Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 7 - Chương trình cả năm

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 7 - Chương trình cả năm

1. CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP - Số tự nhiên: - Số nguyên: - Số hữu tỉ: - Số vô tỉ: - Số thực: I  Q=R II. Số hữu tỉ: 1. Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm. - Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Ví dụ: ) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ: ) Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0 - Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số: Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ 1. Qui tắc - Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu nguyên mẫu. - Phép chia là phép nhân nghịch đảo. - Nghịch đảo của x là 1/x Tính chất x.y=y.x ( t/c giao hoán) a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x . y = (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) y. z x.1=1.x=x b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) x. 0 =0 (x.y)z = x(y.z) x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối c) Tính chất cộng với số 0: của phép nhân đối với phép cộng x + 0 = x; Bổ sung Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là: ; ; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0 -(x.y) = (-x).y = x.(-y)
2. - Các kí hiệu: : thuộc , : không thuộc , : là tập con 2. Các dạng toán: Dạng 1: Thực hiện phép tính - Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số. - áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính. - Rút gọn kết quả (nếu có thể). Chỉ được áp dụng tính chất: a.b + a.c = a(b+c) a : c + b: c = (a+b):c Không được áp dụng: a : b + a : c = a: (b+c) Ví dụ: Bài 1: 2 1 11 1 9 17 1 1 5 3 1 4 a) b) c) . d) 1 .1 e) : ; f) 4 : 2 3 26 30 5 34 4 17 24 2 4 5 5 Bài số 2: Thực hiện phép tính: 2 1 3 1 5 a) 4. b) .11 7 3 2 4 3 6 1 1 1 7 5 7 1 2 1 c) d) 24 4 2 8 7 5 2 7 10 Bài số 3: Tính hợp lí: 2 3 16 3 1 13 5 2 1 5 4 1 5 1 a) . . b) : : c) : 6 : 3 11 9 11 2 14 7 21 7 7 9 7 9 7 Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: -PP: Nếu là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều dương trục Ox a phần , ta được vị trí của số Ví dụ: biểu diễn số : ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được phân số biểu diễn số Hình vẽ: Nếu là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều âm trục Ox a phần , ta được vị trí của số BÀI TẬP Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: a. Dạng 3: So sánh số hữu tỉ. PP:
3. * Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số. * So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1 * Dựa vào phần bù của 1. * So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia) BÀI TẬP Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau: 25 444 1 110 17 a) x và y ; b) x 2 và y c) x và y = 0,75 35 777 5 50 20 Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau: 1 7 3737 37 497 2345 1 1 a) và ; b) và ; c) và d) và 2010 19 4141 41 499 2341 2 3 2 3 2000 2001 2001 2002 3 4 19 31 e) và f) và ; g) và ; h) và ; k) và 5 4 2001 2002 2000 2001 5 9 60 90 Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm). PP: Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0. m 2011 Ví dụ: Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của m thì : 2013 a) x là số dương. b) x là số âm. c) x không là số dương cũng không là số âm HD: a. Để x>0 thì , suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011 b. Để x 0), suy ra m<2011 c. Để x=0 thì , suy ra m-2011=0 suy ra m=2011 BÀI TẬP: 20m 11 Bài 1. Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của m thì: 2010 a) x là số dương. b) x là số âm 7 Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ dưới dạng sau: 20 a) Tổng của hai số hữu tỉ âm. b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương. 1 Bài 3. Viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm. 5 11 Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ dưới các dạng sau: 81 a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ.
4. 1 Bài 5. Hãy viết số hữu tỉ dưới các dạng sau: 7 a) Tích của hai số hữu tỉ âm. b) Thương của hai số hữu tỉ âm. Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng: PP: - Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số Ví dụ: Tìm a sao cho HD: Từ bài ra ta có: ; suy ra 8<a<108, a={9,10 107} BÀI TẬP Bài 1: Tìm năm phân số lớn hơn và nhỏ hơn . Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho: a) c) b) d) Dạng 6:Tìm x để biểu thức nguyên. PP: - Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết. - Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số. - Với các bài toán tìm đồng thời x,y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức. Ví dụ: Tìm x để A= là số nguyên Giải: Điều kiện: x-1 ≠ 0 hay x≠ 1 Để A nguyên thì 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} x-1 -5 -1 1 5 x -4 0 2 6 Ví dụ: Tìm x để B= là số nguyên Cách 1:Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số ( Khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới mẫu số): - Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu. B= , ( điều kiện: x≠ 1). Để B nguyên thì là số nguyên hay 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} x-1 -5 -1 1 5 x -4 0 2 6 Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết:
5. - Các bước làm: - Tìm điều kiện. - , nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu Điều kiện: x ≠ 1. Ta có: x-1 x-1 nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1) Để B nguyên thì 2x+3 x-1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) x-1 hay 5 x-1. Suy ra (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} x-1 -5 -1 1 5 x -4 0 2 6 Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên Giải: Ta có suy ra suy ra. Hay (6x+4)-(6x+3) => 1 2x+1=> 2x+1 Ư(1)={-1;1} suy ra x=0, -1 Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên: a. A= b. B= HD: a. Ta có : x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) Để A nguyên thì x2+4x+7 x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 x+4 . x+4 -1 1 -7 7 X -5 -3 -11 3 b. x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) Để B nguyên thì x2+7 x+4 (2) Từ (1) (2) suy ra (x2+4x)- (x2+7) x+4 4x-7 x+4 => 4(x+4)-23 x+4 => 23 x+4 x+4 -1 1 -23 23 x -5 -3 -27 19 Với các biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm như sau: - Nhóm các hạng tử chứa xy với x (hoặc y).
6. - Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích. Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy+3y-3x=-1 Giải: y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y ) y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng: x+3 1 10 -1 -10 5 2 -5 -2 y+3 10 1 -10 -1 2 5 -2 -5 X -2 7 -4 -13 2 -1 -8 -5 Y 7 -2 -13 -4 -1 2 -5 -8 Với các biểu thức có dạng: ta nhân quy đồng đưa về dạng Ax+By+Cxy+D=0 Ví dụ: (nhân quy đồng với mẫu số chung là 3xy)  3x+3y-xy=0 ( bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0)  x(3-y)-3(3-y)+9=0  (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng: x-3 1 -9 -3 3 3-y -9 1 3 -3 x 4 -6 0 6 y 12 2 0 6 BÀI TẬP 101 Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = là một số nguyên. a 7 3x 8 Bài 2: Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t = là một số nguyên. x 5 2m 9 Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x là phân số tối giản, với mọi m N 14m 62 Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau nguyên A= ; B= ; C= ; D= ; E= Bài 5: Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 Dạng 7: Các bài toán tìm x.
