Đề thi học sinh giỏi cấp quận Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Long Biên

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp quận Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Long Biên

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN QUẬN LONG BIÊN VÒNG 2 NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN Ngày thi: 20/12/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) x2 - x 2x + x 2(x - 1) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P = - + (x > 0, x 1). x + x + 1 x x - 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P = 3. Bài 2: (4,0 điểm) n n n 1) Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: (20 + 16 – 3 – 1) chia hết cho 323. 2) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức xx2 ++6 là một số chính phương. 3) Giải phương trình : 2x2 − 5 x + 5 = 5 x − 1 Bài 3. (4,0 điểm) 1. Cho các hàm số bậc nhất: y=+ 0 , 5 x 3 , y=− 6 x và y= m x ( với m là tham số, x là ẩn ) có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương? 2. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. c+ a b a + b c b + a c Chứng minh rằng: + + 2 a+ b b + c a + c Bài 4: (6,0 điểm ) Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và nửa đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H. a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH; b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định Bài 5: (2,0 điểm ) Cho 19 điểm nằm trong hay nằm trên cạnh của một lục giác đều có cạnh bằng 4cm. Chứng minh rằng, luôn tồn tại hai trong số 19 điểm đã cho mà khoảng cách giữa hai điểm đó không vượt quá 43 cm . 3 ––––––––––Hết–––––––––– Chú ý: : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Phần Hình học không sử dụng các kiến thức chương III- Toán 9.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 VÒNG 2 Năm học 2018-2019 TT Nội dung Điểm Bài 1 4đ 3 a x( x− 1) x (2 x + 1)2( x − 1)( x + 1) P = − + x+ x +11 x x − 1.0 x( x− 1)( x + x + 1) = −2xx − 1 + 2 ( + 1) xx++1 =xx − + 1 1.0 b P = 3 xx−+1 = 3 xx− −20 = 0.5 tL=−1 ( ) 2 Đặt x = t, t 0 ta được pt tt− −20 = 1.0 t= 2 ( T M ) Với t = 2 ta được = 2 x = 4 (thỏa mãn ĐK). Vậy x = 4 thì P = 3. 0.5 Bài 2 4đ n n n 1 Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: 20 + 16 – 3 – 1 323 Ta có: 323=17.19 • 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n – 1 19 16n – 3n 19 (n chẵn) Do đó 20n + 16n – 3n – 1 19 (1) 1.5 • 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1) 20n – 3n 17 16n –1n 17 ( n chẵn) Do đó 20n + 16n – 3n – 1 17 (2) Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1 323
3. 2 xxnnZxx2++=6 2 ;(,x )4 2 ++= 4 244 nxx 2 4 2 ++− 414 n 2 =− 23 ( 2x+− 12 n) ( 2 x ++ 12 n) =− 23;2 x +− ++ 12 n 2 x 12 n 2xn+− 1 2 -1 -23 1.5 2xn++ 1 2 23 1 42x + 22 -22 x 5 -6 Vậy số nguyên x cần tìm là 5 hoặc –6 1 ĐKXĐ x 5 22 255512x−+= x x − ( x −+++− 32 x) x 1510 x −= 2 2 ( xx+1) −( 5 − 1 ) 2( xx2 − 3 + 2) + = 0 3 xx+1 + 5 − 1 xx2 −+3 2 1 22 1.0 2( x − 3 x + 2) + = 0 ( x − 3 x + 2) 2 + = 0 x+1 + 5 x − 1 x + 1 + 5 x − 1 11 d o x 20 + 5 xx+1 + 5 − 1 x = 1 2 x−3 x + 2 = 0 ( x − 1) ( x − 2) = 0 x = 2 S = 1; 2 Bài 3 4đ 1 Điều kiện để ( m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m0 Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và ( m) là: 0, 5 x+= 3 m x (m−= 0, 5) x 3 Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m− 0,5 0haym 0,5 2.0 Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và ( m) là: 6−= x m x ( m+= 1) x 6 Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m+ 1 0 h ay m − 1 Vậy điều kiện cần tìm là: −1 m 0, 5; m 0
4. 2 Vì a + b + c = 1 nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) nên BĐT cần chứng minh tương đương với 2.0 ( cacb+) ( +) ( babc +) ( +) ( abac +) ( + ) + + 2 a+ b a + c b + c 2 2 2 +( cacb) ( + ) +( babc) ( + ) +( abac) ( + ) + + 2 a+ b a + c b + c Mặt khác dễ thấy: x2+ y 2 + z 2 x y + y z + z x , với mọi x, y, z (*) Áp dụng (*) ta có: V T b + c + a + b + c + a = 2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc= = = đpcm 3 Bài 4 6đ Vẽ hình đúng Hình vẽ F D E M C K A H O B N Học sinh vẽ hình đúng đến câu a : 0.5
5. a Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AC = CM, BD = DM. 2.5 Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta KDBD KDMD có: = = MK // AC mà ACABMKAB⊥ ⊥ KAAC KAMC KHBKKMDKKDBK Ta có =(1); = (2); = (3);T u (1)(2)(3) ta có : ACBCACDAADBC KHMK = MKKH = . ACAC Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với b MB. Ta có BEF = 90 0 . Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g) AB = BF=2R BF không đổi, 3.0 F thuộc tia By cố định F cố định. Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua điểm cố định F Bài 5 2đ Chia lục giác đều ABCDEF tâm O thàng 6 tam giác đều có cạnh bằng A M B 4cm( hình vẽ ). Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 4 trong 19 G điểm nằm trong hay trên một cạnh P N của một trong 6 tam giác đó. Không mất tính tổng quát, giả sử C F O đó là OAB với trọng tâm G. Kẻ GM ⊥ AB, GN ⊥ BO, GP ⊥ AO. - Suy luận được OAB , chia thành 3 tứ giác GMBN, GMAP, D GPON lần lượt có các đỉnh cùng E nằm trên một đường tròn có đường kính GB,GA,GO đều bằng 43 cm. 1.0 3 - Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 4 điểm đang xét nằm trong hay trên 1 cạnh của 1 trong 4 tứ giác nói trên. Nên khoảng cách giữa điểm đó không vượt quá đường kính cm của các đường tròn ngoại tiếp tứ giác=> đpcm 1.0 Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Giám khảo thống nhất trong tổ chấm điểm thành phần nhưng tuyệt đối không thay đổi tổng điểm của từng câu. Điểm toàn bài thi làm tròn đến 1 chữ số thập phân.