Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Năm học 2016-2017 - Đào Văn Cầu

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề III: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Năm học 2016-2017 - Đào Văn Cầu

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: x 2 2x 4 0 2x 3y 1 a) ; b) y 3 c) ; 4x 2y 3 x 4y 7 x y 10 0 x y 7x 3y 5 1 2x 3 y 13 2 x 3 y 13 d) 2 3 e) x y ; f) g) 5 3x y 3 3 x y 3 3x 2y 6 2 3 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 2x y 2 2x 3y 1 3 1 x y 3 a) ; b) ; c) ; 2 2 x y 2 2x y 2 2 1 x 3 1 y 0 3 1 x y 2 2x y 1 2 3 x 2 y 2 d) e) ; f) x 3 1 y 3 x 2y 1 2 x y 1 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: 1 1 1 1 1 1 1 2 3 x y x 2 y 1 x y x y a) ; b) c) ; 3 4 2 3 2 3 5 1 1 x y x 2 y 1 x y x y 2 5 2 2 x x y 2 x 1 y 1 1 x 1 2y 2 d) e) ; f) 3 1 2 1,7 x 1 y 1 2 3 x 1 3y 1 x x y Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: x 3 2y 5 2x 7 y 1 x y x 1 x y x 1 2xy a) b) 4x 1 3y 6 6x 1 2y 3 y x (y 1 y x y 2 2xy x 3 y 6 xy x 3 y 3 xy 72 c) ; d) x 2 y 2 xy x 2 y 4 xy 52 Bài 5: Giải các hệ phương trình sau: 2 5 x 2y 3x 1 4x 2 5 y 1 2x 3 a) ; b) 2x 4 3 x 5y 12 3 7x 2 5 2y 1 3x 2x 1 y 2 1 3x 2y 5x 3y x 1 4 3 12 5 3 c) ; d) x 5 x 7 2x 3y 4x 3y 4 y 1 2 3 3 2 ĐÀO VĂN CẦU 1
2. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 Bài 6: Giải các hệ phương trình sau: 2 3x 2 4 5 3y 2 3 x y 5 x y 12 a) ; b) 4 3x 2 7 3y 2 2 5 x y 2 x y 11 2 x 1 5 y 1 8 2 3y 1 4 x 1 5 c) ; d) 3 x 1 2 y 1 1 5 3y 1 8 x 1 9 Bài 7: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 x y 5 x y 7 0 x y 1 0 a) ; b) 2 2 x y 5 0 x y 2x 2y 3 0 x 5y 1 x y 1 0 c) 2 2 ; d) 2 2 x y 3xy x y 10 2x xy 3y 7x 12y 1 0 2 3 x y 4 x y 7 0 x y 0 e) ; f) 2 x y 5 0 x 2y 1 0 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d): ax + by = c đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2).( xác định hàm số bậc nhất biết đồ thị của nó đi qua hai điểm phân biệt A và B). Bài 8: Tìm a và b để đường thẳng (d): ax – by = 4 đi qua hai điểm: a) A(4; 3) và B(– 6; –7) b) A(1; 2) và B(– 3; – 4) Bài 9: Tìm a và b để: 5a – 4b = – 5 và đường thẳng (d): ax + by = – 1 đi qua điểm A(– 7; 4) Bài 10: Hãy xác định hàm số bậc nhất thoả mãn mỗi điều kiện sau: a) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm M(– 3; 1) và N(1; 2) b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M( 2 ; 1) và N(3; 3 2 – 1) Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để một đa thức chia hết cho các đa thức cho trước (đa thức có giá trị bằng 0). Bài 11: Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x+1 và x – 3: P(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n Bài 12: Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0: P(x) = (3m – 5n + 1)x + (4m – n – 10) ĐÀO VĂN CẦU 2
3. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 Dạng 4: Giải và biện luận hệ phương trình Bài 13: Giải và biện luận hệ phương trình sau: mx y 1 1 mx y 1 1 a) với m là tham số; b) với m là tham số 4x my 2 2 9x my 3 2 x y 1 1 c) với m là tham số 2x my m 3 2 Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện cho trước (thoả mãn một đẳng thức, bất đẳng thức, cách đều hai trục toạ độ, thuộc các trục toạ độ, nằm trong các góc phân tư, đối xứng qua các trục toạ độ hoặc gốc toạ độ, thuộc (P): y= ax2 hoặc đường thẳng (d): ax + by = c ; biểu thức đạt GTLN, GTNN, không phụ thuộc vào tham số, có giá trị nguyên ; sao cho M(x; y) cách gốc toạ độ một khoảng a hoặc thuộc đường tròn O; a ) mx y 1 1 Bài 14: Cho hệ phương trình: với m là tham số x y m 2 a) Giải hệ phương trình khi m = 2; b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x = y2. 3x my 5 1 Bài 15: Cho hệ phương trình: với m là tham số mx y 1 2 a) Giải hệ phương trình khi m = 2; b) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m; c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho M(x; y) cách đều hai trục toạ độ. a 1 x y 3 Bài 16: Cho hệ phương trình: với a là tham số ax + y=a a) Giải hệ phương trình khi a = 1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x + y > 0 x y 3k 2 Bài 17: Cho hệ phương trình: với k là tham số 2x y 5 a) Giải hệ phương trình khi k = 1; x 2 y 5 b) Tìm k để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho: 4 y 1 a 1 x ay 3a 1 Bài 18: Cho hệ phương trình: với a là tham số 2x y a 5 a) Giải hệ phương trình khi a = 2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức: S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 19: Cho hệ phương trình a 1 x y a với a là tham số x a 1 y 2 ĐÀO VĂN CẦU 3
4. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 a) Giải hệ phương trình khi a = 2 b) Tìm a nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn biểu 2x 5y thức B nhận giá trị nguyên. x y Bài 20: Cho hệ phương trình: x my 2 với m là tham số mx 2y 1 a) Giải hệ phương trình khi m = 2; b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x > 2y Bài 21: Cho hệ phương trình: x my m 1 với m là tham số mx y 2m 1. Giải hệ phương trình khi m = 2; x 2 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: y 1 Bài 22: Cho hệ phương trình: x my 2m với m là tham số x y m 1 1. Giải hệ phương trình khi m = 2; 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x2 + 2014y2 = 2015 Bài 23: Cho hệ phương trình: x y m với m là tham số x my 1 1. Giải hệ phương trình khi m = - 2; 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: y = x2 Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương có x = x0 hoặc y = y0. 2x 3y 3 a Bài 24: Cho hệ phương trình: với a là tham số x 2y a a) Tìm a biết y = 1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 17 x my 0 Bài 25: Cho hệ phương trình: với m là tham số mx y m 1 a) Tìm m khi x = 2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x 2 y Bài 26: Cho hệ phương trình: mx 2y 18 với m là tham số x y 6 1. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) trong đó x = 2; 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: 2x + y = 9 ĐÀO VĂN CẦU 4
5. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (x 0; y0). a 2x 2y 0 Bài 27: Cho hệ phương trình: với a là tham số x y 4 a) Giải hệ phương trình khi a = 2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( 4; 4a) ax + y=b 1 Bài 28: Cho hệ phương trình: với a, b là các tham số bx a 1 y 4 2 a) Giải hệ phương trình khi a = 1; b = 2 b) Tìm a, b để hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên 1 (P): y x 2 có hoành độ bằng 2. 4 Dạng 8: Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện cho trước với mọi giá trị của tham số. a 1 x y 4 Bài 29: Cho hệ phương trình: với a là tham số ax + y=2a a) Giải hệ phương trình khi a = 1 b) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x + y ≥ 2 3x my 5 Bài 30: Cho hệ phương trình: với m là tham số mx y 1 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Chứng tỏ hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. Bài 31: Cho hệ phương trình: m 1 x y 2 với m là tham số mx y m 1 1. Giải hệ phương trình khi m = 2; 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: 2x + y ≤ 3 Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm viết công thức nghiệm tổng quát, vô nghiệm. mx y 1 1 Bài 32: Cho hệ phương trình: với m là tham số 4x my 2 2 Tìm m để hệ phương trình: a) Có nghiệm duy nhất; b) Có vô số nghiệm. Khi đó, viết công thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình. c) Vô nghiệm 3x y m Bài 33: Cho hệ phương trình: với m là tham số 2 9x m y 3 3 Tìm m để hệ phương trình: ĐÀO VĂN CẦU 5
6. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 a) Vô nghiệm b) Có vô số nghiệm. Khi đó, hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình. c) Có nghiệm duy nhất Dạng 10: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán chuyển động Bài 33: Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến nơi sớm 2 giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB. Bài 35: Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận ô tô tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ô tô. Toán tỉ lệ phần trăm và vượt mức kế hoạch Bài 36: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch. Bài 37: Trong đợt tổng kết quý I, hai tổ sản xuất đã làm được 780 sản phẩm đạt tỉ lệ 78% theo kế hoạch. Riêng tổ 1 sản xuất đạt tỉ lệ 80% theo kế hoạch. Tổ 2 sản xuất đạt tỉ lệ 75% theo kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch, quý I mỗi tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm ? Toán có nội dung hình học Bài 38: Xác định độ dài các cạnh của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật đó có chu vi bằng 28 cm và 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài là 6 cm. Bài 39: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 340 m. Nếu giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 84 m 2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu. Bài 40: Một hình chữ nhật có chu vi là 216 m. Nếu giảm chiều dài đi 20%, tăng chiều rộng thêm 25% thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đó. Bài 41: Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72 m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới bằng 194 m. Hãy tìm diện tích của thửa vườn đã cho lúc đầu. Bài 42: Tính các kích thước của hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi chiều của hình chữ nhật thêm 4 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 80 m 2; nếu giảm chiều rộng 2 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Toán về quan hệ giữa số và chữ số Bài 43: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới có hai chữ số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho. Bài 44: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2, và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 682. Bài 45: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1010 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 128. Toán công việc ĐÀO VĂN CẦU 6
7. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 12 Bài 46: Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi 5 người làm một mình thì người thứ nhất làm hoàn thành công việc trong thời gian ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc ? Bài 47: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Bài 48: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả 2 hai làm được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì sau bao lâu xong công 5 việc ? Các dạng toán khác Chú ý: Dạng toán tăng giảm có một đại lượng không thay đổi ( bài 33 ) Bài tập bổ sung: Bài 1: Cho hệ phương trình: mx y 2 với m là tham số 3x my 5 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: m2 x + y = 1 - m2 3 Bài 2: Cho hệ phương trình: mx 4y m 2 với m là tham số x my m a) Tìm m khi y = 2 b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) nguyên. Bài 3: Cho hệ phương trình: x 3y 5m 4 1 với m là tham số x y m 2 a) Giải hệ phương trình khi m = - 1; b) Chứng minh rằng với mọi m thì hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) luôn cắt nhau tại một điểm M(x; y) thuộc một đường thẳng cố định. Bài 4: Cho hệ phương trình: a 1 x y b(1) với a, b là các tham số x by a 1(2) a) Tìm a, b để hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1) b) Cho b = 1, hãy tìm a để hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. Bài 5: Cho hệ phương trình: ĐÀO VĂN CẦU 7
8. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 3x y 2m 1 với m là tham số x 2y 3m 2 a) Giải hệ phương trình khi m = 1; b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho điểm M(x; y) thuộc đường tròn (O; 10 ). Bài 6: Cho hệ phương trình: x my 0 với m là tham số mx y m 1 a) Giải hệ phương trình khi m = 2; b) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) nguyên. Bài 7: Cho hệ phương trình x my 4 với m là tham số mx y 3 a) Giải hệ phương trình khi m = 2; b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho điểm M(x; y) nằm trong góc phần tư thứ tư. Bài 8: Cho hệ phương trình: 2x my 5 với m là tham số 3x y 0 a) Giải hệ phương trình khi m = 0; b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: m 1 x – y + = - 4 m 2 Bài 9: Cho hệ phương trình: m 2 x y n với m, n là các tham số x ny m a) Tìm m và n để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (- 1; 1) b) Cho n = - 1, khi đó hãy tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) y2 3 x y thoả mãn: P đạt giá trị nhỏ nhất. y 1 2 Bài 10: Cho hệ phương trình: m 1 x my 3m 1 với m là tham số 2x y m 5 a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x2- y2 < 4 Bài 11: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc của ca nô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h. ĐÀO VĂN CẦU 8
9. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến nơi chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu ? Bài 13: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Bài 14: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165 km và thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB, BC. Bài 15: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 100 m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2 m thì diện tích giảm đi 68 m2. Tính diện tích thửa ruộng đó. Bài 16: Trong một phòng họp có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 6 người thì thừa một ghế. Hỏi phòng họp có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp ? ĐÀO VĂN CẦU 9
10. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 ĐÀO VĂN CẦU 10
11. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 CHỦ ĐỂ IV: HÀM SỐ Y = AX2 (A ≠ 0) VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x2; b) y = - x2; c) y = 2x2; d) y = - 2x2 Bài 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1 1 1 1 a) y x 2 ; b) y x 2 ; d) y x 2 ; d) y x 2 2 2 4 4 1 1 e) y x 2 ; f) y x 2 3 3 Dạng 2: Giải phương phương trình bậc hai Bài 3: Giải các phương trình sau: a) 5x2 – 7x = 0; b) 4x2 – 3 = 0; c) x 2 2 5x 5 0; d) 3x2 + 1 = 0 Bài 4: Giải các phương trình sau a) 3x2 – 4x + 1 = 0; b) 2x2 – x – 1 = 0; c) x2 – 4x – 5 = 0; d) x2 + 5x + 4 = 0; Bài 5: Giải các phương trình sau a) x2 – 5x + 6 = 0; b) x2 – 4x – 12 = 0; c) 2x2 – 5x + 2 = 0; d) 3x2 + 2x – 8 = 0 Bài 6: Giải các phương trình sau a) x2 – x – 1 = 0; b) x2 + 2x – 1 = 0; c) 5x2 – 8x + 1 = 0; d) 4x2 + 8x + 1 = 0 Bài 7: Giải các phương trình sau: a) 2x 2 1 2 x 1 0 ; b) 5 2 x 2 2 5x 5 2 0; 1 c) x 2 2 3 x 2 3 0 ; d) x 2 1 2 x 2 2 0 2 e) x 2 2 5 x 2 5 0 Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai Bài 8: Giải biện luận phương trình sau: a) x 2 4x m 1 0 (m là tham số); b) x 2 3x m 0(m là tham số) 1 c) 2x2 – (m + 1)x + m = 0 (m là tham số) 2 Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: a) mx 2 2 m 1 x 4 0 (m là tham số); b) x 2 2 m 1 x 4m 0( m là tham số) c) x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số) d) (m – 1)x2 – 2mx + (m – 2) = 0 (m là tham số) Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép và tìm nghiệm kép; vô nghiệm. Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2x + k – 1 = 0 (1) với k là tham số Tìm k để phương trình (1): a) Có nghiệm; b) Có 2 nghiệm phân biệt; ĐÀO VĂN CẦU 11
12. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 c) Có nghiệm kép. Khi đó, tìm nghiệm kép. d) Vô nghiệm. Bài 11: Cho phương trình: 2x2 + 3x + m = 0 (1) với m là tham số Tìm m để phương trình (1): a) Có nghiệm; b) Có 2 nghiệm phân biệt; c) Có nghiệm kép. Khi đó, tìm nghiệm kép. d) Vô nghiệm. Bài 12: Cho phương trình: mx2 – 2x – 1 = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = 0; m = 1; b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số hoặc với mọi giá trị của tham cho trước. Bài 13: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x + m2 – 2m = 0 (1) m là tham sô a) Giải phương trình (1) khi m = 0; m = –1 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m. Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2x – k2 – 1 = 0 (1) với k là tham số a) Giải phương trình (1) khi k = 0; b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. Bài 15: Cho phương trình: x2 – 2ax – 1 = 0 (1) ẩn x a) Giải phương trình (1) khi a = 0; a = 1; a = - 1. b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a. Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình khi m = 0; m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 ≤ m ≤ 1. Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1; x2 thoả mãn điều kiện cho trước (trong đó biểu thức của x 1; x2 là biểu thức đối xứng). Bài 17: Cho phương trình: x 2 2 m 1 x m2 6 0(1) m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = 3; 2 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x 2 16 Bài 18: Cho phương trình: x2 – 2mx – 1 = 0 (1) ẩn x a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m; 2 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x 2 x1x 2 7 . Bài 19: Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0 (1) m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = –1; m = 3 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x 2 2 Bài 20: Cho phương trình: x2 – mx + m – 1 = 0 (1) ẩn x a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt; b) Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 A x1 x 2 6x1x 2 Bài 21: Cho phương trình: x2 – 6mx + 4 = 0 (1) với m là tham số 5 a) Giải phương trình (1) khi m = 1; m = 0; m 6 ĐÀO VĂN CẦU 12
13. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 1 1 7 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2 . x1 x 2 2 Bài 22: Cho phương trình: x2 – 3x + 2m – 1 = 0 (1) với m là tham số 3 a) Giải phương trình (1) khi m ;m 0 2 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn hệ 1 1 thức: 4 x1 x 2 Bài 23: Cho phương trình: x2 – 4x + m – 1 = 0 (1) ẩn x a) Giải phương trình (1) khi m = - 4; m = 1; m = 0 b) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm là x1 = - 2. Tìm nghiệm còn lại. c) Tìm m để phương trình có một nghiệm là x1 = m. Tìm nghiệm còn lại. 1 1 d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 x1 x 2 Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1; x2 thoả mãn: x1  x 2  (hoặc nghiệm này gấp đôi, gấp ba nghiệm kia; hai nghiệm đối nhau ) (biểu thức của x1; x2 không đối xứng). Bài 24: Cho phương trình: x2 – 6x + m = 0 (1) m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = 5; b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 – x2 = 4 Bài 25: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 (1) m là tham số 1 a) Giải phương trình (1) khi m = ; 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 = 3x2 Bài 26: Cho phương trình: x2 – 4mx + 3m + 1 = 0 (1) m là tham số 1 a) Giải phương trình (1) khi m ; m = - 2 3 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2; c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 2 x 2 Bài 27: Cho phương trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0 (1) ẩn x a) Giải phương trình (1) khi m = - 2; m = 0; b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m; c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 = 2x2. Bài 2.1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x - m = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = 1; m = 0 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m; c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 2x2 = 3. Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có 1 nghiệm x1 = x0. Tìm nghiệm còn lại. Bài 28: Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) m là tham số a) Tìm m biết phương trình (1) có 1 nghiệm x1 = 1. Tìm nghiệm còn lại. b) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Bài 29: Cho phương trình: x2 – 2x – k2 – 1 = 0 (1) với k là tham số a) Tìm k để phương trình (1) có 1 nghiệm là x1= – 1. Tìm nghiệm còn lại. ĐÀO VĂN CẦU 13
14. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 b) Tìm k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 = –3x2 2 2 c) Tìm k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x 2 14 Bài 30: Cho phương trình: x2 + mx + 3 = 0 (1) m là tham số a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép. b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm x1 = 3. Tìm nghiệm còn lại Bài 31: Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – 4 = 0 (1) m là tham số a) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm x1 = 5. Tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 – x2 = 10. Bài 3.1: Cho phương trình: x2 – 4x + m – 1 = 0 (1) ẩn x a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là x1 = 0. Tìm nghiệm còn lại. Bài 3.2: Cho phương trình: x2 + (m – 2)x + 2m – 4 = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình khi m = 1; b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là x1 = 2 . Tìm nghiệm còn lại. Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng dấu và khi đó 2 nghiệm mang dấu gì?; 2 nghiệm cùng dương; 2 nghiệm cùng âm; 2 nghiệm trái dấu.