7. PP - Quy đồng khử mẫu số - Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không. - Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các bài toán tìm x có quy luật. BÀI TẬP Bài 1. Tìm x, biết: 3 5 5 28 2 15 4 2 a) x. ; b) 1 .x ; c) x : ; d) : x 7 21 9 9 5 16 7 5 Bài 2. Tìm x, biết: 2 5 3 3 1 3 a) x ; b) x 3 7 10 4 2 7 Bài 3. Tìm x, biết: 1 3 33 2 4 1 3 x 5 x 6 x 7 a) x x ; b) x : x 0 ; c) 3 2 5 25 3 9 2 7 2005 2004 2003 x 1 x 3 x 5 x 7 x 29 x 27 x 17 x 15 Bài 4: a) b) 65 63 61 59 31 33 43 45 x 6 x 8 x 10 x 12 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x c) d) 4 0 1999 1997 1995 1993 91 93 95 91 x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 e) 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980 29 27 25 23 21 19 HD: => => x= -2010 Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1 x 3 x 5 x 7 a) (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử) 35 33 31 29 x 10 x 8 x 6 x 4 x 2 b) (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 1994 1996 1998 2000 2002 x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994 2 4 6 8 10 x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999 c) 9 7 5 3 1 x 9 x 7 x 5 x 3 x 1 (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 1991 1993 1995 1997 1999
8. x 85 x 74 x 67 x 64 d) 10 (Chú ý: 10 1 2 3 4 ) 15 13 11 9 x 1 2x 13 3x 15 4x 27 e) (HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử) 13 15 27 29 Dạng 8: Các bài toán tìm x trong bất phương trình: PP: - Nếu a.b>0 thì hoặc ; - Nếu a.b≥0 thì hoặc ; - Nếu a.b 0 b. c. (x-2)(x+5) 0 suy ra hoặc => hoặc => hoặc =>x>3 hoặc x hoặc (không tồn tại x) => -5 x-2 nên (x-2)(x+5) => -5 0 b. (3x-1)(2x+4)≥0 c. (3-x)(x+1)<0 d. (x-7)(3x+4)≤0 e. Dạng 9: các bài toán tính tổng theo quy luật: Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau một số không đổi: PP: - Tính số các số hạng:
9. - Tổng = Ví dụ: 1+2+3+ +99 (khoảng cách bằng 2) số các số hạng: số hạng Tổng = Chú ý: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ] A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + (n – 1) n = n. (n – 1 ).(n + 1) A = 1+2+3+ +(n-1)+n = n (n+1):2 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1) A = 12 +22 +32+ +992 +1002 = n(n+1)(2n+1):6 Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n: PP: - Tính A.n - Tính A.n-A rồi suy ra tổng A Ví dụ: A= 2+22+23 .+2100 (ở đây n=2: số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị) Ta có : 2.A=22+23 +24 .+2101 (nhân 2 vế với n=2) 2A-A=22+23 +24 .+2101 -(2+22+23 .+2100) (chú ý: 2A-A=A) A=2101-2 Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu không đổi. PP: Phân tích tử số thành hiều 2 số dưới mẫu Ví dụ: A= = BÀI TẬP: 1 1 1 1 1 1 A = . 199 199.198 198.197 197.196 3.2 2.1 2 2 2 2 2 B = 1 . 3.5 5.7 7.9 61.63 63.65 1 1 1 1 1 Tìm x, biết: x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) x 2010 Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu không đôi: PP: Phân tích tử số thành hiệu của hai số ( số cuối – số đầu ) ở dưới mẫu 2 2 2 Sn = 1.2.3 2.3.4 98.99.100
10. 3 1 4 2 100 98 3 1 100 98 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2.3 1.2.3 98.99.100 98.99.100 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 98.99. 99.100 1.2 99.100 BÀI TẬP Bài 1: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 (Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6 102 bắng (2+2), (3+2), (4+2) (100 +2) A = 4+12+24+40+ +19404+19800 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2) A = 1+ 3 + 6 +10 + +4851+4950 (Nhân 2 vế với 2) A = 6+16+30+48+ +19600+19998 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2) Bài 2:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655 Bài 3: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010 Bài 4: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n Bài 5: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n Bài 6: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Bài 7: 1 1 1 1 S = S = 1+2+22 + + 2100 10.11 11.12 12.13 99.100 1 1 1 1 4 4 4 S = S = 1.2 2.3 3.4 99.100 5.7 7.9 59.61 5 5 5 5 1 1 1 1 A = M = 11.16 16.21 21.26 61.66 30 31 32 32005 1 1 1 2 2 2 Sn = Sn = 1.2.3. 2.3.4 n(n 1)(n 2) 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1 1 S = n 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) Bài 8: 3 3 3 3 1 1 1 1 a) A b) B 5.8 8.11 11.14 2006.2009 6.10 10.14 14.18 402.406 10 10 10 10 4 4 4 4 c) C d) D 7.12 12.17 17.22 502.507 8.13 13.18 18.23 253.258 Bài 9:
