Chuyên đề Đại số 7: Chữ số tận cùng của một luỹ thừa đồng dư - So sánh hai luỹ thừa

Nội dung text: Chuyên đề Đại số 7: Chữ số tận cùng của một luỹ thừa đồng dư - So sánh hai luỹ thừa

1. Chuyên đề: CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA ĐỒNG DƯ - SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A. KIẾN THỨC CƠ BẢN. - Nắm được cách tìm số tận cùng của một luỹ thừa với cơ số là số tự nhiên bất kỳ - Hiểu thế nào là đồng dư, vận dụng tốt kiến thức của đồng dư thức vào làm các bài tập về tìm chữ số tận cùng hoặc chứng minh chia hết - Nắm được các phương pháp cơ bản dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên. Vận dụng tốt kiến thức để làm bài tập B. NỘI DUNG: I/ PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA 1. Chú ý: a./ Các số có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) thì đều có tận cùng là 0, 1, 5, 6 b./ Các số có tận cùng 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 6 c./ Các số có tận cùng 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 1 d./ Số a và a4n+1 có chữ số tận cùng giống nhau (n,a N,a 0 ) Chứng minh: d./ Dùng phương pháp quy nạp: Xét bài toán: CMR a4n+1 – a  10 (n,a N * ) - Với n = 1 ta dễ dàng chứng minh a5 – a  10 - Giả sử bài toán đúng với n = k (a4k+1 – a  10 (k,a N * )) - Ta CM bài toán đúng với n = k + 1 a 4(k+1) +1 - a  10 - Ta có: a 4(k+1) +1 – a = a4 . a4k+1 – a a4. a4k+1 – a5 (Vì a5 và a có cùng chữ số tận cùng). Trang 1
2. - Mà a4. a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a)  10 Þ a 4(k+1) +1 – a  10 ĐpChứng minh. 2./ Phương pháp Để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đưa cơ số của luỹ thừa về dạng đặc biệt hoặc đưa số mũ về dạng đặc biệt đã biết cách tính theo phần chú ý trên 99108 VD1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 ; 5151 ; 21000 ; 99 Giải: - Tận cùng của 6195 là 6 - Tận cùng của 5151 là 1 - Ta có 21000 = 23. 24 . 249 +1 mà 23 có tận cùng là 8 và 24 . 249 +1 có tận cùng là 2 1000 4 250 250 ( Hoặc 2 = (2 ) = 16 ) nên 21000 có tận cùng là 6 108 99 2 49 99 - Ta có : 99 = 99. 99 = 99. ( .1) 49 có tận cùng là 9 nên 99 = ( 9)108 = [( 9)2]54 có tận cùng là 1 3./ Mở rộng 3.1/ Đồng dư: a/ Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói a đồng dư với a 4n+1 theo modun 10 (là hai số có cùng số dư khi chia cho 10) Tổng quát : Số tự nhiên a đồng dư với số tự nhiên b theo modun m (m 0) nếu a và b chia cho m có cùng một số dư. Ký hiệu a º b( mod m ) với a, b, m N và m 0 (1) Khi đó nếu a  m ta có thể viết a º 0 (mod m ) Hệ thức (1 ) được gọi là một đồng dư thức b/ Một số tính chất cơ bản của đồng dư thức Nếu a º b(mod m) và c º d(mod m) thì: 1. a + c º b + d(mod m) và a- c º b- d(mod m) Trang 2
3. 2. a.c º b.d(mod m) 3. an º bn (mod m) Các tính chất này có thể được áp dụng cho nhiều đồng dư thức cùng modun c/ Ví dụ: VD1. Tìm số dư của 3100 cho 13. Tìm số dư trong phép chia trên nghĩa là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13 và đồng dư với 3100 theo modun 13 33 Ta có 3100 = 3.399 = 3.(33 ) Vì 33 = 27 = 13. 2 +1, nên 33 º 1(mod 13) do đó (33)33 º 133 (mod 13) 99 hay 3 º 1(mod 13) 3. 399 º 3 . 1 (mod 13) và 3 º 3 (mod 13) nên 3100 º 3 (mod 13). Vậy 3100 chia cho 13 có số dư là 3 VD 2 .Chứng minh rằng 22008 – 8 chia hết cho 31 Để chứng minh 22008 – 8 chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – 8 º 0 (mod 31) Ta có : 22008 = 23. 22005 = 23. (25)401 mà 25 =32º 1 (mod 31) nên ta có (25)401 º 1401(mod 31) Þ 23. 22005 º 23 . 1(mod 31) 22008 º 8(mod 31) 22008 - 8 º 8 - 8 (mod 31) Mặt khác 8 º 8(mod 31) Nên 22008 - 8 º 0 (mod 31). Vậy 22008 – 8 chia hết cho 31 Đpcm. VD 3: CM rằng với mọi số tự nhiên n thì số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Ta có: 122n+1 =12.122n = 12 .144n Vỡ 144º 11(mod133) nên 144n º 11n (mod 133) suy ra 12 .144n º 12 .11n (mod 133) (1) Mặt khác: 11n+2 = 121. 11n Mà 121 º - 12 (mod 133) nên 121. 11n º - 12 . 11n (mod 133) (2) Cộng vế (1) và (2) ta được 122n+1 + 11n+2 º 0 (mod 133) Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Đpcm Trang 3
