB b. Gäi M l trung ®iÓm cña BC; N l trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I l trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB< BIC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ∆ABC ®Ó AC⊥ CD 14 − x C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;〈 ∈ Zx 〉 . Khi ®ã x nhËn gi¸ 4 − x trÞ nguyªn no? HÕt §Ò 26 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : x − 62 +5x = 9  1 1 1 1  b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) : +++  ;  3 4 5 6  c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 +...+2100 v B = 2101 . Bi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l−ît ®é di tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ l :5 : 7 : 8. + Bi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = x 1 . x −1 16 25 a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = v x = . 9 9 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®−êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M v N. TÝnh gãc MCN ? Bi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ no cña x th× biÓu thøc : P = x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? HÕt §Ò 27 15
16. Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) −2 − 2 −1 − 3 −1 1   4   5   2  a. TÝnh A = ()0, 25 .  .   .   .   4   3   4   3  b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 21.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d−¬ng th×: 3n+32n+2+3n2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét tr−êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®−îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®−îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: 0,7 ( 4343 1717 ) l mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D v E c¾t AB v AC lÇn l−ît ë M v N. Chøng minh: a. DM= ED b. §−êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I l trung ®iÓm cña MN. c. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. HÕt §Ò 28 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a+ a b. a− a c. 3()x− 1 −2 x − 3 C©u 2: T×m x biÕt: a. 5x − 3 x = 7 b. 2x + 3 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho ∆ ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D v E. Sao cho AD = BE. Qua D v E vÏ c¸c ®−êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M v N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. §Ò 29 Thêi gian lm bi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 16
17. 102006 + 1 102007 + 1 Bi 1:(1®iÓm) Hy so s¸nh A v B, biÕt: A= ; B = . 102007 + 1 102008 + 1 Bi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1   1   1  A= 1− .  1 −  ...  1−  1+ 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + ... + 2006  Bi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: x− 1 = 1 8 y 4 Bi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c l ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã B = C = 50 0 . Gäi K l ®iÓm trong tam gi¸c sao cho KBC = 100 KCB = 300 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. HÕt §Ò thi 30 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1. (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bi 2. (4 ®iÓm) a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : a= b = c v a + 2b – 3c = 20 2 3 4 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 1 x 4 1 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 4 TÝnh f(x) + g(x) v f(x) – g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = 1. Bi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a) So s¸nh c¸c ®é di DA v DE. b) TÝnh sè ®o gãc BED. 17
18. Bi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù l trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 AD. 3 ®¸p ¸n - §Ò 1 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) 1 1 a. Do < víi mäi n ≥ 2 nªn . ( 0,2 ®iÓm ) n2 n 2 −1 1 1 1 1 A< C = + + + ..... + ( 0,2 ®iÓm ) 22 − 1 32 − 1 42 − 1 n2 −1 MÆt kh¸c: 1 1 1 1 C = + + +.... + ( 0,2 ®iÓm) 3.1 4.2 .3 5 ()n−1 .() n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  =  − + − + − +.... + −  ( 0,2 ®iÓm) 2 1 3 2 4 3 5 n −1 n +1  1 1 1  1 3 3 = 1+ − −  <. = < 1 (0,2 ®iÓm )  2 n n +1 2 2 4 VËy A < 1 1 1 1 1 b. ( 1 ®iÓm ). B = + + + ... + ( 0,25 ®iÓm ) 224 26 2 ()2n 2 1  1 1 1 1  = 1+ + + +..... +  ( 0,25 ®iÓm ) 22  223 24 2 n2  1 = ()1+ A ( 0,25 ®iÓm ) 22 1 1 1 Suy ra P < ()1+ 1 = ;Hay P < (0,25 ®iÓm ) 22 2 2 C©u 2: ( 2 ®iÓm ) k +1 Ta cã k +1 > 1 víi k = 1,2 ..n ( 0,25 ®iÓm ) k ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: k +1 1+ 1 +... + 1 + k +1 1.1....1. k +1 k 1 1 k +1 = k +1 . < k = + = 1+ (0,5 ®iÓm ) k k k k +1 k+1 k k() k +1 k +1  1 1  Suy ra 1 < k +1 <1 +  −  ( 0,5 ®iÓm ) k k k +1 LÇn l−ît cho k = 1,2, 3, n råi céng l¹i ta ®−îc. 3 n +1 1 n < 2 +3 + ......... + n+1 <n +1 − <n +1 ( 0,5 ®iÓm) 2 n n => []α = n 18
19. C©u 3 (2 ®iÓm ) Gäi ha , hb ,hc lÇn l−ît l ®é di c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bi ta cã: hhhhhh+ + + 2() hhh+ + hhh+ + a b= b c= c a = a b c= a b c ( 0,4 ®iÓm ) 5 7 8 20 10 h h h => c= b = a => h : h : h = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) 5 2 3 a b c 1 1 1 MÆt kh¸c S = a. h= bh = ch ( 0,4 ®iÓm ) 2 a 2 b 2 c a b c => = = (0 , 4 ®iÓm ) 1 1 1 hah bh c 1 1 1 1 1 1 => a :b : c = : : =: : = 10 :15 6: (0 ,4 ®iÓm ) ha h b h c 3 2 5 VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A′, trªn tia Oy lÊy B′ sao cho O A′ = O B′ = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A′ = B B′ ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H v K lÇn l−ît l h×nh chiÕu Cña A v B trªn ®−êng th¼ng A′ B′ y Tam gi¸c HA A′ = tam gi¸c KB B′ ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => H A′ = KB′, do ®ã HK = A′′B (0,25 ®iÓm) Ta chøng minh ®−îc HK ≤ AB (DÊu “ = “ ⇔ A trïng A′ B trïng B′ (0,25 ®iÓm) do ®ã A′B′ ≤ AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt ⇔ OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö a+ b + c = d ∈ Q ( 0,2 ®iÓm ) => a+ b = d − a => b +b +2 bc= d2 + a + 2 d a ( 0,2 ®iÓm) => 2 bc=( d2 + a − b − c) − 2 d a ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = (d2 + a − b − c)2 + 4 d2a – 4b (d2 + a − b − c) a ( 0,2 ®iÓm) => 4 d (d2 + a − b − c) a = (d2 + a − b − c)2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu 4 d (d2 + a − b − c) # 0 th×: ( d2 + a − b − c)2 +4 d2 a − 4ab a = l sè h÷u tØ (0,2 5®iÓm ) 4d ( d2 + a − b − c) 19