11. 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A b) B 2.9 9.7 7.19 252.509 10.9 18.13 26.17 802.405 2 3 2 3 2 3 c) C 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405 1 1 1 1 1 3 5 7 49 d) ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 10: Tìm x x 1 1 1 1 5 7 4 4 4 4 29 a) b) 2008 10 15 21 120 8 x 5.9 9.13 13.17 41.45 45 1 1 1 1 15 c) 3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 93 Bài 11: Chứng minh 1 1 1 1 n a) 2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 2) 6n 4 5 5 5 5 5n b) 3.7 7.11 11.15 (4n 1)(4n 3) 4n 3 3 3 3 3 1 c) 9.14 14.19 19.24 (5n 1)(5n 4) 15 4 4 4 16 16 Bài 12:Cho A Chứng minh: A 15.19 19.23 399.403 81 80 Bài 13: Cho S= Chứng minh S | x - a | = x-a Nếu x-a 0=>| x - a | = a-x Chú ý: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm a 0 với mọi a R * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
12. a b a b a b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. a a a và a a a 0;a a a 0 * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn. a b 0 a b * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0 a b a b * Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. a.b a.b a a * Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. b b * Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. a 2 a 2 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. a b a b và a b a b a.b 0 CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tính giá trị biểu thức và rút gọn biểu thức Bài 1: Tính x , biết: 3 13 a) x = . b) x = . c) x = - 15,08 17 161 6 4 2 5 3 4 8 Bài 2. Tính: a) . b) 25 5 25 9 5 9 5 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: a 2 a) M = a + 2ab – b với a 1,5;b 0,75 b) N = với a 1,5;b 0,75 2 b Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: 3 1 a) A 2x 2xy y với x 2,5; y b) B 3a 3ab b với a ; b 0,25 4 3 5a 3 1 1 c) C với a ; b 0,25 d) D 3x 2 2x 1 với x 3 b 3 2 Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức: 2 1 a) A 6x 3 3x 2 2 x 4 với x b) B 2 x 3 y với x ; y 3 3 2 5x 2 7x 1 1 c) C 2 x 2 31 x với x = 4 d) D với x 3x 1 2 Bài 6: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1 a) A x 3,5 4,1 x b) B x 3,5 x 4,1 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
13. a) A x 1,3 x 2,5 b) B x 1,3 x 2,5 Bài 8: Rút gọn biểu thức: 1 2 a) A x 2,5 x 1,7 b) B x x c) C x 1 x 3 5 5 3 1 Bài 9: Rút gọn biểu thức khi x 5 7 1 3 4 1 3 2 a) A x x b) B x x 7 5 5 7 5 6 Bài 10: Rút gọn biểu thức: 2 2 a) A x 0,8 x 2,5 1,9 với x 0 5 5 5 5 5 2 2 Dạng 2: A(x) k( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) PP: - Nếu k 0 thì ta có: A(x) k A(x) k BÀI TẬP Bài 1: Tìm x, biết: 1 5 1 1 1 1 3 7 a) 2x 5 4 b) 2x c) x d) 2x 1 3 4 4 2 5 3 4 8 Bài 2: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 2x 3 b) 7,5 35 2x 4,5 c) x 3,75 2,15 2 15 Bài 3: Tìm x, biết: x 2 1 1 1 a) 23x 1 1 5 b) 1 3 c) x 3,5 d) x 2 2 5 2 3 5 Bài 4: Tìm x, biết: 1 3 3 1 5 3 4 3 7 3 1 5 5 a) x 5% b) 2 x c) x d) 4,5 x 4 4 2 4 4 2 5 4 4 4 2 3 6 Bài 5: Tìm x, biết: 9 1 11 3 1 7 15 3 1 21 x 2 a) 6,5 : x 2 b) : 4x c) 2,5 : x 3 d) 3 : 6 4 3 4 2 5 2 4 4 2 5 4 3
14. Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) PP: a b A(x) B(x) Vận dụng tính chất: a b ta có: A(x) B(x) a b A(x) B(x) BÀI TẬP Bài 1: Tìm x, biết: a) 5x 4 x 2 b) 2x 3 3x 2 0 c) 2 3x 4x 3 d) 7x 1 5x 6 0 Bài 2: Tìm x, biết: 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 a) x 4x 1 b) x x 0c) x x d) x x 5 0 2 2 4 2 8 5 5 3 3 4 8 6 2 Dạng 4: A(x) B(x)( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) Cách 1: Điều kiện: B(x) 0 (*) A(x) B(x) (1) Trở thành A(x) B(x) ( tìm x rồi đối chiếu giá tri x tìm được với điều A(x) B(x) kiện ( * ) sau đó kết luận. * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A(x) B(x) (1) • Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) • Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) BÀI TẬP Bài 1: Tìm x, biết: 1 a) x 3 2x b) x 1 3x 2 c) 5x x 12 d) 7 x 5x 1 2 Bài 2: Tìm x, biết: a) 9 x 2x b) 5x 3x 2 c) x 6 9 2x d) 2x 3 x 21 Bài 3: Tìm x, biết: a) 4 2x 4x b) 3x 1 2 x c) x 15 1 3x d) 2x 5 x 2 Bài 4: Tìm x, biết: a) 2x 5 x 1 b) 3x 2 1 x c) 3x 7 2x 1 d) 2x 1 1 x Bài 5: Tìm x, biết: a) x 5 5 x b) x 7 x 7 c) 3x 4 4 3x d) 7 2x 7 2x Dạng 5: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * PP: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A(x) B(x) C(x) m Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) BÀI TẬP
