Chuyên đề Hệ thống bài tập về phân số tối giản

Nội dung text: Chuyên đề Hệ thống bài tập về phân số tối giản

1. CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong các dạng toán liên quan đến bài RÚT GỌN PHÂN SỐ mà học sinh được học hôm nay thì các bai toán về PHÂN SỐ TỐI GIẢN thường gây nhiều khó khăn cho học sinh. Chẳng hạn: n 1 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số tối giản 23n 8 +3ab 2. Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh là phân 5 +2ab số tối giản 18 +3n 3. Tìm tất cả các số nguyên n để phân số tối giản 21n +7 6n + 7 4. Tìm tất cả các số nguyên n để phân số không tối giản 3n +2 Khi gặp những bài toán thế này thì thường là học sinh không thể định hướng cho mình một cách giải nào trong đầu. Với học sinh lớp 6 thì điều này là dễ hiểu vì các em chưa được làm quen nhiều với những bài toán chứa biến, mà ở đây lại là bài toán đòi hỏi tư duy cao. Nhưng với học sinh lớn hơn, lớp 8, 9, thì đây vẫn thật sự là thử thách. Điều này có nghĩa các em thiếu một hệ thống bài tập dạng này để rèn luyện tư duy và tự mình rút ra được phương pháp. 1
2. B. NỘI DUNG I. TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Số nguyên dương d lớn nhất là ước của cả hai số nguyên a, b được gọi là ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của a và b. Kí hiệu d a b ; 2. Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1 3. Nếu a chia b bằng m dư r thì a m b r b r b0; 4. Nếu am và bm thì : + a b m + x a y b m với mọi số nguyên x, y 5. Khái niệm phân số a + Ta gọi với a ; b ; b 0 là một phân số b a + Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a = 1 6. Phân số bằng nhau ac + Hai phân số nếu a.d = b.c bd 7. Tính chất cơ bản của phân số + Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho. a a. m ( với m ; m 0 ) b b. m 2
3. + Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho a a n : ( với n ƯC(a ; b ) ) b b n : 8. Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số + Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1) + Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ước chung a của tử và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1. Nói cách khác phân số tối b giản khi a và b nguyên tố cùng nhau. a + Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của b chúng cho ước chung lớn nhất của a và b. 3
4. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP * Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a. Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau. b. Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. c. 2n +1 và 3n + 1 (n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Giải a. Gọi d = (n, n + 1) => (n + 1) - n  d => 1  d => d = 1. Vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. b. Gọi d = (2n + 1, 3n + 1) => (2n + 3) - (2n + 1) d => 2 d => d 1;2 Ta có d 2 vì d là ước của số lẻ 2n + 1. Vậy d = 1. Do đó: 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. c. Gọi d = (2n + 1, 3n + 1) => 3(2n + 1) - 2(3n + 1) d => 1 d => d = 1. Do đó: 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. * Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: a. 7n + 10 và 5n + 7 b. 2n + 3 và 4n + 8 Giải a. Gọi d = (7n + 10, 5n + 7) thì 5(7n + 10) - 7(5n +7) d => 1 d => d = 1. Do đó : 7n + 10 và 5n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. b. Gọi d = (2n + 3, 4n + 8) => (4n + 8) - 2(2n +3) d => 2 d => d 1;2 4
