Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề I+II: Căn bậc hai – căn bậc ba. Hàm số bậc nhất - Năm học 2016-2017 - Đào Văn Cầu

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề I+II: Căn bậc hai – căn bậc ba. Hàm số bậc nhất - Năm học 2016-2017 - Đào Văn Cầu

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Đại số: ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 9 Năm học 2016 – 2017 CHỦ ĐỀ I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA Dạng 1: So sánh Phương pháp: - Áp dụng định lí so sánh hai CBHSH và các tính chất của bất đẳng thức + Định lí so sánh hai CBHSH: Với a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: a b a + c > b + c (cộng cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số) Tính chất 2: a > b ac > bc (với c > 0, nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương) a > b ac 0 a b a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Với hai số a, b không âm, ta có: a b ab . Dấu “=” xảy ra a = b 2 (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: x y (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2). Xảy ra dấu “=” khi a b Bất đẳng thức x + y x + y . Xảy ra dấu “=” khi xy ≥ 0 Tính chất: Với A > 0 và B > 0, ta có: A > B A2 > B2 Với mọi A, B ta có: A B A2 B2 - Sử dụng một số công thức biến đổi căn thức bậc hai ĐÀO VĂN CẦU 1
2. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 1) A2 B A B với B ≥ 0 A B = A2 B với B ≥ 0 và A ≥ 0 2) p A q A r A p q r A Bài 1: So sánh a) x = 3 2 và y = 2 3 ; b) x 3 5 và y 5 3 c) x 4 2 50 2 32 và y = 2 ; d) x = 2m và y = m + 2 với m R HD: b) Đưa thừa số vào trong dấu căn ở hai số x và y rồi áp dụng định lí so sánh hai CBHSH hai lần Ta có: x= 3 5 = 32.5 = 45 và y= 5 3 = 52.3 = 75 d) Xét hiệu x – y = 2m – (m + 2) = 2m – m – 2 = m – 2 Xét ba trường hợp: m – 2 > 0, m – 2 = 0, m – 2 < 0 Suy ra: So sánh được x và y trong từng trường hợp Bài 2: Chứng minh rằng: 2016 2017 a) 2015 2 2016 2017 0 ; b) 2016 2017 2017 2016 HD: Áp dụng định lí so sánh hai CBHSH 1 1 và tính chất: 0 a b (hai phân số cùng tử dương phân số nào có mẫu lớn a b hơn thì nhỏ hơn) 1 1 a) < 2017 2016 2016 2015 2017 + 2016 2016 + 2015 Chuyển các hạng tử sang VT suy ra: ĐPCM 1 1 1 1 b) < <0 2017 2016 2016 2017 Cộng cả hai vế với 2016 + 2017 suy ra: ĐPCM Tổng quát: Với n N*, ta có: ĐÀO VĂN CẦU 2
3. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 n n 1 a) n 2 n 1 n 2 0 ; b) n n 1 n 1 n Dạng 2: Tìm ĐKXĐ Phương pháp: Căn thức bậc hai: A xác định (có nghĩa) A 0 (A lấy giá trị không âm) A Phân thức: xác định (có nghĩa) B ≠ 0 (A, B là các đa thức) B Phép chia: A: B xác định (có nghĩa) B ≠ 0 (A, B là các biểu thức bất kì) Lưu ý: Với những biểu thức vừa chứa căn thức bậc hai, vừa chứa phân thức, vừa có phép chia để tìm đkxđ cho biểu thức đó ta phải đưa ra được hệ điều kiện để đồng thời căn thức bậc hai, phân thức và phép chia trong biểu thức đó có nghĩa và giải hệ điều kiện đó Một số dạng biểu thức thường gặp 1) A x có nghĩa A(x) ≥ 0 A x 2) có nghĩa B(x) ≠ 0 B x A x A x 0 3) có nghĩa B x B x 0 A x B x 0 4) có nghĩa B x 0 B x B x 0 Bài 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa ? a) 5x ; b) 7x ; c) 7 3x ; d) 2 3x HD: Tìm điều kiện để A có nghĩa Bước 1: Cho biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0 (A 0) Bước 2: Giải bất phương trình bậc nhất Bước 3: Kết luận (ĐKXĐ) Bài 4: Tìm điều kiện của x để mỗi biểu thức sau xác định ĐÀO VĂN CẦU 3
4. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 3 2x 3 1 1 a) ; b) ; c) 4x 3 ; d) ; e) 5x 3x x 2 1 2x x 2 HD: x 0 x 0 2x 3 2 b) 2 xác định 3x + x ≠ 0 x(3 + x) ≠ 0 3x x 3 x 0 x 3 Vậy: ĐKXĐ: x ≠ 0 và x ≠ 3 Chú ý: Một tích khác 0 khi tất cả các thừa số đều khác 0 (phân biệt một tích bằng 0 chỉ cần ít nhất một thừa số của tích bằng 0) 1 1 d) xác định 1 – 2x > 0 x 1 2x 2 1 Vậy: ĐKXĐ: x 2 1 1 Lưu ý: Để biểu thức xác định cần căn thức xác định và phân thức 1 2x 1 2x 1 xác định từ đó ta đưa ra được hệ đkxđ và giải hệ điều kiện đó hoặc từ hệ điều 1 2x kiện đó ta suy ra được điều kiện: 1 – 2x > 0 1 1 e) xác định 0 x2 > 0 (vì 1 > 0) x ≠ 0 (do x2 0, x R) x 2 x 2 Vậy: ĐKXĐ: x ≠ 0 Lưu ý: Tính chất: A2 > 0 A ≠ 0 Bài 5: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa ? x 2 x 1 2x 5 3x a) ; b) ; c) ; d) 1 x 2 ; e) x 2 x 2 3x 9 5 x 1 2x 1 f) ; g) ; x 2 2 3x HD: 1 2x x 0 x 0 2x 5 0 0 a) ; b) ; c) ; e) 5 – x > 0; f) x 2 x 2 0 x 2 0 3x 9 0 2 x 0 Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ĐÀO VĂN CẦU 4
5. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Phương pháp: * Sử dụng các công thức biến đổi căn thức A với A ≥ 0 1) A2 A = A với A 0 B B 4) A2B = A B với B ≥ 0 5) A B = A2B với B ≥ 0 và A ≥ 0 A B = A2B với B ≥ 0 và A 0 B B C C A  B 8) với A ≥ 0 và A ≠ B2 A B A B2 C C A  B 9) với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B A B A B 10) p A q A r A p q r A 2 * Hướng dẫn cách biến đổi căn thức dạng A M N về dạng a b M N =±2ab Biến đổi 2 2 A=a +b A. Biểu thức số Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 4 1 6 a) A ; b) B 4 3 2 4 3 2 3 1 2 3 3 3 2 1 c) C 7 4 28 ; d) D 20 5 2 . 5 50. 10 14 7 15 5 1 e) E 2 5 2 6 12 ; f) F : 1 2 1 3 7 5 ĐÀO VĂN CẦU 5
6. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 3 13 6 15 4 12 k) K ; m) M . 6 11 2 3 4 3 3 6 1 6 2 3 6 2 n) N 6 2 5 6 2 5 ; h) H 1 2016 . 2017 2 2016 Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau: a) A 2 3 2 3 ; b) B = 9 17. 9 17 c) C 3 5 3 5 2 ; d) D 15 50 5 200 3 450 : 10 e) E 9 4 5 5 ; f) F 3 2 6 . 6 3 3 1 1 3 1 7 2 5 g) G . ; k) K 13 4 3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 5 15 j) J 14 6 5 14 6 5 ; l) D 2 3. 6 2 n) H 2 6 2 5 7 2 10 ; o) O 2 3. 2 2 3 . 2 2 3 1 w) W = 7 4 3 2 3 B. Rút gọn biểu thức đại số (đơn giản) Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: x y 2 xy y x a) A với x 0;y 0 và x ≠ y x y x y 2 x y y x x y 4 xy b) B với x > 0; y > 0 và x ≠ y xy x y x x y y x y c) C với x 0;y 0 và x ≠ y x y xy x y a b b a 1 d) D : với a > 0; b > 0 và a ≠ b ab a b a a a a e) E 1 . 1 với a ≥ 0; a ≠ 1 a 1 a 1 ĐÀO VĂN CẦU 6
7. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 1 f) F . 5a 4. 1 4a 4a 2 với a 0,5 2a 1 a a b b a b b a a b h) H : với a ≥ 0; b ≥ 0 và a ≠ b a b a b a b x y 5 x 5 y g) G với x ≥ 0; y ≥ 0 x y 5 x3 y y y xy k) K với x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y x 2 y x y x y x y y y x x m) M với x ≥ 0; y ≥ 0 1 xy C. Rút gọn biểu thức đại số tổng hợp và các bài toán liên quan a) HD: Để rút gọn một biểu thức ta thường làm theo các bước Bước 1: Phân tích tất cả các mẫu thức của các phân thức có trong biểu thức thành nhân tử Lưu ý +) Nếu phân thức nào rút gọn được, phân tích tử của phân thức đó thành nhân tử rồi rút gọn phân thức đó. +) Đổi dấu tử và mẫu phân thức hoặc đổi dấu phân thức (nếu cần) và mẫu để tìm mẫu thức chung +) Nhóm các phân thức với nhau để cộng trừ (nếu có thể) để rút gọn biểu thức được thuận tiện hơn Bước 2: Quy đồng mẫu các phân thức và cộng trừ các phân thức Lưu ý Khi trừ đi một biểu thức ta bỏ ngoặc biểu thức đó đồng thời phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc Bước 3: Rút gọn tử của phân thức nhận được đồng thời phân tích thành nhân tử và rút gọn phân thức Lưu ý Khi rút gọn phân thức thì tử và mẫu của phân thức phải ở dạng tích Bổ sung: +) Ôn tập các kiến thức về cộng, trừ, nhân, chia phân thức và phân tích đa thức thành nhân tử đã học ở lớp 8 +) Bài toán rút gọn có hai biến các bước làm và phương pháp như một biến ĐÀO VĂN CẦU 7
8. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 +) Bài toán rút gọn có chứa dấu ngoặc thực hiện trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau, có nhiều ngoặc thì thực hiện đồng thời trong các ngoặc b) Các bài tập kết hợp với bài toán rút gọn Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức tại giá trị của biến cho trước Bài toán 2: Giải phương trình ( tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị nào đó) Bài toán 3: Giải bất phương trình (tìm giá trị của biểu thức để biểu thức lớn (nhỏ) hơn một giá trị nào đó) Bài toán 4: Chứng minh biểu thức luôn lớn (nhỏ) hơn một giá trị nào đó. Bài toán 5: Tìm giá trị nguyên Bài toán 6: Tìm giá trị Min, Max của biểu thức CÁCH LÀM VÀ TRÌNH BÀY CHO TỪNG LOẠI BÀI VÀ LỖI SAI THƯỜNG MẮC PHẢI Bài toán 1: Khi thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn ta phải xét giá trị đó có thoả mãn ĐKXĐ không Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Đối chiếu giá trị cho trước của biến với ĐKXĐ Bước 3: +) Nếu giá trị cho trước của biến thoả mãn điều kiện ta thay giá trị cho trước của biến đó vào biểu thức rút rồi thực hiện phép tính và kết luận +) Nếu giá trị cho trước của biến không thoả mãn điều kiện cho trước của biến thì kết luận tại giá trị đó của biến thì giá trị của biểu thức đã cho không xác định Bài toán 2: Tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ, bước khử mẫu dùng dấu suy ra “ ” Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Cho biểu thức rút gọn bằng giá trị cho trước đó, quy đồng rồi khử mẫu và giải phương trình nhận được Bước 3: Đối chiếu giá trị của biến tìm được với ĐKXĐ nếu thoả mãn thì nhận, không thoả mãn thì loại Bước 4: Kết luận ĐÀO VĂN CẦU 8
9. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Bài toán 3: Hướng dẫn cách trình bày qua bài tập cụ thể Ví dụ bài toán: Bài 1: (2điểm) x + 2 x 1 Cho biểu thức Q = + 1 x x -1 x + x +1 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > - 2 Giải a) Rút gọn biểu x + 2 x 1 Q = + 1 x x -1 x + x +1 x + 2 x 1 Q = + 1 x 1 x x 1 x + x +1 x + 2+ x -1 Q = 1 x 1 x x 1 x + x +1 Q = 1 x 1 x x 1 1 x 1 Q = x 1 x 1 2 x Q = x 1 b) Tìm x để Q > - 2 Bước 1: Cho biểu thức rút gọn: Q > - 2 ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1 2 x 2 x 1 Bước 2: Biến đổi về dạng một vế bằng 0 vế còn lại là một biểu thức, lưu ý không x được khử mẫu: 0 x 1 Bước 3: Nhận xét dấu của tử (hoặc mẫu) để suy ra bất phương trình tương đương với một bất phương trình mới và giải bất phương trình mới. Ta thấy x ≥ 0 với mọi x ≥ 0 ĐÀO VĂN CẦU 9
10. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 x x 0 => 0 x >1 ( thoả mãn điều kiện) x 1 x 1> 0 Bước 4: Kết luận đối chiếu với điều kiện Vậy x > 1 PHÂN BIỆT BÀI TOÁN TÌM VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH Bài toán 4: Chứng minh biểu thức luôn lớn (nhỏ) hơn một giá trị nào đó. Cách trình bày một bài toán chứng minh là dùng lí lẽ lập luận để chỉ ra nó luôn đúng còn bài toán tìm là cho rồi giải để tìm ra giá trị của biến thoả mãn đề bài. Ví dụ: x + 2 x +1 x +1 Cho biểu thức A =1: + - x x -1 x + x +1 x -1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng A > 3 với mọi x > 0 và x ≠ 1 Giải x + x +1 b) A = x Bước 1: Xét hiệu 2 x + x +1 x 1 Xét A – 3 = 3 x x Bước 2: Nhận xét dấu của tử và mẫu Ta thấy với x > 0 => x 0 2 x 1 0 với mọi x > 0 và x ≠ 1 Bước 3: So sánh hiệu với 0 suy ra điều phải chứng minh 2 x 1 => A – 3 = > 0 với mọi x > 0 và x ≠ 1 x => A > 3 với mọi x > 0 và x ≠ 1(đpcm) Chú ý: Thông thường để làm bài tập dạng trên ta thường xét hiệu và so sánh hiệu với số 0! +) Nếu chứng minh lớn (nhỏ) 0 ta không cần xét hiệu ĐÀO VĂN CẦU 10
11. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 +) Có trường hợp ta không cần xét hiệu Lưu ý: Nhớ một số tính chất a2 ≥ 0 với mọi a a 0 với mọi a (a + b)2 ≥ 4ab với mọi a, b Tính chất bất đẳng thức Cộng hai vế với cùng một số Nhân hai vế với cùng một số âm, số dương Bài toán 5: Tìm giá trị nguyên Dạng 1: Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên a x +b A= m x +n TH1: Nếu a chia hết cho m Bước 1: Tìm ĐKXĐ a x +b k Bước 2: Biến đổi A về dạng A= = K + với a, b, m, n, K, k đều là số m x +n m x +n nguyên Bước 3: Lập luận: +) Với x nguyên mà x vô tỉ ( x không là số chính phương) => A vô tỉ (loại) +) Với x nguyên mà x nguyên ( x là số chính phương) k  A nguyên nguyên k m x + n m x + n Ư(k) = ±1;±k  m x + n Lưu ý: Xét giá trị biểu thức m x + n với điều kiện x ≥ 0 để loại bớt các giá trị ước Xét xem k là số nguyên tố hay hợp số Bước 4: Lập bảng giá trị tìm x (nếu có nhiều ước số của K) Bước 5: +) Đối chiếu các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ và x Z +) Trả lời bài toán Đề bài yêu cầu tìm giá trị nguyên của biểu thức khi đó, phải làm thêm bước tính giá trị của biểu thức A. ĐÀO VĂN CẦU 11
12. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 TH2: Nếu a không chia hết cho m a x+b A= m x+n Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Tìm BCNN(a;m) : a = k và tìm biểu thức phụ kA Bước 3: Tìm x nguyên để biểu thức kA nguyên làm tương tự như dạng bài trên Bước 4: Thử lại: Tính giá trị của A ứng với những giá trị tìm được của x và xét xem biểu thức A nhận giá trị nguyên hay không nguyên và chọn giá trị của biến x Bước 5: Kết luận Dạng 2: Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên a x +b a1x+b1 x +c1 A= hoặc A= m x +n a2 x+b2 x +c2 Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Tìm giá trị nguyên của biểu thức A trước bằng cách: +) Chứng minh k A K +) A Z Suy ra: Các giá trị của biểu thức A Bước 3: Cho biểu thức A nhận lần lượt các giá trị đó và giải các phương trình nhận được suy ra giá trị của biến Bước 4: Kết luận (đối chiếu với ĐKXĐ) Bài toán 6: Tìm giá trị Min, Max của biểu thức a x+b Dạng 1: A= m x+n Bước 1: Làm như bước 1 của bài toán tìm giá trị nguyên Bước 2: Vận dụng các tính chất của bất đẳng thức +) a ≥ b => a + c ≥ b + c +) a ≥ b => a.c ≥ b.c nếu c > 0 +) a ≥ b => a.c ≤ b.c nếu c 0 => a b ĐÀO VĂN CẦU 12
13. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Chú ý điều kiện xảy ra dấu “=” => Min; Max m x+n Dạng 2: A= ( a ≠ 0) ax+b x+c Bước 1: Biến đổi A m x+n A= Aax + (Ab – m) x + Ac – n = 0 ax+b x+c Bước 2: Đặt x = t ( ĐK: t ≥ 0 ) Ta có phương trình: Aat2 + (Ab – m)t + Ac – n = 0 (1) +) Xét A = 0 x ? +) Xét A ≠ 0 Phương trình (1) là phương trình bậc 2 Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai: ≥ 0 k ≤ A ≤ K Từ đó suy ra: Min; Max Bước 3: Kết luận 2 m' x+n' Cách khác biến đổi A = K - ax+b x+c 2 m' x+n' A = + k ax+b x+c Từ đó suy ra Min; Max kx +m x+n Dạng tổng quát A= cách làm như trên, ôn tập dạng bài ở lớp 8 ax+b x+c ax2 +bx+c A= cách làm tương tự như trên a'x2 +b'x+c' ax+b x+c Dạng 3: Dạng đặc biệt của dạng trên: A= 2 m x+n 2 k1 m x+n k2 m x+n ax+b x+c k3 Biến đổi A= 2 2 2 2 m x+n m x+n m x+n m x+n ĐÀO VĂN CẦU 13
14. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 k2 k3 =k1 + + 2 m x+n m x+n 1 2 Đặt t , ta có: A = k1 + k2t + k3t m x+n Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) f x ax2 bx c 2 b c a x x a a 2 2 2 b b b c a x 2.x. 2a 2a 2a a 2 b b2 4ac a x 2a 4a Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu a 0) Dạng 4: Tìm Min, Max bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi a x+b ax+b x+c A= hoặc A= ( m x > 0; m x+n>0 với mọi x thoả mãn m x+n m x+n ĐKXĐ) Bước 1: Tìm ĐKXĐ ax+b x+c ax b x c A= m x m x m x m x Bước 2: Biến đổi c a b x m m x m c a Bước 3: Áp dụng bất đẳng Côsi cho hai số dương: x và m m x Từ đó suy ra Min (Max) Bước 4: Kết luận ax+b x+c A= làm tương tự như trên m x+n ĐÀO VĂN CẦU 14
15. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 2 k m x+n k m x+n ax+b x+c 1 2 k A= 3 m x+n m x+n m x+n m x+n k k m x+n 3 k 1 m x+n 2 Lưu ý: Nhớ một số tính chất a2 ≥ 0 với mọi a a 0 với mọi a (a + b)2 ≥ 4ab với mọi a, b Tính chất bất đẳng thức Cộng hai vế với cùng một số Nhân hai vế với cùng một số âm, số dương Bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ 2 ab . Xảy ra dấu “=” khi a = b 1 1 4 + với a, b dương. Xảy ra dấu “=” khi a = b a b a+b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki x y (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2). Xảy ra dấu “=” khi = a b Bất đẳng thức x + y x+ y . Xảy ra dấu “=” khi xy ≥ 0 A A. Xảy ra dấu “=” khi A ≥ 0 1 Chú ý: Khi A > 0 ta xét biểu thức hoặc A2 A Trong nhiều trường hợp ta đổi biến đặt ẩn phụ để tìm Min; Max Ví dụ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A x2 4x 5 ĐKXĐ: x -1; x ≥ 5 Ta có A ≥ 0 Xét A2 = - x2 + 4x + 5 Tìm GTNN; GTLN của A2 ĐÀO VĂN CẦU 15
16. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Một số dạng bài tìm Min; Max khác cần ôn tập 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 9: Cho biểu thức: A với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 961; c) Tìm x để A > 1; d) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. x 1 HD: a) A với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 x 3 b) Ta thấy x = 961 thoả mãn điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 8 A = (Đối chiếu điều kiện thoả mãn thay, không thoả mãn kết luận tại giá trị 7 của biến đã cho giá trị của biểu thức không xác định) c) Kết quả: x > 9 d) Kết quả: x 1;16;25;49 Bổ sung: c1) Tìm x để A 0 2 x 3 x Bài 10: Cho biểu thức: B 1 với x > 0; x ≠ 4 x 2 x 2 x a) Rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị của biểu thức B tại x = 841; c) Tìm x để B = 2; d) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. x HD: a) B với x > 0; x ≠ 4 x 2 29 b) B = 27 c) x = 16 d) x 1;9;16 x 2 x 1 3 5 x Bài 11: Cho biểu thức: Q với x ≥ 0; x ≠ 1 x x 1 x x 1 1 x a) Rút gọn biểu thức Q; b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 3 + 2 2 c) Tìm x để Q > – 4; d) Tìm x nguyên để Q nhận giá trị nguyên. 4 5 x HD: a) Q với x ≥ 0; x ≠ 1 x 1 ĐÀO VĂN CẦU 16
17. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 b) +) Tính x 2 x 3 + 2 2 2 1 2 1 (vì 2 1 > 0) 10 2 +) Q = 2 c) 0 0 a a 1 a a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm a để P = 2; c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P; d) Với a > 1; hãy so sánh P và P . HD: a) P a a với a > 0 b) P = 2 a a 2 a a 2 0 a 1 a 2 0(Chuyển vế rồi phân tích thành tích) a = 4 2 1 1 1 1 1 c) P a a a 2. a. + = a 2 4 4 2 4 1 MinP = 4 A với A ≥ 0 d) Nhận xét: Để so sánh P và P ta cần áp dụng công thức A A với A 0 P = P x 2 x x x Bài 13: Cho biểu thức: M với x ≥ 0 và x ≠ 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức M; b) Tìm x để M = 0; c) Tính giá trị của M khi x = 3 + 2 2 d) Chứng minh rằng M > – 1 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1 ĐÀO VĂN CẦU 17
18. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 HD: a) M = x Bài 14: Cho biểu thức x 1 1 2 C : với x > 0 và x ≠ 1 x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm x để C > 0. 3 c) Tìm x để C 2 d) Tìm x để C = 6 x 1 HD: a) C với x > 0 và x ≠ 1 x a b b a a b Bài 15: Cho biểu thức K với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b 2 a b 2 a b b a a) Rút gọn biểu thức K; b) Tính giá trị của biểu thức K tại a = 2 và b = 8. x 2 x x x Bài 16: Cho biểu thức: P với x ≥ 0 và x ≠ 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn P; b) Tìm x để P = 0 c) Tính giá trị của P khi x = 3 + 2 2 e) Chứng minh rằng P > 1 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1 1 1 x3 x Bài 17: Cho biểu thức: B với x > 1 x 1 x x 1 x x 1 53 a) Rút gọn B; b) Tính giá trị của B khi x 9 2 7 c) Tìm x để B = 16; d) Tìm x để B > 0 x x 3 2 x 3 x 3 Bài 18: Cho biểu thức: A x 2 x 3 x 1 3 x a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 1 x 1 2 x Bài 19: Cho biểu thức: M : 2 với x > 0 và x ≠ 4 x 4 x 4 x 4 x 4 a) Rút gọn M; b) Tính giá trị của M khi x thoả mãn: x – 3 x + 2 = 0. ĐÀO VĂN CẦU 18
19. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 1 a a 1 Bài 20: Cho biểu thức: Q : với a > 0 và a ≠ 1 3 1 a 1 a 1 a 1. Rút gọn biểu thức Q; 1 2. Biết P . Tìm m để P > 5m – 4 với mọi a > 0 và a ≠ 1. Q a x 9 x 3 x 1 Bài 21: Cho biểu thức A = với x ≥ 0 và x ≠ 1 x 2 x 3 1 x x 3 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm m để có x thoả mãn A x 3 m . 2 x x 8x 1 Bài 22: Cho biểu thức: A với x ≥ 0 và x ≠ 2 x 1 2 x 1 4x 1 4 a) Rút biểu thức A; b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên 2 2 x 1 x 10 x 3 Bài 23: Cho biểu thức: M với x ≥ 0 và x ≠ 1 x 1 x x 1 x3 1 a) Rút gọn biểu thức M; b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M và giá trị tương ứng của x. 2 x 4 x 8 Bài 24: Cho biểu thức: B với x ≥ 0 và x ≠ 16 x 3 x 4 x 1 x 4 a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm x để giá trị của B là số nguyên. 10 x 2 x 3 x 1 Bài 25: Cho biểu thức: P với x ≥ 0 và x ≠ 1 x 3 x 4 x 4 1 x a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị lớn nhất của P. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bài 26: Cho biểu thức: P với x ≥ 0 và x ≠ 1 x 2 x 3 1 x x 3 a) Rút gọn biểu thức P; 2 b) Chứng minh rằng P với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1; 3 c) Tìm m để có x thoả mãn: P x 3 m . 1 3 x 1 Bài 27: Cho biểu thức: A 2 với x ≥ 0 và x x 1 x 1 x 1 . x 1 a) Rút gọn biểu thức A; ĐÀO VĂN CẦU 19
20. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và giá trị tương ứng của x. 4 x x 2 x 2 Bài 28: Cho biểu thức: A : với x > 0 và x ≠ 4 x 2 x 3 3 x a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 7 + 4 3 . a 2 5 1 Bài 29: Cho biểu thức: P a 3 a a 6 2 a a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm a để P 0 và x ≠ 1 x 2 x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức Q; b) Tìm x để Q Q 2 2 Bài 31: Cho biểu thức: B 1 a : 1 với 1 a 1 2 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức B; 3 b) Tính giá trị của biểu thức B khi a ; 2 3 c) Tìm a để B B. x 1 2 x 2 5 x Bài 32: Cho biểu thức: A với x ≥ 0 và x ≠ 4 x 2 x 2 4 x a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm x để A = 2. 2 x 2 x 2 1 x Bài 33: Cho biểu thức: C . với x ≥ 0 và x ≠ 1 x 1 x 2 x 1 2 a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm x để C dương; c) Tìm giá trị lớn nhất của C Bài 34: Cho biểu thức: x 1 1 8 x 3 1 Q : với x ≥ 0 và x ≠ 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 9 a) Rút gọn biểu thức Q; b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 6 + 2 5 6 c) Tìm x để Q 5 Bài 35: Cho biểu thức ĐÀO VĂN CẦU 20
21. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 1 1 x y x y A . với x > 0; y > 0 và x ≠ y x y x y x y 7 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của A biết x = 6; y = 5 3 Bài 36: Cho biểu thức a 1 a 1 1 A 4 a . a với a > 0; a ≠ 1 a 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của a để A A Bài 37: Cho biểu thức 5 x 3 5 Q với x ≥ 0; x ≠ 1 x 1 2 x 2 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức Q; b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9 4 2 Q 3 c) Tìm x biết rằng: 0 2 x 2 Bài 38: Cho biểu thức 2a 1 1 a 4 A : 1 với a ≥ 0; a ≠ 1; a ≠ 9 3 a 1 a 1 a a 1 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm các giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên dương. Bài 39: Cho biểu thức a a 1 a b 2b P . với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ 1; a ≠ b a 1 a b a b b a a) Rút gọn biểu thức P; b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 28 6 3 ; c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 40: Cho biểu thức 2 x 2 x 4x x 3 A : với x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9 2 x 2 x 4 x 2 x x a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm x để A < 1. Bài 41: Cho biểu thức x 3 3 x 2 x P : với x ≥ 0; x ≠ 1 x 1 x 1 x x 2 x 2 ĐÀO VĂN CẦU 21
22. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 a) Rút gọn biểu thức P; 2 3 b) Tính giá trị của P khi x = ; c) Tìm x để x 1 .P x 3 2 Bài 42: Cho biểu thức: 3 a a 4 a 2 a 1 P : với a ≥ 0 và a ≠ 16 a 4 a 4 16 a a 4 a) Rút gọn P; b) Tìm a để P = 3; c) Tìm a để P > 0 Bài 43: Cho biểu thức: x 2 x 1 x 1 A : với x ≥ 0 và x ≠ 1. x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rút gọn A; b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1 Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến Phương pháp: +) Rút gọn biểu thức giá trị của biểu thức nhận được là một số cụ thể +) Kết luận giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến Bài 44: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến. 2 1 a a 1 a a) A a . với a ≥ 0; a ≠ 1 1 a 1 a 2 xy x y 2 x y b) B . với x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y x y 2 x y x y y x Bài 45: Cho biểu thức: 1 1 a 2 1 1 Q 2 . 1 2 2 a 2 2 a 1 a a a) Tìm điều kiện của a để Q có nghĩa b) Với điều kiện của a ở trên. Chứng minh rằng giá trị của Q không phụ thuộc vào giá trị của a. Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Phương pháp: +) Biến đổi VT thành VP hoặc biến đổi VP thành VT hoặc biến đổi hai vế cùng bằng một giá trị (thường biến đổi vế phức tạp hơn thành vế còn lại) ĐÀO VĂN CẦU 22
23. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 +) Kết luận đẳng thức đúng Bài 46: Chứng minh các đẳng thức sau: 1 1 a) 5. 10 ; b) 4 7 4 7 2 ; 5 2 5 2 1 2 x x y y 2 c) . 15 2 6 201; d) xy : x y 1 5 2 6 5 2 6 x y (với x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y) Dạng 6: Giải phương trình Bài 47: Tìm x, biết a) 2x 3 2 5; b) 2x 3 2 5; c) 2x 1 2 3; d) 9x 2 6x 1 6 Bài 48: Tìm x, biết a) 4x 2 4x 1 3x ; b) x 2 4x 4 2x 1; 3 x 5 2 x 7 5 1 c) 1 x ; d) 15x 15x 2 15x ; 2 3 3 3 1 1 e)2 9x 27 25x 75 49x 147 20; 5 7 2 f) x 2 ; g) 3x 2 x ; k) x 4 x 3 0; x 2 m) 2x 5 x 3 0 Dạng 7: Phân tích thành nhân tử: Phương pháp: +) Áp dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử đã học ở lớp 8 -Đặt nhân tử chung -Dùng hằng đẳng thức -Nhóm các hạng tử -Tách, thêm bớt +) Sử dụng một số công thức biến đổi căn thức Bài 49: Phân tích thành nhân tử a) 1 3 5 15 ; b) 10 14 15 21; c) 35 14 15 6 ; d) 3 18 3 8 ĐÀO VĂN CẦU 23
24. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CẦN NHỚ Với x ≥ 0 và y ≥ 0, ta có: 2 1) x 2 xy y x y 2 2) x 2 xy y x y 3) x – y = x y . x y x – 1 = x 1 . x 1 x – 4 = x 2 . x 2 x – 9 = x 3 . x 3 x – 16 = x 4 . x 4 x – 25 = x 5 . x 5 4) x x y y x y . x xy y 5) x x y y x y . x xy y 6) x x 1 x 1 . x x 1 7) x x 1 x 1 . x x 1 ĐÀO VĂN CẦU 24
25. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 CHỦ ĐỀ II: HÀM SỐ BẬC NHẤT Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (d) (a ≠ 0) Phương pháp giải: Bước 1: Xác định hai điểm phân biệt A, B thuộc (d) Cho x = 0 y = a.0 + b = b, ta được A(0; b) b b y = 0 ax + b = 0 x , ta được B ;0 a a hoặc cho x = 1; y = 1 Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A, B Kết luận: Đường thẳng AB là đồ thị hàm số cần vẽ. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất. Phương pháp giải: Hàm số y = ax + b là hàm số bậc nhất a ≠ 0 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho là hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Phương pháp giải: Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến trên R a > 0 Hàm số bậc nhất y = ax + b nghịch biến trên R a < 0 Từ đó suy ra giá trị của tham số. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 0; y0) cho trước. Phương pháp giải: Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(x0; y0) x = x0; y = y0 là nghiệm của phương trình y = ax + b. Thay vào ta có: y0 = ax0 + b Từ đó suy ra giá trị của tham số A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y0 = f(x0) Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0, cắt trục tung tại điểm có tung độ y0. Phương pháp giải: Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua gốc toạ độ b = 0 Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0 ax0 + b = 0 Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ y0 a.0 + b = y0 b = y0. Từ đó suy ra giá trị của tham số. Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’; cắt nhau, song song với nhau, trùng nhau, cắt nhau tại một điểm trên trục tung, cắt nhau tại một điểm trên trục hoành, vuông góc với nhau. Phương pháp giải: 1. (d) và (d’) cắt nhau a ≠ a’ ĐÀO VĂN CẦU 25
26. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 a a ' 2. (d) // (d’) b b' a a ' 3. (d)  (d’) b b' a a ' 4. (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung b b' 5. (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành: b +) Giao của (d) với Ox: A ;0 a a a ' +) (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành b A ;0 d' a a a ' hoặc với a ≠ 0; a’ ≠ 0 ta có: b b' a a ' 6. (d)  (d’) a.a’ = 1 Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để (d): y = ax + b cắt (d’): y = a’x + b’ tại điểm A có hoành độ x = x0 (hoặc có tung độ y = y0). Phương pháp giải: Bước 1: Tìm toạ độ điểm A; Bước 2: Thay toạ độ điểm A vào phương trình y = ax + b, từ đó tìm giá trị của tham số. Dạng 8: Tìm toạ độ giao điểm của (d): y = ax + b cắt (d’): y = a’x + b’ Phương pháp giải: Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm và giải phương trình này Suy ra hoành độ giao điểm. Bước 2: Thay hoành độ giao điểm tìm được vào phương trình của (d) hoặc (d’) để tìm tung độ giao điểm. Bước 3: Kết luận Cách khác: Lập hệ phương trình (học sau) Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai trong ba đường thẳng giả sử là A(x0; y0) Bước 2: Thay toạ độ giao điểm vào phương trình còn lại Từ đó suy ra giá trị của tham số Dạng 10: Lập phương trình đường thẳng Phương pháp giải: 1. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x 1; y1) và B(x2; y2) trong đó x1 ≠ x2. Bước 1: Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b Bước 2: Lập hệ phương trình A(x1; y1) thuộc (d) y1 = ax1 + b ĐÀO VĂN CẦU 26
27. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 và B(x2; y2) thuộc (d) y2 = ax2 + b y1 = ax1 + b Ta có hệ phương trình: y2 = ax 2 + b Từ đó suy ra các hệ số a, b Phương trình cần tìm 2. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(x 0; y0) và có hệ số góc k (hoặc song song với đường thẳng (d’): y = kx + m hoặc vuông góc với đường thẳng (d’): y = a’x + b’). a) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b (d) có hệ số góc là k => a = k. Ta có phương trình: y = kx + b (d) đi qua điểm A(x0; y0) y0 = kx0 + b b = y0 – kx0 Vậy phương trình cần tìm là: y = kx + y 0 – kx0 b) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b a k d // d' . Ta có phương trình y = kx + b b m (d) đi qua điểm A(x0; y0) y0 = kx0 + b b = y0 – kx0 Vậy phương trình cần tìm là: y = kx + y 0 – kx0 c) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b d  d' a.a ' 1 => Hệ số a suy ra phương trình đường thẳng (d) (d) đi qua điểm A(x0; y0) => Hệ số b Kết luận: Phương trình cần tìm Dạng 11: Tìm điểm cố định (chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định)(d): y = ax + b. Phương pháp giải: Giả sử A(x0; y0) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi giá trị của tham số. Ta có y0 = ax0 + b với mọi giá trị của tham số Từ đó suy ra x0 và y0 = ? Kết luận: Dạng 12: Toán về đồ thị hàm số có liên quan đến nội dung hình học: Tính khoảng cách, tính diện tích, tính chu vi, tìm điều kiện của tham số thoả mãn điều kiện cho trước. Phương pháp giải: Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) 2 2 AB x 2 x1 y2 y1 Công thức tính toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: x x y y x 1 2 ;y 1 2 M 2 M 2 Công thức tính diện tích tam giác, tam giác vuông. 2 2 M x0 ;y 0 cách gốc toạ độ một khoảng bằng a OM = a x0 y0 a M x0 ;y 0 cách đều hai trục toạ độ x0 y0 M x0 ;y 0 thuộc trục hoành Ox y0 = 0 ĐÀO VĂN CẦU 27
28. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 M x0 ;y 0 thuộc trục tung Oy x0 = 0 Dạng 13: Tìm điều kiện của tham để toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d): y = ax + b cắt (d’): y = a’x + b’ thoả mãn điều kiện cho trước (nằm trong các góc phần tư, thuộc các trục toạ độ, đối xứng với M(x 0; y0) qua các trục toạ độ hoặc qua gốc toạ độ; cách đều hai trục toạ độ, cách gốc toạ độ một khoảng a , thuộc đồ thị hàm số cho trước, thoả mãn hệ thức cho trước ) Phương pháp giải: Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng Bước 2: Sử dụng điều kiện nằm trong các góc phần tư, trên các trục toạ độ, đối xứng qua các trục toạ độ, gốc toạ độ . Từ đó suy ra giá trị của tham số. Bài 1: Cho hàm số bậc nhất: y 3 2 x 2 d a) Hàm số trên là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao ? b) Tính giá trị của y khi x 3 2 ; c) Tính giá trị của x khi y 8 2 2 ; d) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’) để đồ thị của nó song song với (d) và đi qua điểm A 1;3 2 . 2 Bài 2: Cho hàm số y x 2 1 3 a) Vẽ đồ thị hàm số (1) b) Gọi A và B thứ tự là giao điểm của đồ thị hàm số (1) với Ox và Oy. Tính diện tích tam giác OAB c) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến AB Bài 3: Cho hàm số y m 1x 2n 3 (1) ( với m, n là các tham số) a) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) là hàm số bậc nhất. b) Với điều kiện của m ở câu a, tìm giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y = 2x – 1. c) Cho n = 0, hãy tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(2; 0) Bài 4: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1 (1) (với m là tham số) 1. Xác định m để đồ thị hàm số (1): a) Đi qua gốc toạ độ; b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1; c) Căt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 d) Song song với đường thẳng (d’): y = 2 x + 2 2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định đó. Bài 5: Cho hàm số y = ax + (3a – 1) (d) với a là tham số Xác định a để (d): a) Đi qua điểm M(1; 2) b) Cắt đường thẳng (d’): y = 2 1 x 2 c) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn nhất; Bài 6: Cho đường thẳng (d): y 1 m x m 2 (với m là tham số) ĐÀO VĂN CẦU 28
29. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Tìm m để: a) (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3; b) (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng – 2; c) (d); (d1): y = 3x – 2 và (d2): y = 2x + 1 đồng quy d) (d) tạo với trục Ox một góc nhọn. Bài 7: Cho hàm số bậc nhất y = (2 – m)x + m – 1 (d) (với m là tham số) Xác định m để: a) Hàm số đồng biến trên R; b) (d)//(d’): y = 3x + 2; c) (d) cắt (d’’): y = – x + 4 tại một điểm trên trục hoành; d) (d) cắt (d’’): y = – x + 4 tại một điểm trên trục tung. Bài 8: Cho đường thẳng: y k 1 x k d (với k là tham số) 1.Tìm k để đường thẳng (d): a) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 c) Song song với đường thẳng (d’): y 3 1 x 3 d) Cắt đường thẳng (d1): y = 2x – 1 tại điểm A có hoành độ bằng 3 2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của k. Bài 9: Cho đường thẳng (d): y = x + 3a + 5 (với a là tham số) Tìm a để đường thẳng (d): a) Đi qua điểm A 2;10 b) Cắt đường thẳng : y = 2 – 2x tại điểm B(x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 40 Bài 10: Cho đường thẳng (d): y m 2 x n (với m, n là các tham số m ≠ 2) Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau: a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(– 1; 2) và B(3; – 4) b) Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 – 2 . 