Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 (3,5 điểm). y x x y y2 x2 Cho biểu thức: P 2x 2y 2x 2y y2 x2 a. Rút gọn biểu thức P b. Tính giá trị của P biết: 2x2 2y2 5xy Câu 2 (4,0 điểm). a. Cho a2 b2 1; c2 d 2 1; ac bd 0 Chứng minh rằng: ab cd 0 x4 x2 1 b. Cho x2 4x 1 0 . Tính giá trị biểu thức: A x2 x 1 c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 x 1 Câu 3 (4,5 điểm). a. Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 7 297 b. Tìm x, y nguyên dương biết: x2 y2 2x 4y 10 0 a a 1 1 c. Giải phương trình: ( x là ẩn) x a x 1 x 1 Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HA. a. Chứng minh: ABM đồng dạng với CAN . b. Gọi giao điểm của AM và CN là I. Chứng minh rằng: AH 2 4NC.NI c. Lấy E là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh: EH  BN Câu 5 (2,0 điểm). Cho các số thực dương a, b. Chứng minh bất đẳng thức: a b 16 1 1 2 2 5 b a a b a b Hết Họ và tên thí sinh: , Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2018 – 2019 I. HƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ là đưa ra các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước. Bài làm phải có lập luận chặt chẽ và biến đổi hợp lý mới cho điểm, những cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Trong bài làm các bước có liên quan với nhau, bước trước sai mà bước sau đúng thì không cho điểm. Bài hình học không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm cả bài. - Điểm thành phần cho chi tiết tới 0,25 điểm. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. Điểm toàn bài ghi bằng số thập phân. II. HƯỚNG DẪN CỤ THỂ: Câu ý Nội dung Điểm y x x y y2 x2 Rút gọn biểu thức P 2x 2y 2x 2y y2 x2 Điều kiện xác định: x y ( Nếu không có ĐK hoặc ĐK sai trừ 0,25) 0,25 y x x y x2 y2 0,25 2 x y 2 x y x y x y x y 2 x y 2 2x2 2y2 0,25 2(x y)(x y) a) x2 2xy y2 x2 2xy y2 2x2 2y2 0,25 2,0 đ 2 x y x y 2 x y 2 0,50 2 x y x y x y 1) x y 0,25 3,5đ x y KL: Với x y thì P x y 0,25 Tính giá trị của P biết: 2x2 2y2 5xy 2x2 2y2 5xy 0,25 Ta có: 2x y 2y x 0 Chỉ ra được y = 2x hoặc x =2y 0,25 b) 2y y Nếu x 2y 0 thì P 3 1,50 đ 2y y 0,25 x 2x Nếu y 2x 0 thì P 3 x 2x 0,25 Nếu x = y = 0 thì P vô nghĩa 0,25 KL: x 2y 0 thì P 3 0,25
3. y 2x 0 thì P 3 x = y = 0 thì P vô nghĩa (Nếu không xét các trường hợp x 2y 0 ; y 2x 0 ; x = y = 0 mà chỉ xét y = 2x hoặc x =2y trừ 0,5đ) Cho a2 b2 1;c2 d 2 1;ac bd 0 . Chứng minh rằng: ab cd 0 Do a2 b2 1;c2 d 2 1 nên: 0,25 ab cd ab.1 cd.1 ab c2 d 2 cd a2 b2 0,25 a) abc2 abd 2 cda2 cdb2 0,25 1,50 đ abc2 cda2 abd 2 cdb2 0,25 ac(bc ad) bd(ad bc) 0,25 (ac bd)(bc ad) 0,25 = 0 vì ac +bd =0 x4 x2 1 Cho x2 4x 1 0 . Tính giá trị biểu thức: A x2 Ta có: x2 4x 1 0 x2 1 4x; x 0 0,25 ( Nếu không ghi x 0 thì châm chước) x4 x2 1 A x2 2 0,50 b) x2 1 x2 1,50 đ x2 2) 4x 2 x2 4, đ 0,25 x2 15x2 x2 0,25 = 15. 0,25 Vậy A = 15 x 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 x 1 0,25 c) TXĐ: x R 1,0 đ x 1 P x2 x 1 0,25
