Bài tập tự học tại nhà môn Toán Lớp 9 - Đợt 2 - Trường THCS Hoàng Diệu

Nội dung text: Bài tập tự học tại nhà môn Toán Lớp 9 - Đợt 2 - Trường THCS Hoàng Diệu

1. Trường THCS Hoàng Diệu TỔ TOÁN LÝ BÀI TẬP ÔN TẬP TOÁN 9 CHO HỌC SINH TẠI NHÀ Thời gian : 2 tuần A. PHẦN ĐẠI SỐ. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số Bài 1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Hướng dẫn : Số ban đầu xy ( hàng chục là x, đơn vị là y) => phương trình 1 Số ban đầu xy = 10x + y , số mới yx = 10y + x => phương trình 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 2. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị. Hướng dẫn : Số ban đầu x4y ( hàng trăm là x, đơn vị là y) => phương trình 1 Số ban đầu x4y = 100x +40+ y , số mới y4x = 100y +40+ x => phương trình 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 3. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đó cho 11 thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia. Hướng dẫn : Áp dụng : x là số phải tìm , y là tổng các chữ số Số tự nhiên = B(9) + tổng các chữ số => Pt 1 a chia hết cho 11 thì a = 11.b => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 4. Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị. Hướng dẫn : Số thứ nhất là x , Số thứ hai là y => phương trình 1 Số thứ nhất sau khi tăng 3 đơn vị là , Số thứ hai sau khi tăng 2 đơn vị là => phương trình 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : giải pt chứa ẩn ở mẫu đưa về pt tích) Dạng 2: Toán làm chung công việc Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II 3 chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình 4 đầy bể. Hướng dẫn : T/gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h), T/gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h)
2. Tìm : 1 (h) vòi 1 chảy được .bể , 1 (h) vòi 2 chảy được .bể => phương trình 1 4 (h) vòi 1 chảy được .bể , 3 (h) vòi 2 chảy được .bể => phương trình 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : đặt ẩn phụ) Bài 2. Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó. Hướng dẫn : T/gian tổ I làm 1 mình xong công việc là x (h), T/gian tổ II làm 1 mình xong công việc là y (h) Tìm : 1 (h) tổ I làm được .công việc , 1 (h) tổ II làm được .công việc => phương trình 1 2 (h) tổ I làm được .công việc , 2 (h) tổ II làm được .công việc và 10 (h) tổ I làm được .công việc => phương trình 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : đặt ẩn phụ) Bài 3. Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian. Hướng dẫn : T/gian lớp 9A làm 1 mình xong CV là x (h), T/gian lớp 9B làm 1 mình xong CV là y (h) Tìm : 1 (h) lớp 9A làm được c/việc , 1 (h) lớp 9B làm được c/việc => phương trình 1 T/gian lớp 9A làm xong nửa C/việc là (h), T/gian lớp 9A làm xong nửa C/việc là (h) => phương trình 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : giải pt chứa ẩn ở mẫu đưa về pt tích) Dạng 3: Toán chuyển động Bài 1. Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô. Hướng dẫn : x (km/h) là vận tốc ô tô và y (h) là T/gian ô tô đi hết quãng đường AB Vận tốc sau khi tăng 20 km/h là , khi đó t/gian đi hết QĐường AB là .=> Pt 1 Vận tốc sau khi giảm 10 km/h là , khi đó t/gian đi hết QĐường AB là .=> Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 2. Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km. Cùng lúc, một canô đi xuôi dòng thừ A đến B và một canô đi ngược dòng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của các canô không đổi). Hướng dẫn : x (km/h) là vận tốc thật của ca nô đi từ A, y (km/h) là vận tốc thật của ca nô đi từ B => Pt 1 Sau 1h40’ ô tô từ A đi được (km), Sau 1h40’ ô tô từ B đi được (km) => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 3. Quãng đường AB dài 200 km. Cùng lúc một xe máy đi từ A đến B và một ô tô đi từ B đến A. Xe máy và ô tô gặp nhau tại điểm C cách A 120 km. Nếu xe máy khởi hành sau ô tô 1 giờ thì gặp nhau tại điểm D cách C 24 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy. Hướng dẫn : x (km/h) là vận tốc xe máy và y (km/h) là vận tốc ô tô Quãng đường xe máy đi từ A đến C là ., , Quãng đường ô tô đi từ B đến C là .,