(hoặc 2 nghiệm phân biệt cùng dấu; 2 nghiệm phân biệt cùng dương; 2 nghiệm phân biệt cùng âm) Bài 32: Cho phương trình: x2 – 2x + a + 1 = 0 (1) a là tham số Tìm a để phương trình (1): a) Có 2 nghiệm trái dấu; b) Có 2 nghiệm cùng dương. Bài 33: Cho phương trình: x2 + 2x + a + 1 = 0 (1) a là tham số a) Giải phương trình (1) khi a = –1; b) Tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm cùng âm. Bài 34: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (1) m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = 2; b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì? 2 c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn: x 2 2mx1 9. Bài 35: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (1) ẩn x a) Giải phương trình (1) khi m = 0; m = 2; b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng âm. Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1; x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2 không phụ thuộc vào giá trị của tham số. Bài 36: Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = –1; m = 0; b) Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x 1; x2 không phụ thuộc vào m. Bài 37: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1) m là tham số a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m; b) Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x 1; x2 không phụ thuộc vào m. Bài 3.3: Cho phương trình: x2 - 2m x + 2m – 1 = 0 (1) m là tham số 1 a) Giải phương trình (1) khi m = ; m = 0; m = 1 2 ĐÀO VĂN CẦU 14
15. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 3.4: Cho phương trình: x2 – 2(k – 1) x + k – 3 = 0 (1) k là tham số a) Giải phương trình (1) khi k = 2; k = 1; m = 3 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi k c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k. Dạng 11: Tính giá trị của biểu thức của x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai (biểu thức đối xứng). 2 Bài 38: Cho phương trình: x – x – 1 = 0 có 2 nghiệm x1; x2. Hãy tính: 2 2 2 a) S1 x1 x 2 ; b) S2 x1 x 2 2 2 4 4 c) S3 x1 x 2 3x1x 2 ; d) S4 x1 x 2 e) S0 = x1 x 2 Dạng 12: Tìm hai số u và v biết u + v = S và uv = P Bài 39: Tìm hai số u và v biết: a) u + v = 20 và uv = 99; b) u + v = 8 và uv = 15; c) u + v = 5 và uv = - 24 d) u + v = - 7 và uv = - 18; e) u – v = 10 và uv = - 21; f) u – v = 3 và uv = 108 g) u2 + v2 = 13 và uv = - 6; k) u2 + v2 = 89 và u + v = 13. Dạng 13: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của phương trình x 1 và x2 thoả mãn điều kiện cho trước. Bài 40: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số trong mỗi trường hợp sau: 1 a) – 4 và 7; b) – 5 và ; c) 1,9 và 5,1; 3 2 d) 4 và 1 - 2 ; e) 3 5 và 3 5 ; f) 1 và - 8 3 2 Bài 41: Cho phương trình: x + 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: 1 1 a) và ; b) – x1 và – x2; x1 x 2 1 1 1 1 c) x1 và x 2 ; d) và x1 x 2 x1 1 x 2 1 2 2 e) x1 1 và x 2 1 Dạng 14: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai đã cho có nghiệm với bất kì giá trị nào của tham số. Bài 42: Cho hai phương trình: x2 + 2x – 2m – 8 = 0 (1) x2 + mx + 2 = 0 (2) với m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = - 4; m = - 1 b) Với giá trị nào của m thì phương trình (2) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. c) Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x1 = 3 . Tìm nghiệm còn lại. d) Chứng minh rằng với mọi m thì trong hai phương trình trên, ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài 43: Chứng minh rằng với bất kì giá trị của a, b, c luôn có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm: x2 + ax + b – 1 = 0 (1) ĐÀO VĂN CẦU 15
16. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 x2 + bx + c – 1 = 0 (2) x2 + cx + a – 1 = 0 (3) Bài 4.1: Chứng minh rằng với bất kì giá trị của a, b, c luôn có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm x2 – (a + b)x + ca = 0 (1) x2 – (b + c)x + ab = 0 (2) x2 – (c + a)x + bc = 0 (3) Bài 4.2: Cho hai phương trình: x2 + 2x + k + 1 = 0 (1) x2 + 2(k – 2)x + k – 5 = 0 (2) với k là tham số a) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. b) Giải phương trình (2) khi k = 5; k = 2; k = 1 c) Chứng minh rằng với mọi k thì trong hai phương trình trên, ít nhất một phương trình có nghiệm. Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau. Bài 44: Cho hai phương trình: x2 + x + k + 1 = 0 (1) x2 + (k – 2)x + 2k – 4 = 0 (2) với k là tham số a) Giải phương trình (1) khi k = - 1; k = - 4 b) Tìm k để phương trình (2) có một nghiệm x1 = 2 . Tìm nghiệm còn lại. c) Với giá trị nào của k thì hai phương trình trên tương đương ? Bài 45: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 (1) x2 + ax + 1= 0 (2) với a là tham số a) Giải phương trình (1) khi a = - 2; b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2 2 c) Tìm a để phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x 2 3 d) Với giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương với nhau. Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung và tìm nghiệm chung đó. Để nghiệm của một phương trình gấp đôi, gấp ba một nghiệm của phương trình kia. Bài 46: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 (1) và x2 + ax + 1 = 0 (2) với a là tham số Tìm a để: a) Hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung; b) Hai phương trình trên tương đương với nhau. Bài 47: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2) với m là tham số Tìm m để: a) Hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung; b) Hai phương trình trên tương đương với nhau. ĐÀO VĂN CẦU 16
17. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 Dạng 17: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm1 x; x2 thoả mãn điều kiện cho trước( trường hợp đặc biệt tính các nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm và thay vào điều kiện). Bài 48: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 2m = 0 (1) với m là tham số a) Tìm m để phương trình có một nghiệm là x1 = 0. Tìm nghiệm còn lại. 3 3 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để: x1 x 2 10 Bài 49: Cho phương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m - 6 = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = 0. 3 3 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để: x1 x 2 50 Dạng 18: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện cho trước (trường hợp điều kiện cho trước cho dưới dạng lời văn ). So sánh nghiệm của phương trình bậc hai một số . Bài 50: Cho phương trình: x2 – 3x + m – 1 = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = - 3; b) Tìm để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 là độ dài các cạnh của hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Bài 51: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = - 1; b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 là độ dài các cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 (hoặc hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 2 3 ). Bài 52: Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + 3(m – 4) = 0 (1) với m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = - 2; b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 2. Bài 53: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 (1) với m là tham số a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm; b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6. Bài 54: Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) với m là tham số a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm; ĐÀO VĂN CẦU 17
18. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: - 1 0; x 0; c) Tìm m để hàm số nghịch biến khi x > 0. ĐÀO VĂN CẦU 18
19. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 Dạng 22: Chứng minh (d): y = mx + n và (P): y = ax2 (a≠0) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của tham số. Bài 61: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (k – 1)x + 4 (k là tham số) và parabol (P): y = x2 1. Khi k = - 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P); 2. Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt; 3. Gọi y1; y2 là các tung độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho y1 + y2 = y1.y2 Bài 62: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = ax + 3 (a là tham số). 1. Vẽ parabol (P). 2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 3. Gọi x1; x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P), tìm a để x1 + 2x2 = 3 Bài 63: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; – 1) có hệ số góc k. a) Viết phương trình đường thẳng (d); b) Chứng minh rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với mọi k; c) Gọi hoành độ của A, B lần lượt là x1, x2. Chứng minh rằng: x1 x 2 2 . d) Chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác vuông. Dạng 23: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(x o; yo) và tiếp xúc với parabol (P): y = ax2. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d): y = ax + b và tiếp xúc với (P). Bài 64: Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P); b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; - 2) và tiếp xúc với đồ thị (P) Bài 65: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P); b) Viết phương trình đường thẳng (d’) song song với đường thẳng (d): y = 2x + 5 và tiếp xúc với (P). Bài 6.1: Cho parabol (P): y = x2 a) Tìm toạ độ điểm A có hoành độ x = - 1 thuộc (P). b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và tiếp xúc với (P). Bài 6.2: Cho parabol (P): y = -2x2 a) Vẽ (P); b) Viết phương trình đường thẳng (d’) vưông góc với đường thẳng (d): y = x + 5 và tiếp xúc với (P). ĐÀO VĂN CẦU 19
20. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 2 Dạng 24: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax (a≠0) đi qua điểm A(x o; yo) và xác định tính đồng biến, nghịch biến. Tìm hoành độ (hoặc tung độ) của điểm A thuộc (P) khi biết tung độ yA = yo hoặc hoành độ xA = xo. Bài 66: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị là một parabol (P) đi qua điểm A(- 4; - 8). a) Tìm a và xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số; b) Tìm trên (P) tìm được ở câu a điểm B có hoành độ x = 2. Viết phương trình đường thẳng AB. c) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng AB và tiếp xúc với (P) tìm được. d) Tìm M trên Oy sao cho AM + MB ngắn nhất; e) Tìm N trên Ox sao cho NA NB lớn nhất. Bài 67: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3 với m là tham số a) Tìm toạ độ các điểm thuộc (P), biết tung độ của chúng y = 2; b) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m; c) Gọi y1, y2 là các tung độ giao điểm của (P) và (d), tìm m biết y1 + y2 < 9. Dạng 25: Cho (P): y = ax2 (a≠0) và (d): y = mx + n cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Tính SOAB; SMAB biết M thuộc (P). Tìm giá trị của tham số để S MAB = k hoặc SMAB lớn nhất; nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất, dài nhất hoặc AB = ; tính AB hoặc SMAB ≤ . Bài 68: Cho hai hàm số y = x2 (P) và y = x + 2 (d). a) Vẽ (P) và (d) b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d); c) Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ) d) Tính độ dài AB. x 2 Bài 69: Cho hàm số y (P) và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B trên (P) 4 có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. a) Vẽ đồ thị (P); b) Viết phương trình đường thẳng (d); c) Tìm M thuộc (P) có hoành độ là m ( với 2 m 4) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất; d) Tính độ dài AB. Bài 70: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P): y = x2. 1. Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) và (P). 2. Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m ( - 1 ≤ m ≤ 2). Chứng minh rằng: 27 S ≤ ( S là diện tích của tam giác MAB). MAB 8 MAB Bài 71: Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = -3x + 2 a) Xác định toạ độ các giao điểm A và B của (d) và (P) bằng phép tính b) Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ). Bài 72: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số) a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1; ĐÀO VĂN CẦU 20
21. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m; c) Tìm m để SOAB 2 (với O là gốc toạ độ). Dạng 26: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax 2 (a≠0) và (d): y = mx + n cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ x 1; x2 thoả mãn điều kiện cho trước. Bài 73: parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – (m – 1) a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1 b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung Oy c) Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức P= 2 + 2 x1 x 2 Bài 74: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và 1 parabol (P): y x 2 (với m là tham số). 2 a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(- 1; 3) và tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) ứng với m tìm được. b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có toạ độ (x 1; y1) và (x2; y2) sao cho: x1x2(y1 + y2) + 48 = 0 Bài 75: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (với m là tham số) a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 3; b) Gọi A(x1; y1) và B(x2; y2) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). Tìm m để : y1 + y2 = 2(x1 + x2) – 1 Bài 76: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2(m-1)x – (m 2 – 2m) và đường Parabol (P): y = x2. a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O. b. Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m= 3. c. Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm có tung độ y1 và y2 thoả mãn y1 – y2 = 8. Dạng 27: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax 2 (a≠0) và (d): y = mx + n cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía (hoặc hai phía hoặc nằm trên cùng một nửa mặt phẳng ) của đường thẳng x = m hoặc y = k. Bài 77: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = kx + 1 với k là tham số a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi k = 4; b) Tìm k để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x = 1. Bài 78: Cho hàm số: y = mx – n + 1 với m, n là các tham số a) Xác định m, n để đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; - 2011) và song song với đường thẳng 2x – y = 1. ĐÀO VĂN CẦU 21
22. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 b) Khi n = 0, tìm m để đồ thị hàm số cắt (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng y = 1. Dạng 28: Dựa vào biện luận phương trình bậc hai xét số giao điểm của (P): y=ax2 (a≠0) và (d): y = mx + n; vị trí tương đối của (P) và (d). Ngược lại dựa vào đồ thị hàm số biện luận số lượng nghiệm của phương trình bậc hai x2 = m. Bài 79: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho 3 điểm A(- 3 ; 6), B(1; 0), C(2; 8). a) Biết điểm A nằm trên parabol (P) có phương trình y = ax2, xác định a. b) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B và C. c) Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và parabol (P). 2 Bài 80: Cho hàm số y = 2x có đồ thị là (P) và đường thẳng (d) có phương trình 1 y = 2(a-2)x - a 2 . 2 1) Tìm a để đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;- 8). 2) Khi a thay đổi hãy xét số giao điểm của (P) và (d) theo giá trị của a. 3) Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ O(0;0) bằng 3 . 1 Bài 65: Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = x + m với m là tham số 4 a) Biện luận theo tham số m số giao điểm của (P) và (d); b) Trong trường hợp (P) và (d) tiếp xúc với nhau, tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 81: Cho parabol (P): y = 2x 2 và đường thẳng (d): y = m với m là tham số a) Vẽ (P) và (d); b) Dựa vào đồ thị ở trên, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 2x 2 – m = 0 theo m. Dạng 29: Giải phương trình quy về phương trình bậc hai 1. Phương trình trùng phương; 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu; 3. Phương trình tích; phương trình vô tỉ. Bài 82: Giải các phương trình sau: 30 30 a) 2x4 – 7x2 – 4 = 0; b) 1; x x 1 c) 2x 8 2x 1 21; d) x x 2 0 ; e) x 3 x 2 0; f) x x 1 3 0 ; ĐÀO VĂN CẦU 22
23. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 g) 5 3 2x 2x 3 Bài 83: Giải các phương trình sau: x x 1 a) x x 5 x 7 ; b) 10. 3; x 1 x 2 2 c) 3 x 2 x 2 x 2 x 1 0 ; d) x 2 4x 2 x 2 4x 4 0 3 x 1 2 7 x e) 2 ; f) x 1 3 x 2 5 x 2 1 g) x 2 ; k) x 5 x 7 x 4 l) x + 3 x 2 Dạng 30: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 84: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 m 2. Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài 6 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chu vi của mảnh đất lúc đầu. Bài 85: Một hinh chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. Bài 86: Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc của hai người hơn kém nhau 2 km/h nên người đi nhanh hơn đến sớm hơn người kia 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30 km. Dạng 31: Phân tích đa thức ax2 + bx + c (a≠0) thành nhân tử. Bài 87: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2 – 11x + 30; b) 3x2 + 14x + 8; c) 5x2 + 8x – 4; d) x 2 1 2 3 x 3 3 Dạng 32: Giải phương trình dạng: 1) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m với a+b = c+d 2) (x+a)4 + (x+b)4 = c 3) ax4 + bx3 +cx2 kbx + k2a = 0 Bài 88: Giải các phương trình sau: a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297; b) (x+3)4 + (x+5)4 = 2; c) x4 + 4 = 5x(x2 – 2); d) x 2 4x 5 2 2x 3 ; e) x 2 2x 4 3 x3 4x ĐÀO VĂN CẦU 23
24. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 Bài tập bổ sung tổng hợp x 2 Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = và đường thẳng (d): 4 ax – y = - 2 với a là tham số. a) Chứng minh rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với mọi a b) Xác định a để AB có độ dài ngắn nhất. 1 Bài 2: Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 5 với m là tham 4 số. 1. Gọi A là điểm trên (P) có hoành độ x = - 2. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A. Khi đó tìm giao điểm thứ hai B khác A của (d) và a(P). 2. Tìm m biết đường thẳng (d) cùng với hai trục Ox và Oy tạo thành một tam giác cân. 3. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N với mọi giá trị của m. Tìm m để M và N đối xứng với nhau qua điểm I(2; 5). Bài 3: Cho hàm số y = ax2 (a≠0) có đồ thị đi qua điểm A(- 1; 2) a) Tìm a; b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): y = 2x + 3 – m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt ? Hai điểm đó có thể cùng thuộc góc phần tư thứ II được không ? Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0 (1) m là tham số a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m; b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2 x1 2mx1 2m 1 x 2 2mx 2 2m 1 0 c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 2 x1( 1- 2x2) + x2(1 – 2x1) = m + 11 Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2x + m – 3 = 0 (1) m là tham số a) Giải phương trình (1) khi m = 3; b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 2 x1 2x 2 x1x 2 12 Bài 6: Cho phương trình: x2 – 5x + 7 – k = 0 (1) k là tham số a) Biết phương trình (1) có một nghiệm x1 = - 1, tìm nghiệm còn lại. b) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm. c) Với giá trị nào của k thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 x1 4x 2 1 Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 (1) m là tham số Tìm m để phương trình (1) ĐÀO VĂN CẦU 24
25. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 a) Có hai nghiệm trái dấu; b) Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có đúng một nghiệm dương. Bài 8 : Cho phương trình: x2 + 2ax + a – 1 = 0 (1) a là tham số a) Biết phương trình (1) có một nghiệm x1 = - 2, tìm nghiệm còn lại. b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a; c) Tìm a để phương trình (1) có các nghiệm là các số thực không dương; 1 1 d) Gọi x1; x2 lần lượt là các nghiệm của phương trình (1). Tìm a để : 2 2 14 x1 x 2 1 Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2, điểm I(0; 2) và điểm 2 M(m; 0) với m ≠ 0. a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm I, M. b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m≠ 0. c) Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Chứng minh HIK vuông. Bài 10: Cho parabol (P): y = ax2 1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm K 2;4 . Vẽ đồ thị (P) với a tìm được. 2. Với a tìm được ở câu 1, hãy xác định m để đường thẳng (d): y = 6x + m cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) sao cho: y1 – y2 = 42. 3. Viết phương trình đường thẳng (d’) song song với (d) và tiếp xúc với (P). 4. Viết phương trình đường thẳng (d1) đi qua điểm A(0; - 2) và tiếp xúc với (P). Bài 11: Cho hai phương trình bậc hai: x2 + x + m – 2 = 0 (1) x2 + (m – 2)x – 8 = 0 (2) với m là tham số a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2 2 b) Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x 2 25. c) Tìm m để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung. Bài 12: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 10km/h nên đến B sớm hơn ôtô thứ hai 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng quãng đường AB dài 100km. Bài 13: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong công việc. Nếu làm một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm 2 trong 3 giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì 5 sau bao lâu xong công việc ? Bài 14: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 với m là tham số. ĐÀO VĂN CẦU 25