Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Cấp huyện, Cấp THCS) - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Cấp huyện, Cấp THCS) - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HƯNG HÀ Cấp huyện, cấp THCS năm học 2019-2020 Môn kiểm tra: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề này gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Thực hiện phép tính 1 2 3 2 4 1 1 1 1 1 . 2 14 7 35 15 2 a) A 0,5 0,2 6 ; b) B 2 3 4 2019 2020 2019 2018 2 1 1 3 2 2 5 2 . 1 2 2018 2019 10 25 5 7 Bài 2: (6,0 điểm) x y x y xy 1) Tìm x, y biết: 3 13 200 2) So sánh: x 17 26 1 và y 99 1 1 1 1 1 3) Tìm x, y biết: x x x y 2 3 4 5 4 6x 3 6x 1 6x 72x 72x 1 72x 3 4) Tìm x N, biết: 1 211 8 49 Bài 3: (3,0 điểm) 1 2 1) Cho hàm số: y = f(x) thỏa mãn: f x 3f x với mọi x ≠ 0. Tính f(2) x 2) Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x x Bài 4: (6,0 điểm) Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB (M khác A, B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi K là giao điểm AD và BC. Chứng minh rằng: a) AD = BC; b) MEF là tam giác đều; AK BK CK DK c) KM = 2 Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b c 1 2 a b b c c a Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 2019-2020 Môn kiểm tra: Toán 7 Bài Ý Nội dung Điểm 1 2 3 2 4 . 2 14 7 35 15 2 A 0,5 0,2 6 1 3 2 2 5 2 . 10 25 5 7 1 2 3 2 4 . 1 14 7 35 15 1 2 A 2 0, 6 0,5đ 2 1 2 3 2 10 4 a (2,0 14 7 35 điểm) 1 4 1 6 2 1 2 3 2 0,5đ A 2 (Vì 0 ) 2 15 10 9 4 14 7 35 1 4 4 1 A 0,5đ 2 15 15 2 1 4 1 4 A 2 15 2 15 0,5đ A = 1 1(4,0 Vậy A = 1 điểm) 1 1 1 1 1 B 2 3 4 2019 2020 2019 2018 2 1 1 2 2018 2019 2019 2018 2 1 Đặt M 1 2 2018 2019 2018 2 1 0,5đ M 1 1 1 1 2 2018 2019 b 2020 2020 2020 2020 (2,0 M 2 2018 2019 2020 điểm) 1 1 1 1 1 0,5đ M 2020 2 3 4 2019 2020 1 1 1 1 1 Do đó: B 2 3 4 2019 2020 2019 2018 2 1 1 2 2018 2019
3. 1 1 1 1 1 B 2 3 4 2019 2020 1 1 1 1 1 0,5đ 2020 2 3 4 2019 2020 1 1 1 1 1 (Vì ≠ 0) 2 3 4 2019 2020 1 B 2020 0,5đ 1 Vậy B 2020 x y x y xy 3 13 200 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,5đ x y x y xy x y x y x y x y 3 13 200 3 13 13 3 2x 2y xy x y xy 16 10 200 8 5 200 x y xy Đặt k 1 8 5 200 (1,5 x 8k điểm) 0,5đ y 5k 8k.5k 200k k2 = 5k k2 – 5k = 0 xy 200k k(k – 5) = 0 k = 0 hoặc k = 5 2 +) Với k = 0 thì x = y = 0 (6,0 + Với k = 5 thì x = 40; y = 25 điểm) 0,5đ x 40 Vậy x = y = 0; y 25 x 17 26 1 và y 99 17 16 17 16 4 Ta có: 0,75đ 2 26 25 26 25 5 (1,5 điểm) 17 26 1 > 4 + 5 + 1 = 10 = 100 0,5đ Mà 100 > 99 100 > 99 Vậy x > y 0,25đ 1 1 1 1 1 x x x y 3 2 3 4 5 4 (1,5 1 1 1 1 1 1 điểm) Ta có: x x x x x x 0,25đ 2 3 4 2 4 3
