Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Lý Thường Kiệt (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Lý Thường Kiệt (Có đáp án)

1. UBND QUẬN HẢI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,25 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 + y2 + 10 = 2(x - 3y) Bài 2 (2,0 điểm) 1 a) Cho x + 4y = 1. Chứng minh rằng : x2 + 4y2 5 b) Giải phương trình sau: Bài 3 (1 điểm) Chứng minh rằng với x, y nguyên thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. Bài 4 (1,25 điểm) Số nhà của Minh là một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đó thì được một số kí hiệu là A. Nếu thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì được một số kí hiệu là B. Tìm số nhà của Minh biết hiệu của A và B là 153. Bài 5 (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH, phân giác BE cắt đường cao AH tại F. a. Chứng minh : ∆AFE cân. b. Chứng minh: FH.EC= EA.FA c. Gọi M là điểm đối xứng với A qua B và I là trung điểm HC. Chứng minh MH  AI. - Hết -
2. UBND QUẬN HẢI CHÂU HƯỚNG DẪN CHẤM THI TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi : Toán Bài Nội dung Điểm a) (1,0đ) 0,25 0,25 Bài 1 0,5 (2,25 b) (1,25đ) Ta có: điểm) x2 + y2 + 10 = 2(x - 3y) x2 – 2x +1 + y2 + 6y + 9 = 0 0,25 (x – 1)2 + (y + 3)2 = 0 0,25 Lập luận suy ra x = 1; y = -3 0,5 Thay x = 1; y = -3 vào biểu thức P, ta có: 0,25 a) (1,0đ) Ta có: x + 4y = 1 x = 1 – 4y x2 = 1 – 8y + 16y2 0,25 Bài 2 0,25 (2,0 điểm) 1 Lập luận đưa đến kết luận : x2 + 4y2 5 0,25 Đẳng thức xảy ra 0,25
3. b) (1,0đ) 0,25 0,5 0,25 (Vì biểu thức trong ngoặc ở vế trái khác 0) A=[(x+y)(x+2y)][(x+3y)(x+4y)]+y4 0,25 = (x2 + 3xy + 2y2)(x2+7xy+12y2) + y4 Bài 3 =x4 + 10x3y+35x2y2+50xy3+25y4 0,25 (1,0 =(x2+5xy)2 +10y2(x2+5xy)2+(5y2)2 điểm) =(x2+5xy+5y2)2 0,25 Do x, y là các số nguyên nên (x2+5xy+5y2)2 là số nguyên. Vậy A là số chính phương 0,25 Gọi x là số nhà của Minh ( x N*; 9<x<100) Theo đề ta có: A = 500 + x 0,25 Bài 4 B = 10x + 5 Ta có phương trình: (500 +x) – (10x + 5) = 153 (1,25 0,5 Giải được x = 38 điểm) 0,25 Kết luận 0,25 0,5 a) (0,75đ)Chứng minh ∆HFB đồng dạng với ∆AEB HFB = AEB 0,25 Mà HFB = EFA Do đó AEF = EFA 0,25 Bài 5 Vậy ∆AEF cân tại A 0,25
4. (3,5 b)(1,0đ) Xét ∆HBA có BF là đường phân giác điểm) 0,25 (1) Lại có BE là đường phân giác của ∆ABC 0,25 (2) Mà ∆HBA đồng dạng ∆ABC (gg) 0,25 (3) Từ (1) (2) (3) FH.EC= EA.FA 0,25 c)(1,25đ) Gọi J là giao điểm của MH và AI Chứng minh: ∆CHA đồng dạng ∆CAB (gg) 0,25 Mà: CH = 2IC; AM = 2AB (1) Lại có: ICA = HAM ( cùng phụ CAH) (2) 0,25 Từ (1) (2) ∆ICA đồng dạng ∆HAM (cgc) 0,25 JIC = AHM JIH = JHA (3) 0,25 Mà: JHA+ JHI = 900 (4) (3) (4) JIH + IHI = 900 MH  AI 0,25 (Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)