4. 82008 VD 4: CM 5 + 2324 42008 Ta có 58 = 254 mà 25 º 1(mod 24) nên 254 º 1(mod 24) Þ 25 º 1(mod24) cũn 23 º 23(mod 24) 82008 82008 Suy ra 5 + 23 º (mod 24) Vậy 5 + 2324 Đpcm II/ SO SÁNH HAI LŨY THỪA 1/ Các phương pháp so sánh. 1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì sẽ lớn hơn. Nếu m > n thì am > an (a >1) - Nếu ai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì sẽ lớn hơn. Nếu a > b thì an > bn (n > 0) Ví dụ: So sánh 1619 và 825. Ta thấy cơ số 16 và 8 khác nhau nhưng đều là lũy thừa của 2 nên ta tìm cách đưa hai số ban đầu về lũy thừa cùng cơ số 2 1619 (24 )19 24.19 276 825 (23 )25 23.25 275 Vì 276 275 nên1619 825 2. Ngoài cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a 0) 2/ Bổ sung kiến thức nâng cao: 1. Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n Ví dụ: (22 )3 22.3 26 64 . Trang 4
5. 2. Luỹ thừa của một tích: ( a.b)n = anbn . Ví dụ: 25.55 = (2.5)5 = 105 = 100 000. n n n n n n a 3. Luỹ thừa một thương: a : b = (a:b) , hay a :b b Ví dụ : 147: 77 = (14 : 7)7 = 27 = 128 n 3 mn m 23 2 8 4. Luỹ thừa tầng: a a Ví dụ : 2 2 2 256 3/ Các bài tập về so sánh: Bài 1: So sánh các số sau: a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n Hướng dẫn: a) 2711 (33 )11 333 818 (34 )8 332 Vì333 332 nên 2711 818 b) 6255 (54 )5 520 1257 (53 )7 521 Vì 521 520 nên1257 6255 c) 536 (53 )12 12512 1124 (112 ) 12112 Vì 12512 12112 nên536 1124 d) 32 9; 23 8 Vì9 8nên32 23 Suy ra (32 )n (23 )n (vì n ¥ *) Hay 32n 23n Trang 5
6. Bài 2: So sánh các số sau: a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498. Hướng dẫn: a) 523 5.522 6.522 Vây6.522 523 b) 7.213 8.213 23.213 216 Vây 216 7.213 c) 2115 (3.7)15 315.715 275.498 (33 )5.(72 )8 315.716 Vì 315.716 315.715 nên 275.498 2115 Bài 3: So sánh các số sau. a) 19920 và 200315 b) 339 và 1121 Hướng dẫn: a) 19920 20020 (8.25)20 (23.52 )20 260.540 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 260.545 Vì 260.545 260.540 nên 200315 19920 b) 339 340 (34 )10 8110 1121 1120 (112 )10 12110 Vì 12110 8110 nên1121 339 Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn? A= 7245 – 7243 và B= 7244 – 7243 Hướng dẫn: A 7245 – 7243 7244 (72 1) 7244.71 (1) B 7244 – 7243 7243 (72 1) 7243.71 (2) Trang 6
7. Từ (1) và (2) suy ra A>B Bài 5. Tìm x N, biết: a) 16x < 1284 b) 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100 0 :218 18 chữ số 0 Hướng dẫn: a) 16x 1284 (24 )x (27 )4 24x 228 4x 28 x 7 x 0;1;2;3;4;5;6 b) 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100 0 :218 18 chữ số 0 53x 3 1018 : 218 53x 3 518 3x 3 18 x 5 x 0;1;2;3;4;5 Bài 6: Cho S = 1 + 2+ 22 + 23 + + 29. So sánh S với 5.28. Hướng dẫn: S 1 2 22 23 29 2S 2 22 23 29 210 2S S 210 1 hay S 210 1 210 22.28 4.28 5.28 Bài 7: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m và 10.98. Hướng dẫn: m 99 9.98 10.98 Trang 7
8. Bài 8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1,2,3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một và chỉ một lần. Hướng dẫn: Trường hợp không dùng lũy thừa: Số lớn nhất có thể viết được là 321. Trường hợp có dùng lũy thừa: Ta bỏ qua các lũy thừa có cơ số hoặc số mũ là 1; bỏ qua các lũy thừa tầng vì giá trị của các số này quá nhỏ so với 321. - Xét các lũy thừa mà số mũ có 1 chữ số, được 4 số là 132, 312; 123 và 213. Chỉ cần so sánh 213 với 312. Ta tính trực tiếp được 213 = 9261; 312 = 961. Vậy 213 > 312. - Xét các lũy thừa mà số mũ có 2 chữ số, được 4 số là 213; 231; 312; 321. Chỉ cần so sánh 321 với 231. 321 3.320 3.