4. x 2 2 x2 x 1 3(x2 x 1) 2 x 2 1 0,25 3(x2 x 1) 3 1 Lập luận được P 3 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 (tmđk) 0,25 1 Kết luận: Vậy P khi x = 2 min 3 0,25 Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 7 297 0,25 Đưa được về phương trình: x2 4x 5 x2 4x 21 297 Đặt y x2 4x 13 phương trình trên trở thành: (y – 8)( y + 8) = 297 0,25 a) 1,5 đ Giải phương trình tìm được y = 19 hoặc y = -19 0,25 Với y = 19 thì x2 4x 13 19 tìm được x = 4 hoặc x = -8 0,25 Với y = -19 thì x2 4x 13 19 phương trình vô nghiệm 0,25 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 8;4 0,25 Tìm x, y nguyên dương biết: x2 y2 2x 4y 10 0 x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0,25 x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 b) 0,25 1,5 đ Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 và x + y + 3 > 0 0,25 x y 3 7 0,25 Suy ra: x y 1 1 Giải ra tìm được x = 3 và y = 1 ( thỏa mãn x, y nguyên dương) 3) 0,25 4,5 đ KL: Vậy x = 3; y = 1 0,25 a a 1 1 Giải phương trình: ( x là ẩn) (1) c) x a x 1 x 1 0,25 1,5 đ Điều kiện: x 1; x a Quy đồng khử mẫu đưa phương trình về dạng: 0,25
5. a 2 a 1 x a 1 a (2) + a = 1 phương trình (2) trở thành 0.x = 0 Phương trình (2) có vô số nghiệm x R . Suy ra phương trình (1) có vô số 0,25 nghiệm x R; x 1 + a = - 2 phương trình (2) trở thành 0.x = - 6 phương trình (2) vô nghiệm 0,25 Suy ra phương trình (1) vô nghiệm a + a 1,a 2 Phương trình (2) có nghiệm duy nhất x a 2 0,25 Nếu a = 0 => x = 0 ( không thỏa mãn điều kiện) Nếu a = -1=> x = 1 ( không thỏa mãn điều kiện) KL: Với a = 1 phương trình (1) có vô số nghiệm x R; x 1 Với a 2; 1;0 phương trình (1) vô nghiệm 0,25 a Với a 2;a 1;a 0 phương trình (1) có nghiệm duy nhất x a 2 Hình vẽ B M H Q P I N 4) C E 6,0 đ A Chứng minh được ·ABH C· AH (1) 0,50 Chứng minh được ABH : CAH (g.g) 0,50 a) 2,0 đ Suy ra: AB BH AB BM 0,50 (vì BH = 2.BM, AH = 2.AN) (2) CA AH CA AN Từ (1) và (2) suy ra được ABM : CAN (c.g.c) 0,50 Chứng minh được MN là đường trung bình của AHB => MN//AB b) 0,25 2,0 đ Chứng minh được MN  AC 0,25
6. Chứng minh được N là trực tâm AMC => CI  AM 0,50 Chứng minh được AIN : CHN(g.g) 0,25 Suy ra: NA.NH = NI.NC 0,25 mà NA = NH = AH/2 nên AH2 = 4.NI.NC 0,50 AB AH AB 2AN Ta có: ABH : CAH (cmt) => 0,25 AC CH AC CH mà CE = 2 AC vì E là điểm đối xứng của C qua A(gt) nên AB AN AB AN 0,25 2AC CH CE CH AB AN c) C/m được BAN : ECH (c.g.c) vì (cmt) và B· AN E· CH 0,50 CE CH 2,0 đ Gọi giao điểm của EH với AB, NB lần lượt là P và Q 0,50 C/m được EAP : BQP(g.g) Suy ra: B· QP E· AP 900 0,50 EH  BN Vì a, b > 0 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với: a 1 b 1 4 1 1 2 2 0 0,50 b b a a a b a b 2 a b b a 4ab a b 4 0 0,50 b2 a2 a b ab 5) 2 2 a b a b 4 a b 2,0 đ 2,0 đ 0 0,50 a2b2 a b ab a b 2 a b 2 4ab 0 a b 2 0 0,50 Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b > 0