4. 1 1 1 1 1 x x ≥ x x ;x 2 4 2 4 4 1 x ≥ 0;x 3 0,5đ 1 1 1 1 x x x ≥ ;x 2 3 4 4 1 Mà y ≥ 0;y 5 1 1 1 1 1 Do đó: x x x y ;x, y 2 3 4 5 4 1 1 1 1 1 x x x y 0,5đ 2 3 4 5 4 1 1 1 1 x x 0 x 2 4 4 2 1 x 1 1 3 x 0 x 3 3 1 y 1 1 5 y 0 y 5 5 1 x 0,25đ 3 Vậy 1 y 5 6x 3 6x 1 6x 72x 72x 1 72x 3 1 211 8 49 x 3 1 2x 1 3 6 6 6 1 7 1 7 7 0,25đ 1 211 8 49 2x 1 x 7 .8 6 .211 4(1,5 49 1 điểm) 211 8 49 6x = 72x 0,5đ 6x = 49x x 6 1 49 0,5đ x = 0 Vậy x = 0 0,25đ
5. 1 2 Ta có: Hàm số y = f(x) thỏa mãn: f x 3f x với mọi x ≠ 0 x 1 1 f 2 3f 4 f 2 3f 4 2 2 0,75đ 1 1 1 3 1 f 3f 2 9f 2 3f (1,5 2 4 2 4 điểm) 13 0,25đ 8f(2) = 4 13 f(2) = 0,25đ 32 13 Vậy f(2) = 32 0,25đ x khi x 0 0,25đ Ta có: x x khi x 0 2 x x khi x 0 y = 2 x x 0,25đ 2 x x khi x 0 4x khi x 0 y = 3 0khi x 0 0,25đ (3,0 +) Vẽ đồ thị hàm số y = 4x, lấy phần đồ thị ứng với x ≥ 0 0,5đ điểm) + ) Vẽ đồ thị hàm số y = 0, lấy phần đồ thị ứng với x < 0 2 (1,5 A điểm) B O 0,25đ Vậy đồ thị hàm số y = 2 x x là hình gồm hai tia OA và OB như hình vẽ trên 4 Vẽ hình ghi GT và KL
6. (6,0 điểm) C D K F E A M B +) Ta có: AMC và BMD là các tam giác đều (GT) 0,5đ AM CM BM DM (tính chất tam giác đều) · · · 0 AMC ACM BMD 60 0,5đ +) Ta có: A· MC B· MD 600 (chứng minh trên) A· MC C· MD B· MD C· MD a (2,0 điểm) A· MD B· MC 0,5đ +) Xét AMD và CMB có: AM CM (cmt) A· MD B· MC(cmt) DM BM (cmt) AMD = CMB (c.g.c) AD = BC (hai cạnh tương ứng) 0,5đ +) Ta có: AMD = CMB (c.g.c) (cmt) M· AD M· CB AD BC(cmt) AD +) Ta có: AE (gt) AE = CF 2 BC 0,5đ b(2,0 CF (gt) điểm) 2 0,5đ +) Xét AEM và CFM có: AE CF(cmt) M· AD M· CB (cmt) AM CM (cmt) AEM = CFM (c.g.c) ME = MF (hai cạnh tương ứng)
7. A· ME C· MF (hai góc tương ứng) 0,5đ +) Ta có: A· ME C· MF (cmt) A· ME C· ME C· MF C· ME E· MF A· MC 600 E· MF 600 (cmt) +) Xét MEF có: ME MF(cmt) MEF là tam giác đều 0,5đ C D K I N A M B c (2,0 Trên đoạn thẳng AK lấy điểm N sao cho: KN = KC; trên đoạn thẳng BK điểm) lấy điểm I sao cho: KI = KD +) Tính được C· KN D· KI 600 +) Chứng minh CKN và DKI là các tam giác đều 0,5đ KC = CN; KD = DI và N· CK I·DK 600 +) Chứng minh được A· CN M· CK và K· DM B· DI +) Chứng minh ACN = MCK (c.g.c) và BDI = MKD (c.g.c) 0,5đ AN = KM = BI (các cạnh tương ứng) AK = KM + KC và BK = KM + KD 0,5đ AK + BK = 2KM + CK + DK AK BK CK DK KM = 2 0,5đ +) Ta có: a, b, c là các số thực dương a a b b c c 0,5đ ; ; a b c a b a b c b c a b c c a 5 (1,0 a b c a b c (1,0 điểm) a b c a b b c c a điểm) a b c 1 < (1) a b b c c a +) Ta có: a, b, c là các số thực dương
8. a a c b a b c c b ; ; a b a b c a b c b c c a a b c 0,5đ a b c 2 a b c < a b b c c a a b c a b c < 2 (2) a b b c c a a b c +) Từ (1) và (2) 1 2 a b b c c a Chú ý: - Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu (không làm tròn số) - Đây là đáp án và biểu điểm cụ thể cho một cách giải của từng ý, từng câu. Trong quá trình chấm, đối với những lời giải khác hợp lí và cho kết quả đúng, yêu cầu giám khảo cho điểm tối đa.