1 3 c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’): y x 2 2 3 1 d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d1): y x 2 2 e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d2): y = 2x – 3 Bài 11: Cho hai đường thẳng (d): y = – x + 2m và (d’): y = 2x – (m + 6) với m là tham số 1. Tìm m để (d) và (d’): a) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung; b) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành; c) Cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng y = 2x + 1; 2. Tìm m để (d) cắt đường thẳng :y x 2 tại điểm M(x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 6. 3. Chứng minh rằng (d) và (d’) luôn cắt nhau tại một điểm thuộc một đường thẳng cố định với mọi m. ĐÀO VĂN CẦU 29
30. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Bài 12: a) Cho hai điểm A(1; – 2) và B(– 4; 3). Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A; B. b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm C(– 1; – 4) và song song với đường thẳng AB. Bài 13: Cho hàm số: y 1 k x k d với k là tham số 1. Tìm k để (d): a) Đi qua điểm A(2; 2014) b) Song song với (d’): x – y + 3 = 0 c) Cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2; 2. Cho k = – 2, tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d1): y = – 2x + 3 Bài 14: Cho hai hàm số bậc nhất: 2 y m x 1 d và y 2 m x 3 d' với m là tham số 3 Tìm m để: a) (d) và (d’) cắt nhau; b) (d)//(d’); c) (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm có hoành độ bằng 4. Bài 15: Cho hai đường thẳng (d): y kx m 2 và (d’): y 5 k x 4 m với m, k là các tham số Với điều kiện nào của m và k thì (d) và (d’): a) Cắt nhau; b) Song song với nhau; c) Trùng nhau d) Vuông góc với nhau. Bài 16: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết đồ thị của nó: a) Có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A(3; 5); 1 b) Có hệ số góc bằng – 3 và cắt đường thẳng (d’): y x 2 tại điểm có hoành độ 3 bằng 3; 1 c) Song song với đường thẳng (d 1): y x 7 và cắt đường thẳng (d 2): y = 2x – 3 2 tại điểm có tung độ bằng 1. d) Có tung độ gốc bằng – 3 và đi qua điểm M(1; 2) Bài 17: Cho hàm số bậc nhất: y = (m – 2)x + m + 1 (m là tham số) 1. Với giá trị nào của m thì hàm số y là hàm số đồng biến trên R; 2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(2; 6); 3. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc toạ độ O). Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB. Xác định giá trị của m, biết OH 2 . 3 Bài 18: Cho hàm số: y = (2m – 3)x + n – 4 (d) m 2 1. Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d): a) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4); ĐÀO VĂN CẦU 30
31. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ y 3 2 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 2 ; 2. Cho n = 0, tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’): x – y + 2 = 0 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức P = y2 – 2x2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 19: Cho hai đường thẳng (d): y = – x + m + 2 và (d’): y = m2 2 x 4 (với m là tham số) 1. Khi m = – 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’); 2. Tìm m để (d) và (d’): a) Vuông góc với nhau; b) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tìm toạ độ giao điểm khi đó. c) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. Bài 20: Cho hàm số: y m 2 x m 3 d với m là tham số 1. Tìm m để (d): a) Đi qua gốc toạ độ; b) Cắt đường thẳng (d’): y = 3x + 2 tại điểm A có hoành độ bằng 2; c) Và các đường thẳng (d1): y = – x + 2; (d2): y = 2x – 1 đồng quy; d) Cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác cân; 2. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Bài 21: Cho ba đường thẳng (d1): y k 2 x k 3; (d2): y = – x – 5; (d3): y = 2x + 17 1. Tìm k để a) (d1) và (d3) song song với nhau; b) (d1)  (d2) c) (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm M(x; y) đối xứng với I(– 2; 7) qua gốc toạ độ; d) (d1) cắt hai trục toạ độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1; 2. Biết A, B lần lượt thuộc (d 2) và (d3) và A, B đối xứng với nhau qua trục hoành Ox. Tìm toạ độ của các điểm A, B. Bài 22: Cho hàm số y = (m – 2)x + n (d) với m, n là các tham số 1. Tìm m và n để (d)//(d’): 3x + 2y = 1 và đi qua điểm M(1; 2); 2. Với n = 2, tìm m để: a) (d) đi qua điểm A(m; 5) b) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất. Bài 23: Cho ba điểm A(3; 5); B(– 1; – 7); C(1; – 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB; b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng; c) Tính AB?; d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C(1; – 1) và song song với đường thẳng OA (với O là gốc toạ độ). k) Cho điểm D(1; 1). Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABD. e) Tìm điểm M trên Oy: MB + MC ngắn nhất f) Tìm điểm N trên Ox: NB NC lớn nhất; Bài 24: Cho ba điểm A(m; 5); B(– 1; – 7); C(1; – 1) a) Viết phương trình đường thẳng BC; b) Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng; ĐÀO VĂN CẦU 31
32. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 c) Tính BC? d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A tìm được ở trên và song song với đường thẳng chứa tia phân giác của góc phần tư thứ nhất. Bài 25: Cho đường thẳng (d): y = 2x + m – 1 (với m là tham số) a) Khi m = 3, hãy tìm a để điểm A(a; – 4) thuộc đường thẳng (d); b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt hai trục toạ độ Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 1. c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) bằng 2 Bài 26: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x + 6 a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (3; 4) và song song với đường thẳng (d). b) Tính khoảng cách từ gốc toạ O đến đường thẳng (d). Bài 27: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x + 3m – 4 (với m là tham số) 1. Tìm m để (d) đi qua điểm M(m2; 1); 2. Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 1; 3. Tìm m để (d) cắt đường thẳng ( ): y = – 3x + 1 – 2m tại K(x; y) nằm trên đường tròn tâm O, bán kính 5 . Bài 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (k – 1)x + n và hai điểm A(0; 2); B(– 1; 0). 1. Tìm các giá trị của n và k để: a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B; b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ): y = x + 2 – k; 2. Cho n = 2. Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB. Bài 29: Cho đường thẳng ( ): y = (m – 1)x + m 2 – 4 (m là tham số). Gọi A, B lần lượt là giao điểm của ( ) với Ox và Oy. Xác định toạ độ của A, B và tìm m để: 3OA = OB. Bài 30: Cho hai hàm số bậc nhất y = (1 + 2m)x + 2 và y = (m2 + 3)x + 2. a) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số đã cho khi m = – 2; b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hai hàm số trên luôn cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Bài 31: Cho đường thẳng (d): y = (2m – 1)x + m – 2. 1. Tìm m để đường thẳng (d): a) Đi qua điểm A(1; 6) b) Song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0 c) Vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0; 1 d) Không đi qua điểm B ;1 2 2. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Bài 32: Cho hàm số y = (m2 – 5m)x + 3; a) Tìm m để hàm số là hàm số bậc nhất ? b) Với điều kiện của m ở câu a, hãy tìm m để hàm số là hàm số nghịch biến ? c) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3) ? Bài 33: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 6 a) Xác định a và b để (d) đi qua hai điểm A(a + 3; b) và B(2; b – 1) ĐÀO VĂN CẦU 32
33. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 b) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) Bài 34: Cho đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 2m – 3 với m là tham số Tìm m để đường thẳng (d): a) Đi qua điểm A(1; 3) b) Đi qua gốc toạ độ; c) Song song với đường thẳng (d’): 2x – y + 1 = 0 d) Trùng với đường thẳng (d1): y = 3x + 5 2 2 e) Cắt đường thẳng (d2): y = x + m – 1 tại điểm B(x; y) thoả mãn x + y = 4; f) Cắt đường thẳng (d2): y = x + m – 1 tại điểm B(x; y) cách đều hai trục toạ độ y M(x0; y0) M1 đối xứng với M qua Oy y0 M M1(– x0; y0) M1 M2 đối xứng với M qua Ox M2(x0; – y0) M3 đối xứng với M qua O - x0 O x0 x M3(– x0; – y0) M3 - y0 M2 M(x0; y0) cách đều hai trục toạ độ x0 y0 ĐÀO VĂN CẦU 33
34. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 Hình học: I. Kiến thức cơ bản cần nhớ A ABC vuông tại A, đường cao AH có: 1) b2 = a’b; c2 = ac’ 2) h2 = b’c’ b c h 3) ah = bc 1 1 1 c' b' 4) h 2 b2 c2 B H C a 5) a2 = b2 + c2 (Định lý Py – ta – go) CÁC ĐỊNH NGHĨA: 1. Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. 2. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác: là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Khi đó tam giác đó gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. 4. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm 3 đường trung trực các cạnh của tam giác. 5. Đường tròn nội tiếp tam giác: Là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Khi đó, tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn. 6. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác: Là giao điểm 3 đường phân giác các góc trong của tam giác. 7. Đường tròn bàng tiếp tam giác: Là đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia. 8. Tam giác ABC có ba đường tròn bàng tiếp : Đường tròn bàng tiếp trong góc A, Đường tròn bàng tiếp trong góc B, Đường tròn bàng tiếp trong góc C. 9. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác ABC trong góc A : Là giao điểm 3 đường phân giác các góc ngoài tại B và C và phân giác góc A. CÁC ĐỊNH LÍ: 1. a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. 2. a) Đường tròn là hình có tâm đối xứng . Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. b) Đường tròn là hình có trục đối xứng: Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó. 3. Trong các dây của đường tròn đây lớn nhất là đường kính. 4. Trong một đường tròn: a)Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. d) Dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn. 5. a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. ĐÀO VĂN CẦU 34
35. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. 6. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 7. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. 8. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Cho đường tròn tâm (O;R) và đường thẳng a ; OH  a ; OH = d. Vị trí tương đối của a và (O;R) Số điểmchung Hệ thức giữa d và R +) a và (O) cắt nhau 2 d R 9. Vị trí tương đối của hai đường tròn. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) : R r ; OO’ = d Số điểm Vị trí tương đối của (O) và (O’) Hệ thức giữa d với R và r chung (O) cắt (O’) 2 R – r R + r ’ +) (O) đựng (O ) 0 d < R – r ’ +) (O) và (O ) đồng tâm 0 d = 0 II. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 4,5cm; BC = 7,5cm. Đường cao AH (H BC).Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tính AH, BH, CH. c) Chứng minh EF = AH và AE.AB = AF.AC. d) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào ? Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5cm; AB = 2AC. Phân giác của B· AC cắt cạnh BC tại E. Từ E kẻ EM và EN lần lượt vuông góc với AB và AC tại M và N. a) Tính AB, AC; b) Tính BE, EC; c) Tứ giác AMEN là hình gì ? Tại sao ? ĐÀO VĂN CẦU 35