Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Số chính phương - Nguyễn Thị Thanh Dung

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Chuyên đề: Số chính phương - Nguyễn Thị Thanh Dung

1. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định nghĩa: Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên. Ví dụ: 32 = 9; 52 = 25. Các số : 9, 25 là bình phương của các số 3, 5 nên được gọi là số chính phương. 2) Một số tính chất: 2.1) Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0; 1; 4; 5; 6; 9, không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; 8. 2.2) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. Thật vậy: 2 Giả sử A = a5 = (10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25. Vì chữ số hàng chục của 100a2 và 100a là 0 nên chữ số hàng chục của A là 2. 2.3) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ. Thật vậy: Giả sử số chính phương B = a2 có tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6. Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (trường hợp b6 2 chứng minh tương tự), khi đó: b4 = (10b + 4)2 = 100b2 + 80b + 16. Vì chữ số hàng chục của 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của B là số lẻ. 2.4) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. Thật vậy: Giả sử A = k2 và k = ax. by. cz (a, b, c, là các số nguyên tố) Thì A = (ax. by. cz )2 = a2x .b2y. c2z Từ tính chất này, suy ra: - Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 1 THCS Minh Thành - tPtb
2. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 * Tính chất bổ sung: - Số chính phương chia cho 3 có số dư 0; 1. - Số chính phương chia cho 4 có số dư 0; 1. - Số chính phương chia cho 8 có số dư 0; 1; 4. 2.5) Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại: Một số có số lượng các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương. 2.6) Hai số chính phương a 2 và (a + 1)2 được gọi là hai số chính phương liên tiếp. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào. 2.7) Nếu A là một số chính phương, A chia hết cho p và p là số nguyên tố thì A chia hết cho p2. 2.8) Nếu tích hai số A và B là một số chính phương thì các số A và B có dạng: A= mp2 và B = mq2 B. CÁC VÍ DỤ 1) Ví dụ 1: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương. Giải: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7, 9, khi đó tổng của chúng bằng: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 là số chính phương. 2) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n + 2 (n N) Giải: Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3a hoặc 3a 1 (a N), khi đó bình phương của nó có dạng (3a)2 = 9a2 là số chia hết cho 3, hoặc có dạng: ( 3a 1)2 = 9a2 6a + 1 là số chia cho 3 thì dư 1. Vậy một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n + 2 (n N) 3) Ví dụ 3: GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 2 THCS Minh Thành - tPtb
3. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 Một số chính phương có chữ số hàng chục là 3. Chứng minh rằng chữ số hàng đơn vị của nó là 6. Giải: Biết chữ số hàng chục của số chính phương là 3 Nếu số chính phương đó chẵn thì tận cùng là 32 hoặc 36 (để chia hết cho 4) Nếu số chính phương đó lẻ thì tận cùng là 33 hoặc 37 (để chia cho 4 dư 1) Nhưng số chính phương không tận cùng 2, 3, 7. Vậy số chính phương này tận cùng là 36. C. BÀI TẬP I. BÀI TẬP CƠ BẢN. Bài 1: Chứng minh rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ chia cho 8 thì dư 1. Giải: - Số chính phương chẵn là bình phương của một số chẵn. Ta có (2k)2 = 4k2 chia hết cho 4 (k N) - Số chính phương lẻ là bình phương của một số lẻ. Ta có (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1 (k N) Vì k(k + 1)  2 4k(k + 1)  8 4k(k + 1) + 1 chia cho 8 dư 1. Vậy số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ chia cho 8 thì dư 1. Bài 2: Có hay không cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a) x2 - y2 = 2014 b) x2 + y2 = 2015 Giải: a) Vì x2, y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x2 - y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 hoặc 3. Còn 2014 chia cho 4 dư 2. Vậy không có cặp số nguyên( x; y) thỏa mãn đề bài. b) Vì x2, y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 3 THCS Minh Thành - tPtb
4. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 nên x2 + y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 hoặc 2. Còn 2015 chia cho 4 dư 3. Vậy không có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề bài. Bài 3: Chứng tỏ rằng không có số nguyên a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 2015 Giải: Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 8 có số dư là 0 , 1 hoặc 4. a2 + b2 + c2 chia cho 8 chỉ có thể dư 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mà 2015 chia cho 8 dư 7. Vậy không có số nguyên a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 2015 Bài 4: Tìm các số tự nhiên có hai chữ số, sao cho tổng của số ấy và số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Giải: Gọi số cần tìm là ab nên số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là ba (a, b N; 1 a 9; 1 b 9). Theo bài ra ta có: ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) Để ab + ba là số chính phương thì 11(a + b) phải chứa thừa số nguyên tố 11 với số mũ chẵn nên (a + b)  11 Vì 1 a 9; 1 b 9 2 a + b 18 a + b = 11 ab 29; 38 ; 47; 56; 65; 74; 83; 92 Vậy các số cần tìm là 29; 38; 47; 56 ;65; 74; 83; 92. Bài 5: Chứng minh rằng: a) Một số chính phương tận cùng bằng 1 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. b) Một số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Giải: a) Một số chính phương tận cùng bằng 1 là bình phương của số tận cùng là 1 hay 9, tức là bình phương của số có dạng 10a 1 Xét (10a 1)2 = 100a2 20a + 1 = 10.(10a2 2a) + 1 Ta thấy 10a2 2a là số chục của số chính phương, đấy là số chẵn. GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 4 THCS Minh Thành - tPtb
5. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 Vậy chữ số hàng chục của số chính phương đó là chữ số chẵn. b) Cách 1: Xét (10a 1)2 Cách 2: Số chính phương tận cùng chẵn thì chia hết cho 4. Giả sử chữ số hàng chục của số chính phương đó là chữ số lẻ thì số chính phương đó tận cùng là 14, 34, 54, 74, 94 đều không chia hết cho 4. Vậy chữ số hàng chục của số chính phương đó là chữ số chẵn. Bài 6: Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương. Giải: Vì 4p + 1 là số lẻ và là số chính phương nên: 4p + 1 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 (k N) 4p = 4k2 + 4k p = k2 + k = k(k + 1) Do p là số nguyên tố nên k = 1, khi đó p = 2 và 4p + 1 = 9 = 32 Vậy p = 2 để 4p + 1 là số chính phương. II. BÀI TẬP NÂNG CAO. Bài 7: Tìm số tự nhiên n sao cho: 1! + 2! + 3! + + n! là số chính phương. ( Trích đề khaỏ sát chọn HSG lớp 6 năm học 2011 - 2012 - huyện Vũ Thư) Giải: Xét n = 1 1! = 12 Xét n = 2 1! + 2! = 1 + 1.2 = 3, không là số chính phương. Xét n = 3 1! + 2! + 3! = 3 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương. Xét n = 4 1! + 2! + 3! + 4! = 9 + 1.2.3.4 = 33, không là số chính phương. Với n > 4 thì n! = 1.2.3.4 n là một số có tận cùng là 0 (vì trong tích có tích hai thừa số 2.5 = 10) nên 1! + 2! + 3! + + n! là số có tận cùng là 3, suy ra: 1! + 2! + 3! + + n! không là số chính phương. Vậy khi n = 1 hoặc n = 3 thì 1! + 2! + 3! + + n! là số chính phương. Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước tự nhiên là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương. (Trích đề khaỏ sát chọn HSG lớp 6 năm học 2015 - 2016 - huyện Vũ Thư) Giải: GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 5 THCS Minh Thành - tPtb
6. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 Gọi số tự nhiên đó là P (P 0) Nếu P = 1 ta có 1 = 12 P là số chính phương. Nếu P > 1, phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có: P = ax. by cz ( với a, b, , c là các số nguyên tố) Khi đó số lượng các ước của P là: (x + 1).(y + 1) (z + 1) Theo đề bài (x + 1).(y + 1) (z + 1) là số lẻ x + 1, y + 1, , z + 1 đều là các số lẻ x , y , , z đều là các số chẵn. Do đó x = 2m, y = 2n, , z = 2t (m, n, , t N* ) P = a 2m . b2n c2t = (am. bn ct)2 Vậy P là số chính phương. Bài 9: Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. (Trích đề khaỏ sát HSG lớp 6 năm học 2015 - 2016 - huyện Thái Thụy) Giải: Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3, cho 4 có số dư là 0 hoặc 1. Vì p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên suy ra p chia hết cho 2, cho 3 nhưng không chia hết cho 4. Vì p  3 p - 1 chia cho 3 dư 2 p - 1 không là số chính phương. Vì p  2 và p không chia hết cho 4 p chia cho 4 dư 2 p + 1 chia cho 4 dư 3 p + 1 không là số chính phương. Vậy p - 1 và p + 1 không là số chính phương. Bài 10: Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau có dạng xy ( x > y > 0) sao cho hiệu của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là số chính phương. (Trích đề khaỏ sát HSG lớp 6 năm học 2014 - 2015 - huyện Vũ Thư) Giải: Ta có số nguyên tố có hai chữ số khác nhau cần tìm có dạng xy ( x > y > 0) nên số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là yx . Theo bài ra ta có: xy - yx = (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x - y) = 32(x - y) Vì xy - yx là số chính phương nên x - y là số chính phương. Ta thấy 1 x - y 8 nên x - y 1; 4 GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 6 THCS Minh Thành - tPtb
7. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 - Nếu x - y = 1 thì xy 21; 32 ; 43; 54; 65; 76; 87; 98 Mặt khác xy là số nguyên tố xy = 43 - Nếu x - y = 4 thì xy 51; 62; 73; 84; 95 Mặt khác xy là số nguyên tố xy = 73 Thử lại: 43 - 34 = 9 = 32 ; 73 - 37 = 36 = 62 Vậy xy = 43 hoặc xy = 73 Bài 11: Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 3x2 + 4y2 = 6029 (Trích đề khaỏ sát HSG lớp 7 năm học 2014 - 2015 - TP Thái Bình) Giải: Vì 4y2 là số chẵn với mọi y Z và 6029 là số lẻ 3x2 là số lẻ x2 là số lẻ x là số lẻ x2 chia cho 4 dư 1 3x2 chia cho 4 dư 3 3x2 + 4y2 chia cho 4 dư 3, mà 6029 chia cho 4 dư 1. Vậy không có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề bài. Bài 12: Chứng tỏ rằng không có số nguyên x, y, z thỏa mãn: 4x2 + 4x = 8y3 - 2z2 + 4 Giải: Ta có: 4x2 + 4x = 8y3 - 2z2 + 4 4x2 + 4x + 1 = 8y3 - 2z2 + 5 (1) Xét vế trái của (1): 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 là một số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1 (*) Xét vế phải của (1): Có 8y3  8 ; 2z2  8 nếu z chẵn, 2z2 chia cho 8 dư 2 nếu z lẻ. Vậy vế phải của (1) chia cho 8 dư 5 hoặc dư 7 ( ) Từ (*) và ( ) không có số nguyên x, y, z thỏa mãn đề bài. Bài 13: Tìm các số nguyên x và số tự nhiên y thỏa mãn: 2y + 3 = x2 (Trích đề khaỏ sát HSG lớp 7 năm học 2015 - 2016 - TP Thái Bình) Giải: Xét các giá trị tự nhiên của y: GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 7 THCS Minh Thành - tPtb
8. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 Nếu y = 0 ta có: 20 + 3 = x2 x2 = 4 x = 2 Nếu y = 1 ta có: 21 + 3 = x2 x2 = 5 không có số nguyên x Nếu y 2 2y  4 2y + 3 chia cho 4 dư 3 (1) Mà x Z x2 là số chính phương x2 chia cho 4 dư 0 hoặc 1 (2) Vì (1) và (2) mâu thuẫn không có cặp số (x; y) thỏa mãn với y 2 Vậy (x; y) = (2 ; 0) ; (-2 ; 0) III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 14: Có số tự nhiên abc nào mà tổng abc bca cab là một số chính phương hay không? Bài 15: Chứng minh rằng không tồn tại số chính phương nào có dạng: a) abab b) abcabc Bài 16: Có hay không cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a) 3x2 - 4y2 = 13 b) 19x2 + 28y2 = 2001 Bài 17: Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là số chính phương. Bài 18: Cho p và q là các số nguyên tố thỏa mãn p - 1  q và q3 - 1  p. Chứng minh rằng p + q là số chính phương. Bài 19: Cho biểu thức: A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 22009 Chứng tỏ (A + 1). 52010 là một số chính phương. (Trích đề kiểm tra học kì I - năm học 2009 - 2010 - lớp 6 - TP Thái Bình) GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 8 THCS Minh Thành - tPtb
9. Chuyên đề: Số chính phương Bồi dưỡng HS giỏi Toán 7 Bài 20: Cho biểu thức: M = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + + 52009 Chứng tỏ rằng : (4M + 1). 22010 là một số chính phương. (Trích đề kiểm tra học kì I - năm học 2010 - 2011 - lớp 6 - huyện Vũ Thư) GV: NguyÔn ThÞ Thanh Dung 9 THCS Minh Thành - tPtb