(32 )10 3.910 (1) Ta có: 231 2.230 2.(23 )10 2.810 (2) Từ (1) và (2) suy ra 321 > 231 Bây giờ ta so sánh 321 với 213 321 39 (33 )3 273 213. Vậy số lớn nhất là số 321. C. CÁC BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: a) 714n – 1 chia hết cho 5 b) 124n + 1 + 34n +1 chia hết cho 5 c) 92001n + 1 chia hết cho 10 d) n2 +n + 12  5 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của a) 2008 2009 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 97 19 e) 1997 f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68 Bài 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + . + 220 Trang 8
9. B = 31 + 32 + 33 + . + 3300 a) Tìm chữ số tận cùng của A b) Chứng minh rằng B chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng B – A chia hết cho 5 Bài 4: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) 3100 : 7 b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d) (15325 – 1) : 9 Bài 5: Chứng minh rằng: a) 301293 – 1  9 b) 2093n – 803n – 464n – 261n  271 c) 62n + 3n+2 3n  11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1  19 (với " nÎ N) Bài 6: Ngày 1 tháng 1 năm 2010 bạn Nam sẽ kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của mình. Biết rằng ngày 1 tháng 1 năm 2008 là ngày thứ 3 a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày mấy b) Bạn Nam sẽ tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? Bài 7: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2  9 thỡ ớt nhất một trong cỏc hiệu a 2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 Bài 8: So sánh các số sau: a) 3281 và 3190 b) 11022009 – 11022008 và 11022008 - 11022007 c) A = (20082007 + 20072007)2008 và B = (20082008 + 20072008)2007 D. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 7: Nhận xét: Khi chia số nguyên tuỳ ý n cho 9 thì số dư nhận được sẽ là một trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bởi vậy Nếu n º 0 (mod 9) thì n2 º 0 (mod 9) Nếu n º 1 (mod 9) thì n2 º 1 (mod 9) Nếu n º 2 (mod 9) thì n2 º 4 (mod 9) Nếu n º 3 (mod 9) thì n2 º 0 (mod 9) Trang 9
10. Nếu n º 4 (mod 9) thì n2 º 7 (mod 9) Nếu n º 5 (mod 9) thì n2 º 7 (mod 9) Nếu n º 6 (mod 9) thì n2 º 0 (mod 9) Nếu n º 7 (mod 9) thì n2 º 4 (mod 9) Nếu n º 8 (mod 9) thì n2 º 1 (mod 9) Vậy dù với số nguyên n nào đi chăng nữa thì số n 2 chia cho 9 cũng có số dư là một trong các số 0, 1, 4, 7. 2 2 2 Gọi số dư khi chia a , b , c cho 9 lần lượt là r1, r2, r3 2 2 2 2 2 2 Ta có: a + b + c º r1 + r2 + r3 º 0 (mod 9) ( Vì a + b + c chia hết cho 9) Như vậy r1, r2, r3 chỉ có thể nhận các giá trị 0, 1, 4, 7 nên r1 + r2 + r3 chỉ có thể chia hết cho 9 trong các trường hợp sau 1) r1 = r2 = r3 = 0 2) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 1 hai số còn lại đều bằng 4 3) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 4 hai số còn lại đều bằng 7 4) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 7 hai số còn lại đều bằng 1. Vậy trong mọi trường hợp đều có ít nhất hai trong các số r 1, r2, r3 bằng nhau. Điều này có nghĩa ít nhất hai trong các số a 2, b2, c2 có cùng số dư khi chia cho 9. Vậy có ít nhất một trong các hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 Đpcm. Bài 8: Ta có c) A = (20082007 + 20072007)2008 = (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007. (20082007 + 20072007)2007 = (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007 = (20082008 + 20072008)2007 = B Vậy A > B Mở rộng: Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát : (an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là các số nguyên dương. Trang 10
11. Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b. Ta co (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn + 1)n. Trong ví dụ trên với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B. Trang 11