15. Bài 1: Tìm x, biết: a) 43x 1 x 2 x 5 7 x 3 12 b) 3 x 4 2x 1 5 x 3 x 9 5 1 1 1 1 1 1 c) 2 x x 8 1,2 d) 2 x 3 x 3 2 x 5 5 5 2 2 5 Bài 2: Tìm x, biết: a) 2x 6 x 3 8 c) x 5 x 3 9 d) x 2 x 3 x 4 2 e) x 1 x 2 x 3 6 f) 2 x 2 4 x 11 Bài 3: Tìm x, biết: a) x 2 x 3 2x 8 9 b) 3x x 1 2x x 2 12 c) x 1 3 x 3 2 x 2 4 d) x 5 1 2x x e) x 2x 3 x 1 f) x 1 x x x 3 Bài 4: Tìm x, biết: a) x 2 x 5 3 b) x 3 x 5 8 c) 2x 1 2x 5 4 d) x 3 3x 4 2x 1 Dạng 6:: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) B(x) C(x) D(x) (1) Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x) 0; B(x) 0;C(x) 0 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Ví dụ: x 1 x 2 x 3 4x Điều kiện: 4x≥0, suy ra x≥0. Với x≥0 thì x+1>0; x+2>0; x+3>0 Nên x 1 x 2 x 3 4x khi (x+1)+(x+2)+(x+3)=4x, suy ra x=6 (thỏa mãn đk) .Vậy x=6. BÀI TẬP Bài 1: Tìm x, biết: a) x 1 x 2 x 3 4x b) x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1 3 1 c) x 2 x x 4x d) x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5x 5 2 Bài 2: Tìm x, biết: 1 2 3 100 a) x x x x 101x 101 101 101 101 1 1 1 1 b) x x x x 100x 1.2 2.3 3.4 99.100
16. 1 1 1 1 c) x x x x 50x 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 d) x x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 Dạng 7: Dạng hỗn hợp: Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 2 1 2 3 a) 2x 1 b) x 2 x x 2 c) x 2 x x 2 2 5 2 4 Bài 2: Tìm x, biết: 1 1 1 3 2 3 a) 2x 1 b) x 1 c) x x 2 x 2 5 2 4 5 4 Bài 3: Tìm x, biết: 3 1 3 3 1 3 3 a) x x 2 x b) x 2x 2x c) x 2x 2x 4 2 4 4 2 4 4 Bài 4: Tìm x, biết: a) 2x 3 x 1 4x 1 b) x 1 1 2 c) 3x 1 5 2 Dạng 8: A B 0 PP: Cách giải chung: A B 0 A 0  B1: đánh giá:  A B 0 B 0 A 0 B2: Khẳng định: A B 0 B 0 BÀI TẬP Bài 1: Tìm x, y thoả mãn: 9 a) 3x 4 3y 5 0 b) x y y 0 c) 3 2x 4y 5 0 25 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 2 1 3 11 23 a) 5 x y 3 0 b) x 1,5 y 0 c) x 2007 y 2008 0 4 7 3 2 4 17 13 * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải: A B 0 (1) A 0   A B 0 (2) B 0 A 0 Từ (1) và (2) A B 0 B 0
17. Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: a) 5x 1 6y 8 0 b) x 2y 4y 3 0 c) x y 2 2y 1 0 Bài 4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12x 8 11y 5 0 b) 3x 2y 4y 1 0 c) x y 7 xy 10 0 * Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. Bài 5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x y 2 y 3 0 b) x 3y 2007 y 4 2008 0 c) x y 2006 2007y 1 0 d) x y 5 2007 y 3 2008 0 Bài 6: Tìm x, y thoả mãn : 2 2 a) x 1 y 3 0 b) 2 x 5 4 5 2 y 7 5 0 2000 2004 1 1 c) 3 x 2y 4 y 0 d) x 3y 1 2y 0 2 2 Bài 7: Tìm x, y thoả mãn: 7 5 2 a) x 2007 y 2008 0 b) 3x y 10 y 0 3 2006 1 3 1 2007 4 6 2008 2007 c) x y 0 d) 2007 2x y 2008 y 4 0 2 4 2 2008 5 25 Dạng 9: A B A B * PP: Sử dụng tính chất: a b a b Từ đó ta có: a b a b a.b 0 Bài 1: Tìm x, biết: a) x 5 3 x 8 b) x 2 x 5 3 c) 3x 5 3x 1 6 d) 2 x 3 2x 5 11 e) x 1 2x 3 3x 2 f) x 3 5 x 2 x 4 2 Bài 2: Tìm x, biết: a) x 4 x 6 2 b) x 1 x 5 4 c) 3x 7 32 x 13 d) 5x 1 3 2x 4 3x e) x 2 3x 1 x 1 3 f) x 2 x 7 4 Bài 3: Tìm x, y thoả mãn : 2 2 a) x 1 y 3 0 Bài 4: Tìm x, y thoả mãn: a) |x-2007|+|y-2008|≤0 b) |x+5|+|3-x|=8 Dạng 10: |f(x)|>a (1) PP: - Nếu a 0: (1) suy ra f(x)>a hoặc f(x)<-a.
18. - Nếu a=0(1) suy ra f(x)=0 Ví dụ: BÀI TẬP: Tìm x nguyên sao cho |x-2|>6 ; |3x+1|≥5 ; |x+1|≥-6 Dạng 11: Tìm x sao cho |f(x)| 0 thì |f(x)| 0 ta giải như sau: A B m (1) Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng . Bài 1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 2007 x 2008 0 b) x y 2 y 3 0 c) x y 2 2 y 1 0 Bài 2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 3y 5 y 4 0 b) x y 5 y 3 4 0 c) x 3y 1 3 y 2 0 Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x 4 y 2 3 b) 2x 1 y 1 4 c) 3x y 5 5 d) 5x 2y 3 7 Bài 4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3 x 5 y 4 5 b) x 6 42y 1 12 c) 23x y 3 10 d) 34x y 3 21 Bài 5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) y2 3 2x 3 b) y 2 5 x 1 c) 2y2 3 x 4 d) 3y2 12 x 2 Dạng 13: A B m với m > 0. * Cách giải: Đánh giá A B m (1) A 0   A B 0 (2) B 0
19. Từ (1) và (2) 0 A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k m Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x y 3 b) x 5 y 2 4 c) 2x 1 y 4 3 d) 3x y 5 4 Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 5 x 1 y 2 7 b) 42x 5 y 3 5 c) 3 x 5 2 y 1 3 d) 32x 1 42y 1 7 Dạng 14:Sử dụng bất đẳng thức: a b a b xét khoảng giá trị của ẩn số. Bài 1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 1 4 x 3 b) x 2 x 3 5 c) x 1 x 6 7 d) 2x 5 2x 3 8 Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. a) x + y = 4 và x 2 y 6 b) x +y = 4 và 2x 1 y x 5 c) x –y = 3 và x y 3 d) x – 2y = 5 và x 2y 1 6 Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = 5 và x 1 y 2 4 b) x – y = 3 và x 6 y 1 4 c) x – y = 2 và 2x 1 2y 1 4 d) 2x + y = 3 và 2x 3 y 2 8 Bài 4: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 2 x 3 0 b) 2 x 1 2 x 5 0 c) 3 2x x 2 0 d) 3x 1 5 2 x 0 Bài 5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 2 x x 1 y 1 b) x 3 1 x y c) x 2 5 x 2y 1 2 Bài 6: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x 1 3 x 2 y 1 b) x 2 5 x y 1 1 c) x 3 x 5 y 2 0 Dạng 15:Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A m (1) Đánh giá: B m (2) A m Từ (1) và (2) ta có: A B B m Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 12 a) x 2 x 1 3 y 2 2 b) x 5 1 x y 1 3 10 6 c) y 3 5 d) x 1 3 x 2x 6 2 2 y 3 3 Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 8 16 a) 2x 3 2x 1 b) x 3 x 1 2 y 5 2 2 y 2 y 2