5. Do d là ước của số lẻ 2n + 3 nên d = 1. Do đó: 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. * Ví dụ 3: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n: n 4 n 1 32n a. b. c. n 3 23n 53n Giải a. Gọi d = (n -4, n - 3). Ta có: n-3 - (n - 4)  d => 1 d => d = 1 a. Gọi d = (n + 1, 2n + 3). Ta có: 2n + 3 - 2(n + 1) d => 1 d => d = 1. Do đó: phân số n 1 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 2n 3 b. Gọi d = (3n + 2, 5n + 3). Ta có: 5(3n + 2) - 3(5n + 3) = 1 d => d = 1. Do đó: phân số 3n 2 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 5n 3 1 2 1n * Ví dụ 4: Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 3 0 2n Giải Gọi d 12 n 1;30 n 2 suy ra 121nd và 302nd 5 12n 1 2 30 n 2 d 1 d Do đó d = 1. Vậy là phân số tối giản. n2 * Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì phân số tối giản. n 1 Giải 5
6. Gọi d n n 2;1 suy ra n2 d và nd 1 Vì nên n n d 1 hay n n2 d Do đó n n22 n d hay nd. Mà nên n 1 n d hay 1 d n2 d 1. Vậy phân số tối giản. n 1 8 +3ab * Ví dụ 6: Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh là 5 +2ab phân số tối giản. Giải Gọi dabab 83;52 5 83ab d Ta có 5 838ababdb 521 d 8 52ab d 2 83ab d Lại có 2 833ababda 522 d 3 52ab d Từ 1 và 2 d ƯC ab; . Mà a, b là hai số nguyên tố cùng nhau nên d 1 Vậy phân số tối giản * Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu a là số nguyên khác -1 thì giá trị của biểu a32+2a1 thức A là một phấn số tối giản. aaa32+2+2 +1 Giải 6
7. 2 aaa 11 aa2 1 Rút gọn A aaa 11 2 aa2 1 a a2 d 1 Gọi daaaa 221,1 2 a a d 1 22 Suy ra aaaad 11 hay 2 d Mà aaaa2 111 là số lẻ nên d lẻ d 1. Vậy với a khác -1 thì giá trị của A là phân số tối giản. * Ví dụ 8: Tìm n để các số 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau: Giải Giả sử 9n + 24 và 3n +4 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì: 9n + 24 – 3(3n + 4)  d => 12 d => d 2,3 Điều kiên để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là d 2 và d 3. Hiển nhiên d 3 vì 34n không chia hết cho 3. Muốn d 2 phải có ít nhất một trong hai số 9 2n 4 và 3n + 4 không chia hết cho 2. Ta thấy: 9n + 24 là số lẻ 9n lẻ n lẻ 3n + 4 là số lẻ 3n lẻ n lẻ. Vậy (9n + 24, 3n + 4) = 1 khi n lẻ. * Ví dụ 9: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: a. 4n + 3 và 2n +3 b. 7n + 13 và 2n + 4 c. 18n + 3 vàg 21n + 7. 7
8. Giải a. Giả sử 4n + 3 và 2n + 3 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì : 2(2n + 3) - (4n + 3)  d => 3 d => d = 3. Để (2n + 3, 4n + 3) = 1 thì d 3.Ta có : 4n + 3 không chia hết cho 3 nếu 4n không chia hết 3 hay n không chia hết cho 3. Kết luận: với n không chia hết cho 3 thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. b. Giả sử 7n + 13 và 2n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d. Ta có :7(2n + 4) - 2(7n + 13) d => 2 d => d 1;2 Để (7n + 13, 2n + 4) = 1 thì d 2 . Ta có: 2n + 4 luôn chia hết 2 khi đó 7n + 13 không chia hết cho 2 nếu 7n chia hết cho 2 hay n chia hết cho 2. Kết luận: n là số chẵn thì 7n + 13 và 2n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. c. Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d. Ta có : 6(21n + 7) - 7(18n + 3) d => 21 d.Vậy d 3;7. Hiển nhiên d 3. Vì 21n + 7 không chia hết cho 3. Để (18n + 3, 21n + 7) = 1 thì d 7 tức là 18n + 3 không chia hết cho 7 (vì ta luôn có 21n + 7 chia hết cho 7) 18n + 3 - 21 không chia hết cho 7 18 n 1 không chia hết cho 7 n - 1 không chia hết cho 7 nk 71(k N). 8
