Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và một số vấn đề liên quan

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và một số vấn đề liên quan

1. CHUYÊN ĐỀ 1 CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I. Kiến thức 1) Định nghĩa, tính chất của căn bậc hai a) Căn bậc hai của số thực a không âm là số x sao cho x2 a. b) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. x 0 c) Với a 0 ta có x a 2 x a d) Với hai số a và b không âm, ta có a b a b . 2) ĐKXĐ của căn thức bậc hai: A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) A 0 3) Các công thức biến đổi căn thức 1. A2 A 2. A.B A. B với A, B 0. A A 3. với A 0 và B 0. B B 4. A2.B A B với B 0. 5. A B A2 B với A, B 0. A B A2 B với A 0;B 0. A 1 6. AB với AB 0, B 0. B B A 1 7. AB với AB 0, B 0. B B II. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau: 3 2 a) 2x 3 b) c) d) x2 10x 25. 2x 1 x 1 Hướng dẫn: 3 a) ĐKXĐ của biểu thức là 2x 3 0 x . 2 1 b) ĐKXĐ của biểu thức là 2x 1 0 x . 2
2. x 0 x 0 c) ĐKXĐ của biểu thức là . x 1 0 x 1 d) ĐKXĐ của biểu thức là x2 10x 25 0 x 5 2 0 x 5. Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức sau: 2 2 a) A 2 2 5 2 5 ; b) B 9 4 5 6 2 5; c) C 2 3 2 3; d) D a2 4a 4 a2 4a 4 với 2 a 2. Hướng dẫn: 2 2 a) A 2 2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 5 2 2 2 2. b) B 9 4 5 6 2 5 2 2 2 5 1 5 2 5 1 5 2 5 5 1 2 5 5 1 3. c) Cách 1: C 2 3 2 3 2 2 2C 4 2 3 4 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 2 3 C 6. Cách 2: C 2 3 2 3 2 C 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 6 C 6 C 6 Vì C 0 C 6. d) D a2 4a 4 a2 4a 4 a 2 2 a 2 2 a 2 a 2 a 2 2 a (vì 2 a 2 ). Do đó D 4.
3. Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: 2 2 a) A ; 3 1 3 1 2 2 1 b) B : ; 5 3 5 3 3 2 3 2 3 c) C . 2 3 2 3 Hướng dẫn: 2 2 2 3 1 2 3 1 a) A 3 1 3 1 2. 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 5 3 2 5 3 2 2 1 b) B : . 3 5 3 5 3 . 3 5 3 5 3 3 5 3 5 3 2 3. 3 6. 2 2 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 c) C 2 2 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 4. 2 2 Ví dụ 4. Cho x 3 2. Tính giá trị của biểu thức B x5 3x4 3x3 6x2 20x 2024. Hướng dẫn: Ta có x 3 2 x 2 3 x2 4x 1 0. B x5 3x4 3x3 6x2 20x 2024 x5 4x4 x3 x4 4x3 x2 5x2 20x 5 2019 x3 x2 4x 1 x2 x2 4x 1 5 x2 4x 1 2019 x2 4x 1 x3 x2 5 2019 Từ đó tính được B 2019. 1 7 1 Ví dụ 5. Cho biểu thức A : với x 0, x 1. x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. 2 2 b) Tính giá trị của biểu thức với x . 2 3 2 3 Hướng dẫn: a) Với x 0, x 1 ta có