20. 12 10 c) 3x 1 3x 5 d) x 2y 1 5 y 3 2 2 y 4 2 Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 20 a) x y 2 2 7 b) x 2 2 4 y 1 y 3 3 y 2 5 6 30 c) 2 x 2007 3 d) x y 2 5 y 2008 2 3 y 5 6 Dạng 16: Tìm GTLN-GTNN của biểu thức PP: - Tìm giá trị nhỏ nhất a+ +c. ( Chỉ có GTNN) Vì ≥0; nên a+ +c. a. Vậy GTNN là a khi =0 và =0 suy ra x - Tìm giá trị nhỏ nhất ( Chỉ có GTNN) Vì ≥0; nên a- -c. a., suy ra . Vậy GTNN là . khi =0 và =0 suy ra x. - Tìm giá trị lớn nhất a- -c. ( Chỉ có GTLN) Vì ≥0; nên a- -c. a. Vậy GTLN là a khi =0 và =0 suy ra x. - Tìm giá trị lớn nhất ( Chỉ có GTLN) Vì ≥0; nên a+ +c. a., suy ra . Vậy GTLN là . khi =0 và =0 suy ra x. BÀI TẬP Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 3 x 2 2 x 3 a) A 0,5 x 3,5 b) B 1,4 x 2 c) C d) D 4 x 5 3 x 1 e) E 5,5 2x 1,5 f) F 10,2 3x 14 g) G 4 5x 2 3y 12 5,8 h) H i) I 2,5 x 5,8 k) K 10 4 x 2 2,5 x 5,8 1 12 l) L 5 2x 1 m) M n) N 2 x 2 3 3 x 5 4 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 1,7 3,4 x b) B x 2,8 3,5 c) C 3,7 4,3 x
21. d) D 3x 8,4 14,2 e) E 4x 3 5y 7,5 17,5 f) F 2,5 x 5,8 2 3 g) G 4,9 x 2,8 h) H x i) I 1,5 1,9 x 5 7 k) K 23x 1 4 l) L 23x 2 1 m) M 51 4x 1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 1 21 4 20 a) A 5 b) B c) C 43x 7 3 3 815x 21 7 5 3x 5 4y 5 8 24 2 21 d) D 6 e) E 2 x 2y 32x 1 6 3 x 3y 2 5 x 5 14 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 7x 5 11 2y 7 13 15 x 1 32 a) A b) B c) C 7x 5 4 2 2y 7 6 6 x 1 8 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8 6 14 15 28 a) A 5 b) B c) C 45x 7 24 5 56y 8 35 12 3 x 3y 2x 1 35 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 21 4x 6 33 6 y 5 14 15 x 7 68 a) A b) B c) C 3 4x 6 5 2 y 5 14 3 x 7 12 Sử dụng bất đẳng thức a b a b Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 2 x 3 b) B 2x 4 2x 5 c) C 3 x 2 3x 1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 5 x 1 4 b) B 3x 7 3x 2 8 c) C 4 x 3 4x 5 12 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 3 2x 5 x 7 b) B x 1 3x 4 x 1 5 c) C x 2 4 2x 5 x 3 d) D x 3 56x 1 x 1 3 Bài 4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 y 2 Bài 5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: B x 6 y 1 Bài 6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 2x 1 2y 1 Bài 7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2x 3 y 2 2 CHUYÊN ĐỀ III: LŨY THỪA Các công thức:
22. 1. an a.a a a an  7. ( )n n thua so b bn 0 m n n m m.n 2. a 1 a 0 8. (a ) (a ) a m n 1 3. a 9. n a m (n a ) m a n an m n m n n k nk 4. a .a a 10. a a m m a m n 1 1 5. a 11. a n an m n am a n 6. (a.b)n an .bn n n a, voi n 2k 1 12. a a voi n 2k CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Tính giá trị biểu thức BÀI TẬP: Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau 2 3 3 3 0 1 3 5 3 3 1 2 1 a) 4. 25. : : b) 2 3. 1 2 : 8 4 4 4 2 2 2 Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa 2 1 3 1 a) 9.3 . .27 d) 4.32 : 2 . 81 16 1 22.4.32 c) 34.35 : d) 27 2 2 .25 Bài 3: Tính hợp lý 3 3 4 a) 0,25 .32 b) 0,125 .80 82.45 8111.317 c) d) 220 2710.915 1 1 6 2 4 e) 32 . .812. f) 4 .256 .2 243 32 46.95 69.120 42.252 32.125 g) A = h)B = 84.312 611 23.52 Dạng 2: Các bài toán tìm x PP: Cần đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số. Chú ý lũy thừa mũ chẵn ta phải chia 2 trường hợp, mũ lẻ chỉ có một trường hợp. Chú ý:
23. a2n=b2n thì a=b hoặc a=-b a2m=a2n thì a=0, 1,-1 Ví dụ: a, x3 = -27=(-3)3 b, (2x – 1)3 = 8=23 c, (2x – 3)2 = 9 =32 BÀI TẬP: Bài 1: Tìm x biết a) (x -1)3 = 27;b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; c) (2x - 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; 1 2 3 4 5 30 31 d) (x -1)x + 2 = (x -1)x + 4; e) (2x - 1)3 = -8. f) . . . . . = 2x; 4 6 8 10 12 62 64 Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết: a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243. 1 1 d) .34.3n 1 94 e) .2n 4.2n 9.25 f) 5-3.25n=53n 9 2 Bài 3: Tìm x biết 5 7 3 3 3 3 1 1 1 1 a) .x b) .x c) x 5 7 3 81 2 27 4 1 16 d) x e) x3 = -27 f) (2x – 1)3 = 8 2 81 g) (x – 2)2 = 16 h) (2x – 3)2 = 9 Bài 4: Tìm số hữu tỉ biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Bài 5 : Tìm x, y : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 Bài 6 : a. 9 . 27n = 35 b. (23 : 4) . 2n = 4 c. 3-2. 34. 3n = 37 d. 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 e. 125.5 5n 5.25 f. (n54)2 = n g. 243 3n 9.27 h. 2n+3 . 2n =32 Bài 7: Tìm số tự nhiên n biết a) 2x.4=128 b) 2x-15=17 c) 3x+25=26.22+2.30 d) 27.3x=243 e) 49.7x=2401 g) 34.3x=37 Bài 8.Tìm x, y a. 2x+1 . 3y = 12x b. 10x : 5y = 20y Bài 9. Tìm n a. 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 2n 35 35 35 25 25 Dạng 3: Các bài toán so sánh: PP: Ta đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ, hoặc đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số. Chú ý, với các số nằm từ 0 đến 1, lũy thừa càng lớn thì giá trị càng nhỏ. Ví dụ: Cïng c¬ sè Cïng sè mò
24. Víi m>n>0 Víi n N* NÕu x> 1 th× xm > xn NÕu x> y > 0 th× xn >yn x =1 th× xm = xn x>y x2n +1>y2n+1 0< x< 1 th× xm< xn x y x2n y2n ( x)2n x2n ( x)2n 1 x2n 1 BÀI TẬP Bài 1: So sánh các lũy thừa sau a) 321 và 231 b) 2300 và 3200 c) 329 và 1813 ; Bài 2: So sánh a) 9920 và 999910 b) 321 và 231; c) 230 + 330 + 430 và 3.2410 Bài 3: a, 33317và 33323 b, 200710 và 200810 c, (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Bài 4: a, 2300và 3200 e, 9920và 999910 b, 3500và 7300 f, 111979và 371320 c, 85và 3.47 g, 1010và 48.505 d, 202303và 303202 h, 199010 + 1990 9và 199110 2 3 n Bài 5: a) Tính tổng Sn=1+a+a +a +a b) Áp dụng tính các tổng sau: A 1 3 32 32008 B 1 2 22 21982 C 7 72 73 7n 1 7n Bài 6: Chứng tỏ rằng các tổng sau được viết dưới dạng một số chính phương M 13 23 N 13 23 33 P 13 23 33 43 Q 13 23 33 43 53 Bài 7: Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2 T 2 2 2 2 3 2 2008 Bài 8: So sánh
25. a)A 1 2 22 22008 vàB 22009 1 b)P 1 3 32 3200 và3201 c)E 1 x x2 x2008vàF x2009 (x N*) Bài 9: Tìm số dư khi chia A cho 7 biết rằng T 2 2 2 2 3 2 2008 2 2002 Bài 10: Tìm a) Số tự nhiên n biết 2.P 3 3n P 3 32 3100 b) Chữ số tận cùng của A biết A 1 2 2 2 2 20 Dạng 4: Các bài toán chứng minh chia hết: PP: - Ta nhóm các hạng tử để xuất hiện thừa số chia hết hoặc dùng các phương pháp tính tổng và xét chữ số tận cùng rồi chỉ ra chia hết. - Chú ý khi nhóm các số hạng, ta thường nhóm 2 hay 3 số hạng liền kề, hoặc nhóm cách quãng. - Sử dụng tính chất an –bn  (a-b); an +bn  (a+b) BÀI TẬP: Bài 1: : Chứng minh rằng a) 2010100 + 201099 chia hết cho 2011 b) 31994 + 31993 – 31992 chia hết cho 11 c) 413 + 325 – 88 chia hết cho 5 Bài 2: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? N = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119 N có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Bài 3: Chứng minh a, A = 102008 + 125  45 b, B = 52008 + 52007 + 52006 31 c, M = 88 + 220 17 d, H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7 Bài 4: Cho A = 2+ 22 + 23 + + 260 Chứng minh: A3 , A7 , A5 Bài 5: a, D = 3 + 32 + 33 + 34 + + 32007 13 b, E = 71 + 72 + 73 + 74 + . + 74n-1 + 74n 400 Bài 6: Chứng minh rằng các tổng (hiệu) sau chia hết cho 10
26. a) 481n+19991999 b) 162001-82000 c) 192005+112004 d) 8102-2102 e)175+244-1321 f) 122004-21000 Bài 7: Chứng minh rằng số sau là một số tự nhiên: Bài 8: Các tổng sau có là số chính phương không? a) 108+8 b) 100!+7 c) 10100+1050+1 Bài 9: chứng tỏ rằng a) A=3+32+33+ .32007 13 b) B= 7+72+73+ 74n  400 Bài 10: Chứng tỏ rằng: a) 87-218  14 b) 122n+1+11n+2 133 c) 817-279-913 405 d) 106-57 59 e) 1028+8 72 Dạng 5: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa * Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau : +) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó . +) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó . +) Lưu ý : những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4 . những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9 +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Ví dụ : Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 . Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án : 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. BÀI TẬP :
27. Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau : 9 67 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 99 , 4 5 ,996, 81975 , 20072007 , 10231024. Hướng dẫn : Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng a)A 5 52 53 596 b)B 30 31 32 330 c)C 2 22 23 2100 . CHUYÊN ĐỀ IV: TỈ LỆ THỨC a c Kiến thức cần nhớ: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số bằng nhau. hoÆc a : b = c : d (a,b,c,d b d Q; b,d 0) Các số a,d là ngoại tỉ . b,c là ngoại tỉ . a c Từ tỷ lệ thức suy ra a.d = b.c b d Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a a c a b d c d b Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức: , , b d c d b a c a Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau: a c a a c a c Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức sau: , (b ≠ ± d) b d b b d b d a c i suy ra các tỷ lệ thức sau: b d j a c c i a c i , (b, d, j ≠ 0) b b d j b d j CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ các số đã cho: PP: Sử dụng tính chất: Từ đẳng thức a.d = b.c cho ta các tỷ lệ thức: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a BÀI TẬP: Bài 1: a.Tìm các số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức
28. 1 1 2 28:14; 2 : 2 ; 8: 4; : ; 3:10; 2,1: 7; 3: 03. 2 2 3 b.Các số sau có lập được tỉ lệ thức hay không? 3 2 a) 3,5: 5,25 và 14:21: b) 39 :52 và 2,1: 3,5; 10 5 2 c) 6,51: 15,19 và 3: 7; d) -7: 4 và 0,9: (-0,5). 3 Dạng 2: Tìm x từ tỉ lệ thức: a c PP: Dùng tính chất suy ra a.d = b.c b d BÀI TẬP Bài 1: Tìm x: a) x: 15 = 8: 24 b) 36 : x = 54 : 3 e) 1,56 : 2,88 = 2,6 : x g) 2,5 : 4x = 0,5 : 0,2 1 1 1 2 3x 2 3x 1 x 1 0,5x 2 c) 3 : 0,4 = x : 1 d) x:3 :0,25 f) h) 2 7 5 3 5x 7 5x 1 2x 1 x 3 Bài 2: Tìm x: a. 2x:6 = 5:3; b. ; 1 1 4 1 : (3x 2) : (2x 1) 3 2 12 21 d. c. 5 (2x 1) x 2 e. f. - 0,52 : x = -9,36 : 16,38 27 3,6 x 60 2 x f. h. 15 x x 8 25 1 2 5 i. 3,8 : 2x = : 2 k. 0,25x : 3 = : 0,125 4 3 6 Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức PP: a c - Đặt =k, suy ra a=b.k; c=d.k rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh ta được b d cùng một biểu thức. suy ra đpcm a c - Có thể dùng tính chất nếu suy ra a.d = b.c để chứng minh; b d - Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. - Có thể dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh: Ví dụ: BÀI TẬP:
29. a c Bài 1: Nếu thì: b d 5a 3b 5c 3d 7a 2 3ab 7c 2 3cd a, b, 5a 3b 5c 3d 11a 2 8b2 11c 2 8d 2 a b c a Bài 2: CMR: Nếu a2 bc thì a b c a a c ac a 2 c 2 Bài 3: Cho CMR b d bd b2 d 2 4 a c a b a4 b4 Bài 4:CMR: Nếu thì 4 4 b d c d c d Bài 5: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: 3 3 3 2 2 a b c a b ac;c bd và b3 c3 d 3 0 CM: b3 c3 d 3 d Dạng 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau và một tổng, tìm x,y PP: - Đầu tiên ta đưa về cùng một tỉ số: (Ví dụ: bài cho hay 4x=3y ta phải đưa về ; nếu bài cho ta phải đưa về cùng một tỉ số là ) - Sau đó dùng: + tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính +Phương pháp thế( rút x hoặc y từ một biểu thức thế vào biểu thức còn lại +Đặt : BÀI TẬP: Bài 1: x y y z y z 1 x z 2 x y 3 1 a) ; và 2x + 3y – z = 186. b) 3 4 5 7 x y z x y z x y z c) và 5x+y-2z=28 d) 3x=2y; 7x=5z, x-y+z=32 10 6 21 x y y z 2x 3y 4z e) ; và 2x -3 y + z =6. g) và x+y+z=49. 3 4 3 5 3 4 5 x 1 y 2 z 4 h) và 2x+3y-z = 50 2 3 4 Bài 2:Tìm x,y x 3 2x 1 a) và 2x+ 5y = 10 b) và 2x + 3y = 7 c) 21x = 19y và x- y = 4 y 4 3y 3 x y d) và x2 – y2 = 4 (x, y > 0). 5 3 Bài 3:Tìm x, y, z x y y z a) , , x y z 92 b) 2x = 3y = 5z, x+y-z = 95. 2 3 5 7
30. x y z c) x y z y z 1 x z 1 x y 2 d) 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 Chú ý: đây chính là bài toán chia một số M thành 3 phần tỉ lệ với a, b, c: Ta có Bài 1: a) Chia 3 góc của tam giác thành 3 phần tỉ lệ với 2, 3, 4 b) Tam giác ABC có 3 cạnh tỉ lệ với 4, 5, 7 và chu vì bằng 32cm. Tìm 3 cạnh tam giác. Bài 2: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối. Bài 3: Theo hợp đồng, hai tổ sản xuất chia lãi với nhau theo tỷ lệ 3 : 5 .Hỏi mỗi tổ được chia bao nhiêu nếu tổng số lãi là 12 800 000 đồng. Bài 4: Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh tỉ lệ với các số 2; 4; 5. 2 3 1 Bài 5: Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba 5 4 6 số đó bằng 24309. Tìm số A. Dạng 5: Cho dãy tỉ số, Tính giá trị một biểu thức PP: Cách 1: Đặt ; suy ra x=a.k; y=b.k; z=c.k rồi thay vào biểu thức. Cách 2: Dùng tính chất tỉ lệ thức: , từ đó tính được A= BÀI TẬP: Bài 1: Cho ; Tính A= Bài 2: Tính B= a b b c c a Bài 3: Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn c a b a b c Tính giá trị của biểu thức P 1 1 1 b c a Bài 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau a b c d Tính giá trị của biểu thức b c d a c d a b d b c a