9. Kết luận:với n 7k + 1(k N) thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. * Ví dụ 10: Tìm các số tự nhiên n để phân số n 13 là phân số tối giản: n 2 Giải Giả sử n + 13 và n - 2 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì: n + 13 - (n - 2)  d => 15 d => d 3;5 Để (n + 13, n - 2) = 1 thì d 3 và d 5. Ta có: d 3 khi n - 2 không chia hết cho 3 (khi đó n + 13 không chia hết cho 3) => n 3k + 2 (k N*) Ta cũng có:d 5 khi n - 2 không chia hết cho 5 (khi đó n + 13 không chia hết cho 5) => n 5k + 2 (k N*). Kết luận:Với n 3k + 2 và n 5k + 2 (k N*) thì phân số là phân số tối giản. Ngoài cách giải trên ta còn có cách giải sau: n 13 n 2 15 15 Ta có: 1 (n 2). n 2 n 2 n 2 n 13 15 Để phân số là phân số tối giản thì phân số là phân số tối giản. n 2 n 2 9
10. Muốn vậy 15 và n - 2 phải là hai số nguyên tố cùng nhau.Vì 15 có hai ước khác 1, khác 15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n – 2 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 5 tức là n 3k + 2 và n 5k + 2 (k N*). n 1 * Ví dụ 11: Cho phân số A . Tìm tât cả các giá trị của n để A là phân số n 3 tối giản. n 1 là phân số tối giản khi (n+1; n-3) = 1 n 3 Ta có : (n+1; n-3) = 1 (n-3; 4) = 1 n-3  2 n là số chẵn *Ví dụ 12: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản. a. 2n 3 4n 1 b. 3n 2 7n 1 2n 7 c. 5n 2 Giải a. Gọi d là ước nguyên tố của 2n + 3 và 4n + 1.Ta có: 2(2n + 3) - (4n + 1)  d => 5 d => d 1;5. Ta thấy 2n + 3 5 (khi đó 4n + 1 5) nếu 2n tận cùng bằng 2 hay n tận cùng bằng 1 hoặc 6. Kết luận: Với mọi số tự nhiên n có tận cùng khác 1 và khác 6 thì phân số là phân số tôi giản. 10
11. b. Gọi d là ước nguyên tố của 3n + 2 và 7n + 1. Ta tìm được d = 11 => d 1;11 Ta thấy: 3n + 2  11 (khi đó 7n + 1 11) nếu 3n + 2 - 11 11 3(n - 3) 11 n - 3 11 n = 11k + 3 (k N). Kết luận: Nếu n 11k + 3 (k N) thì phân số đã cho tối giản. c. Gọi d là ước nguyên tố của 2n + 7 và 5n + 2. Ta có: 5(2n + 7) - 2(5n + 2) d => 31 d => d = 31. Ta thấy :2n + 7 31 (khi đó 5n + 2 31) nếu 2n + 7 - 31 31 => 2(n - 12) 31 => n - 12 31 => n = 31k + 12(k N). Kết luận: Nếu n 31k + 12(k N) thì phân số đã cho tối giản. 63 * Ví dụ 13: Tìm tất cả các số nguyên n để A không là phân số tối 31n giản Giải Ta có 63 32 .7 nên A không phải là phân số tối giản khi 3n+1 chia hết cho 3 hoặc 7. Vì 3n+1 không chia hết cho 3 nên 3n+1 phải chia hết cho 7. Hay 3n 1 7 3 n 2 72 7n (vì (3,7)=1) Vậy nk 72 thì A không tối giản. Nhận xét Để một phân số không phải là phân số tối giản thì tử số và mẫu số phải có ít nhất một ước chung là một số nguyên tố 11