4. 1 7 1 1 7 A : . x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 7 x 5 . x 2 . x 2 x 2 x 2 2 2 4 4 4 4 b) Ta có x 2 2 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 thỏa mãn điều kiện. 3 1 3 1 x 5 2 5 8 3 2 Thay vào biểu thức A ta được A . x 2 2 2 2 x x 2 2 1 Ví dụ 6. Cho biểu thức B : với x 0, x 1. x 1 1 x x x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức B. 1 b) Tìm x để B . 2 Hướng dẫn: a) Với x 0, x 1 ta có: x x 2 2 1 B : x 1 1 x x x x x x 1 x x 2 2 1 : x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x x 1 2 x 1 2 x x 2 x x x 1 x : . . x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 x b) Theo câu a) ta có B với x 0, x 1. x 1 1 x 1 B 2x x 1 0 x 1 2 x 1 0 2 x 1 2 1 Từ đó tìm được x (thỏa mãn điều kiện). 4 2 x 4 x 8 Ví dụ 7. Cho biểu thức B với x 0, x 16. x 3 x 4 x 1 x 4 a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên. c) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
5. Hướng dẫn: 3 x a) Rút gọn biểu thức B ta được B . x 1 3 x 3 b) Ta có B 3 với x 0, x 16. x 1 x 1 Trường hợp 1: x không là số chính phương x 1 là số vô tỉ B không nhận giá trị nguyên. Trường hợp 2: x là số chính phương x 1 là số nguyên. 3 B nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên x 1 là ước dương của 3 x 1 ) x 1 1 x 0 (thỏa mãn điều kiện) ) x 1 3 x 4 (thỏa mãn điều kiện) Kết luận: x 0; x 4. 3 x 3 c) Ta có B 3 với x 0, x 16. Suy ra B 3. x 1 x 1 Dễ chứng minh được B 0. Từ đó suy ra 0 B 3. 1  Mà B nhận giá rị nguyên B 0;1;2. Từ đó tìm được x 0; ;4 . 4  III. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức sau A = 15 216 33 12 6 B = 3 5 3 5 C = 21 6 6 21 6 6 D = 4 10 2 5 4 10 2 5 2. So sánh a) A 2020 2019 và B 2018 2017; b) C 2020 2018 và D 2 2019. 2 x 2 3. Cho hai biểu thức A x 2 và B với x 0; x 4 2 x 2 x x a) Tính giá trị của biểu thức A với x 6 2 5. b) Rút gọn biểu thức B.
6. c) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để P A.B nhận giá trị nguyên. 3. Tính giá trị của biểu thức: a) A x2 2x y 3y với x 5 2; y 6 2 5. b) B x y với x, y thỏa mãn x x2 2019 y y2 2019 2019. c)C x3 3x 2015 với x 3 2 5 3 2 5 . x 2 x 2x x 2(x 1) 4. Cho biểu thức P = x x 1 x x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x c) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị là số nguyên. P 2 x x 3x 3 x 1 5. Cho các biểu thức A và B với x 0, x 9. x 3 x 3 x 9 x 3 a) Tính giá trị của biểu thức B tại x 11 6 2. b) Rút gọn biểu thức A. A 2 c) Đặt C .Tìm giá trị của x để C . B 3 4x 7 d) Đặt D x.C . Tìm giá trị nhỏ nhất của D. x 3 2bc 2020 2b 4040 3ac 6. Cho abc 2020 . Rút gọn biểu thức P . 3c 2bc 2020 3 2b ab 3ac 4040 2020a 2 x 1 1 7. Cho 2 1 1 2 1 1 . Tính giá trị của biểu thức Q (x5 x4 x3 x2 2x 1 4 2)2020 1 1 1 8. Cho a;b;c 0 đôi một khác nhau và 0 . a b c a2 b2 c2 Tính M . a2 2bc b2 2ca c2 2ab 1 1 2 9. Cho a 2 . 2 8 8 a. Chứng minh 4a2 a 2 2; b. Tính giá trị của biểu thức Q a2 a4 a 1.
7. 1 1 1 5 1 5 10. Tính giá trị của S . Biết x = và y = . x 1 2 y 1 2 2 2 4 1- 9 + 4 2 11. Rút gọn biểu thức P = - . 2 + 7- 2 10 7- 89- 28 10 xz z z2 1 12.Xét ba số thực dương x, y, z thoả mãn . Chứng minh rằng z z2 1 y y 1 1 1 1. xy x yz 1 yz y 1 zx z 1 x 1 1 13. Cho biểu thức A : (với x 0 ). x x x x 1 x2 x 1) Rút gọn biểu thức A. 1 2) Tìm các giá trị nguyên của x để là một số nguyên. A