31. a b b c c d d a M c d a d a b b c ab bc ca ab2 bc2 ca2 Bài 5: Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn Tính P a b b c c a a3 b3 c3 ab bc ca a b b c c a 1 1 1 1 1 1 HD : a b b c c a ab bc ca b a c b a c 1 1 1 a b c P 1 a b c Bài 6: Cho Tính Bài 7: Cho Tính P=(3+ ). (3+ ). (3+ ) a c a2 c2 a Bài 8: Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Dạng 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau và một tích, tìm x.y PP: - Đưa về cùng tỉ số: Cách 1: Đặt ; suy ra x=a.k; y=b.k; z=c.k rồi thay vào biểu thức để tìm k. Sau khi tìm được k ta thay vào x=a.k; y=b.k; z=c.k để tìm x, y ,z Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y (Ví dụ: và x.y=12;ta có ) Chú ý: - Dạng toán trên là dạng toán chia số M thành tích 3 số tỉ lệ với a, b, c - Đối với bài toán cho tỉ lệ. Tìm tỉ số ta chỉ nhân quy đồng, chuyển các giá trị x về một vế, các giá trị y về một vế, đưa về dạng a.x=b.y rồi suy ra hoặc đặt nhân tử chung y ở trên tử và dưới mẫu đưa về ẩn BÀI TẬP: Bài 1:Tìm x, y, z x y a) và x.y = 84 b) và xyz=288 3 7 c) và xyz=-528; d) và x.y=250 Bài 2: Chia số 960 thành tích của hai số tỉ lệ với 5 và 3 Bài 3: a) Cho Tìm b) Cho Tìm Dạng 7: Ứng dụng TLT chứng minh bất đẳng thức
32. a c a c Tính chất 1:Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0. CM: ad bc b d b d HD: a c  ad cb + Có b d  ad bc bd db b 0;d 0 ad bc  ad bc a c + Có:  b 0;d 0 bd db b d a c a a c c Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ b d b b d d HD: a c  + b d  ad bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có: b 0;d 0 ad ab bc ab a a c a b d b c a 2 b b d + Thêm vào hai vế của (1) dc ta có: 1 ad dc bc dc d a c c b d a c c 3 b d d + Từ (2) và (3) ta có: a c a a c c Từ (đpcm) b d b b d d Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên a. Nếu thì b. Nếu thì BÀI TẬP: Bài 1. Cho a; b; c; d > 0. a b c d CMR: 1 2 a b c b c d c d a d a b Giải: a + Từ 1 theo tính chất (3) ta có: a b c a d a 1 (do d>0) a b c d a b c a a Mặt khác: 2 a b c a b c d
33. a a a d + Từ (1) và (2) ta có: 3 a b c d a b c a b c d Tương tự ta có: b b b a 4 a b c d b c d a b c d c c c b 5 a b c d c d a c d a b d d d c 6 d+a+b+c d a b a b c d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được: a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b a c a ab cd c Bài 2. Cho và b;d 0 CMR: b d b b2 d 2 d Giải: a c a.b c.d ab cd Ta có và b;d 0 nên b d b.b d.d b2 d 2 ab ab cd cd a ab cd c Theo tính chất (2) ta có: b2 b2 d 2 d 2 b b2 d 2 d CHUYÊN ĐỀ VI : CĂN BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: :(với a≥0) đọc là căn bậc hai của a - Một số a>0 luôn tồn lại hai căn bậc hai là . Với a=0 có một căn bậc 2 là - Nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì là số vô tỉ =>x2=a ( với x≥0) Điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa: có nghĩa là a ≥0 Các công thức biến đổi. ; (a,b≥0) Dạng 1: Tính giá trị biểu thức và viết căn bậc hai của một số: Bài 1: Tính B= C=
34. Bài 2: Viết căn bậc hai của các số sau: 3, 6, 9, 25, -16. 0 Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai: PP: Dựa vào tính chất: nếu a>b≥0 thì Bài 1: So sánh: ; 11 và ; 7 và ; 6 và ; a) 2 27 và 147 b) -3 5 và - 5 3 c) 21, 2 7 , 15 3 , - 123 d) 2 15 và 59 e) 2 2 - 1 và 2 f) 6 và 41 g) và 1 h) - và - 2 5 i) 6 - 1 và 3 j) 2 5 - 5 2 và 1 k) và l) 6 , 4 , - 132 , 2 3 , m) - 2 6 và - 23 n) 2 6 - 2 và 3 o) 28 2 , 14 , 2 147 , 36 4 q) 9 và 25 - 16 r) 111 - 7 và 4 p) - 27, 4 3 , 16 5 , 21 2 Dạng 3: Tìm x biết PP: Nếu a<0: thì không tồn tại x Nếu a≥0 thì suy ra f(x)=a2. Từ đó tìm x BÀI TẬP: Bài 1: Tìm x ; ; ; x-2 =0; x=-2 ; x= Bài 2: a) 3x - 1 = 4 g) - 3x + 4 = 12 l) 2x 2 - 9 = - x r) (\l(\r(,x))\l(\l( )) - \l(\l( ))7)(\l(\r(,x))\l(\l( )) + \l(\l( ))7) = 2 b) x 2 - 8x + 16 = 4 h) 9(x\l(\l( )) - 1) = 21 m) = 2 s) - 2a = 3 c) 2 - 3x = 10 i) 4x = 5 o) 5x + 3 = 3 - 2 t) - 4x 2 + 25 = x d) 4 - 5x = 12 j) 4(1\l(\l( )) - \l(\l( ))x) 2 - 3 = 0 p) 16x = 8 u) 5 - 3 x = 8 + 2 15
35. e) = 2 k) 3x 2 - 5 = 2 q) (x\l(\l( )) - \l(\l( ))3) 2 = 3 v) = 5 w) 4x - 20 - 3 = 1 - x x) 4x + 8 + 2 x + 2 - 9x + 18 = 1 a') x 2 - 6x + 9 + x = 11 y) 3x 2 - 4x + 3 = 1 - 2x z) 16(x\l(\l( )) + \l(\l( ))1) - 9(x\l(\l( )) + \l(\l( ))1) = 4 b') 9x + 9 + 4x + 4 = x + 1 Dạng 3: f(x)2=a PP: Nếu a<0: không tồn tại x Nếu Nếu a≥0 thì f(x)= hoặc f(x)= - BÀI TẬP: Tìm x x2=9; 3.x2-2=4; x2=-18 ; Dạng 4: Tìm SỰ XÁC ĐỊNH của các biểu thức chứa căn . Phương pháp tìm điều kiện: A xác định khi A 0 Cần lưu ý xác định khi B # 0 BÀI TẬP: Bài 1: Tìm điều kiện xác định a) 6x + 1 g) m) 5 - 3 x s) b) - 8x h) (x\l(\l( )) + \l(\l( ))5) 2 n) 6 x - 4x t) 2011 - m c) 4 - 5x i) o) (\l(\r(,x))\l(\l( )) - \l(\l( ))7)(\l(\r(,x))\l(\l( )) + \l(\l( ))7) u) d) (\l(\l( ))\l(\r(,3))\l(\l( )) - \l(\l( ))x) 2 j) p) (x\l(\l( )) - \l(\l( ))6) 6 v) 4z 2 + 4z + 1