3. T/gian xe máy đi từ A đến C là ., T/gian ô tô đi từ B đến C là . => Pt 1 Xe máy khởi hành trước 1 (h) thì : Qđường xe máy đi là ., Qđường ô tô đi là T/gian xe máy đi là , T/gian ô tô đi là => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : đặt ẩn phụ) Bài 4. Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h. Do đó xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100 km. Hướng dẫn : x (km/h) là vận tốc xe khách và y (km/h) là vận tốc xe du lịch => Pt 1 T/gian xe khách đi từ A đến B là ., T/gian xe du lịch đi từ A đến B là => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 5. Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 45 phút nên người đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà người đó dự định đi, biết quãng đờng AB dài 90 km. Hướng dẫn : x (km/h) là vận tốc dự định và y (km/h) là vận tốc sau khi tăng đi từ A đến B => Pt 1 T/gian dự định là , T/gian đi với vận tốc tăng là . => Pt 2. Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : giải pt chứa ẩn ở mẫu đưa về pt tích) Bài 6. Một người đi xe máy từ A tới B. Cùng một lúc một người khác cũng đi xe máy từ B tới A với vận 4 tốc bằng vận tốc của người thứ nhất. Sau 2 giờ hai người gặp nhau. Hỏi mỗi người đi cả quãng 5 đường AB hết bao lâu? Hướng dẫn : T/gian xe đi từ A đi hết Qđường AB là x (h), T/gian xe đi từ B đi hết Qđường AB là y (h), 1 (h) xe đi từ A đi được .Qđường AB, 1 (h) xe đi từ B đi được .Qđường AB => Pt 1 2 (h) xe đi từ A đi được .Qđường AB, 2 (h) xe đi từ B đi được .Qđường AB => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : đặt ẩn phụ) Bài 7. Một canô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở về bến A. Thời gian canô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian canô xuôi dòng từ B trở về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết vận tốc dòng nước là 5 km/h, vận tốc riêng của canô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng bằng nhau. Hướng dẫn : V/tốc ngược dòng là 20 km/h và V/tốc nước là 5 km/h => V/tốc xuôi dòng là .km/h x (h) là t/gian xuôi dòng từ B đến A, y (h) là t/gian ngược dòng từ A đến B=> Pt 1 Qđường A đến B là .km, Qđường B đến A là km => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Dạng 4: Toán có nội dung hình học 3 Bài 1. Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 4 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Hướng dẫn : Đáy tam giác là x (dm), chiều cao ứng với đáy x là y (dm) => Pt 1 Đáy tam giác sau khi giảm 3 dm là . (dm), chiều cao sau khi tang 3 dm là (dm) => Pt 2
4. Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu. Hướng dẫn : x (m) là c/rộng, y (m) là c/dài , chu vi 48 m => Pt 1 C/rộng sau khi tăng lên 4 lần là (m), C/dài sau khi tăng lên 3 lần là (m) => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 Bài 3. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m 2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2. Hướng dẫn : x (m) là c/rộng, y (m) là c/dài , diện tích 100 m2 => Pt 1 C/rộng sau khi tăng lên 2 m là (m), C/dài sau khi giảm 5 m là (m) => Pt 2 Giải hệ phương trình gồm pt 1 và pt 2 ( chú ý : giải pt đưa về pt tích) B. PHẦN HÌNH HỌC. I. GÓC Ở TÂM Bài 1. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB R 2 . Tính số đo của hai cung AB. Hướng dẫn : 1 Bài 2. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng số đo của cung lớn 2 AB. Tính diện tích của tam giác AOB. Hướng dẫn : Tính ·AOB 1200 Vẽ OH  AB O => ·AOH = . Dùng tỉ số lượng giác tính OH và AH theo R => AB = A H B => Diện tích tam giác AOB R 3 Bài 3. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và O; . Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp 2 tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C. a) Chứng minh rằng »CA »CB . b) Tính số đo của hai cung AB. Hướng dẫn : C a)Chứng minh : ·AOC B· OC => »CA »CB . A M R 3 B b)Dùng tỉ số lượng giác tính M·biếtOB OM = , OB = R 2 O => ·AOB => số đo 2 cung AB
5. Bài 4. Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM = 10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. Hướng dẫn : A Chứng minh : - Tam giác OAM vuông => số đo góc AOM biết OA = 5 cm và OM = 10 cm O M Chứng minh ·AOB 2·AOM => số đo góc AOB B Bài 5. Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD, DE và EC. Hướng dẫn : A Chứng minh các tam giác BOD và COE đều · · D E => BOD ,COE => B· OD D· OE C· OE B C O => So sánh các cung BD, DE và EC. Bài 6. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; R ) với R > R . Qua điểm M ở ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R ). Một tiếp tuyến cắt (O; R) tại A và B (A nằm giữa M và B); một tiếp tuyến cắt (O; R) tại C và D (C nằm giữa D và M). Chứng minh hai cung AB và CD bằng nhau. Hướng dẫn : B Chứng minh AB và CD cách đều tâm O => AB = CD H A Chứng minh hai tam giác OAB và OCD bằng nhau M O · · C => AOB COD K => kết quả D II. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Biết µA 500 , hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC. Hướng dẫn : A Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC => So sánh các góc A, B, C => So sánh các cạnh AB, AC, BC O => So sánh các cung nhỏ AB, AC và BC. B C Bài 2. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kính AOE, AO F và BOC. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau. Hướng dẫn : D Chứng minh tứ giác AOBO’ là hình thoi A C => O’A // OB => dây AD và BC của (O) song song nhau O O' => So sánh 2 cung AB và CD So sánh 2 cung AB và CE => kết quả E F B
6. Bài 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho sđ ¼BM 900 . Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh rằng: a) AB  DN b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Hướng dẫn : a) AM // BN => so sánh 2 cung AN và BM D M C DM // AB => so sánh 2 cung AD và BM => so sánh 2 cung AD và AN => AB  DN b) Từ so sánh 2 cung AN và BM => so sánh 2 cung AM và BN A B E O => so sánh 2 dây AM và BN C/m AMCE là hình bình hành => so sánh AM và CE => so sánh CE và BN=> BCEN là hình bình hành N => kết quả Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song với nhau. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC tại M và BD tại N. So sánh hai cung AC và BD. Hướng dẫn : C Chứng minh hai tam giác AOM và BON bằng nhau M => AM = BN Chứng minh : AC = 2AM, BD = 2BN A B O => So sánh AC và BD N => So sánh hai cung AC và BD D 1 Bài 5. Cho đường tròn (O) và dây AB chia đường tròn thành hai cung thỏa: A¼mB A¼nB . 3 a) Tính số đo của hai cung A¼mB, A¼nB . AB b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB là . 2 Hướng dẫn : B 1 m a)Dựa vào số đo cung cả đường tròn bằng 3600 và A¼mB A¼nB H 3 => số đo của hai cung A¼mB, ¼AnB . A O n b)Tính số đo góc AOB C/ minh tam giác OHA vuông cân => Kết quả Bài 6. Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB và CD thỏa: A»B 2C»D . Chứng minh: AB kết quả M B
7. III. GÓC NỘI TIẾP Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 600 . a) So sánh các góc của tam giác ABC. b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB. Hướng dẫn : C N a)Dùng định lí và hệ quả về góc nội tiếp: M -Tính góc ABC, ACB và BCA I b) Chứng minh AI và BI là 2 phân giác của tam giác ABC A B O => kết quả Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A (µA 900 ). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng: 1 a) Tam giác DBE cân. b) ·CBE ·BAC . 2 Hướng dẫn : A a) C/minh AD là phân giác góc BAC =>So sánh góc BAD và CAD . => So sánh 2 dây BD và DE. => kết quả E b)So sánh 2 góc CBE và CAD, so sánh CAD và BAC B D · 1· C =>CBE BAC 2 Bài 3. Cho tam giác ABC (AB C/minh AM là phân giác trong của tam giác ABC 0 O C/minh M· AN 90 B C => AN là phân giác ngoài của tam giác ABC tại đỉnh A M Bài 4. Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI. a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng. b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Hướng dẫn : · 0 A a) C/minh : AOB 180 K b) C/minh : AK, BI là các đường phân giác của MAB O I P c) Tính :AB = 20 cm. H Chứng minh MHPN là hình vuông => r = MN = MH M N B (r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB) K C/m : MA + MB – AB = 2r => r =
8. Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên một nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng. b) ID  MN. c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định, từ đó suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên. Hướng dẫn : · 0 C a) MCN 90 MN là đường kính. · · M I N b) Chứng minh O, I, C thẳng hàng; INC OBC MN // AB; ID  AB. A B D O c) Gọi E là giao điểm của đường thẳng CD với (O) »EA »EB E cố định. E Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. a) Tứ giác BFCH là hình gì? b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng. 1 c) Chứng minh rằng OM AH . 2 Hướng dẫn : A a) Chứng minh ·ABF ·ACF 900 CE // BF, BD // CF BFCH là hình bình hành. D b) Dùng tính chất hai đường chéo của hình bình hành. E H O c) Dùng tính chất đường trung bình của tam giác AHF. B M C F Thực hiện : Nhóm Toán 9