12. 67n * Ví dụ 14: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số B không là phân 32n số tối giản. Giải Gọi d là ước nguyên tố chung (nếu có) của 6n+7 và 3n+2. Vì 32nd nên 64nd . Suy ra 6764nn d hay 3 d . Vì d là số nguyên tố nên d = 3. Khi đó 3n 2 3 2 3, vô lí Vậy không có số nguyên n để B là phân số tối giản. 21n 3 * Ví dụ 15: Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được. 6n 4 18n 3 * Ví dụ 16: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số là phân số tối 21n 7 giản. Giải Gọi d là ước nguyên tố chung (nếu có) của 18n 3và 21n 7 Vì 183nd nên 7 18nd 3 217nd nên 6 21nd 7 Suy ra 126n 42 126 n 21 d hay 21 d Vì d là số nguyên tố nên d 3;7 TH1. d 3 thì 21n 7 3, vô lí. 12
13. TH2. d 7 . Khi đó 18 3n 7 Mà 21n 21 7 nên 21nn 21 18 3 7 Tức là 3n 18 7 hay 3 6 n 7 Vì (3,7)=1 nên n 67 . Do đó n k k 71 Vậy n k k 71 thì phân số đã cho tối giản. 45n * Ví dụ 17: Tìm tất cả các số nguyên dương để có thể rút gọn được. 54n Hướng dẫn Để có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1 4n + 5 d và 5n + 4 d 5(4n + 5) – 4(5n + 4) d hay 9 d 4n + 5 3 và 5n + 4 3 n – 1 3 n – 1 = 3k n = 3k + 1 (k N) Vậy với n = 3k + 1 (k ) thì có thể rút gọn được 8n 193 * Ví dụ 18: Tìm số tự nhiên n để phân số A 4n 3 a. Có giá trị là số tự nhiên b. Là phân số tối giản c. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Hướng dẫn 8n 193 2(4n 3) 187 187 Ta có: A 2 4n 3 4n 3 4n 3 a. Để A N thì 187  4n + 3 4n +3 1; 17; 11; 187 13
14. +) 4n + 3 = 1 không có n N +) 4n + 3 = 11 n = 2 +) 4n +3 = 187 n = 46 +) 4n + 3 = 17 4n = 14 không có n N Vậy n 2 ; 4 6  b. A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1 4n + 3 11k (k N) và 4n + 3 17m (m N) 4n + 3 - 11 11k (k N) và 4n + 3 - 51 17m (m N) 4(n – 2) 11k (k N) và 4(n – 12) 17m (m N) n 11k + 2 (k N) và n 17m +12 (m N) c. A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12 Với 150 < n < 170 n 156;165  323nn2 * Ví dụ 19: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số không tối 21n giản. Hướng dẫn Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 3nn2 2 3 và 21n 2 Suy ra 2 3233nnnnd 21 hay nd 6 2nd 12 Suy ra 11 d d 11 Khi đó 2n 1 11 11 hay 2 n 5 11 14
15. Vậy nk 1 1 5 * Ví dụ 20: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân 56717 số tối giản ;;; ; nnnn 891020 Giải x Nhận xét thấy các phân số trên đều có dạng với x 5 ,6 ,7, , 17 xn 3 Do đó để các phân số đều tối giản thì x và n 3 phải nguyên tố cùng nhau Suy ra n 3 phải nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số 5, 6, 7, , 17 n 3 phải là số nguyên tố nhỏ nhất và lớn hơn 17 n 3 = 19 n = 16 15
16. C. KẾT LUẬN Hệ thống những bài toán hay và khó theo một trình tự tư duy có thể không cần thiết với những học sinh xuất sắc, có óc sáng tạo cao nhưng theo tôi, nó vẫn là cách để phần đông học sinh còn lại tự mình rút ra cách học, cách tư duy cho bản thân. Các em sẽ thấy tự tin hơn và hứng thú hơn khi học toán. Chuyên đề nhỏ được viết trong thời gian gấp rút để phù hợp với bài dạy thao giảng cụm nên chắc chắn không thể tránh được thiếu sót. Mong nhận được những góp ý của quý thầy cô để chuyên đề này và nhưng chuyên đề sau của tôi sẽ tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn. D. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tham khảo các tài liệu từ internet - Sách Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Toán 6. Tác giả: Bùi Văn Tuyên NXB: Giáo Dục Việt Nam 16