Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên môn Toán Lớp 9 (Dành cho học sinh thi chuyên xã hội) - Đề 1 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên môn Toán Lớp 9 (Dành cho học sinh thi chuyên xã hội) - Đề 1 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Nam Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học 2016 - 2017 Môn: TOÁN (chung) - ĐỀ 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài: 120 phút. (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 2 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A x 1 . 3 x 2) Tính giá trị của biểu thức B x2 6x 9 x với x 3 3. 3) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD , biết cạnh AB 5cm. 4) Tìm các tọa độ giao điểm của đường thẳng y x 2 và parabol y x2. 3 x 2 x x 2 x 1 Câu 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức P (với x 0; x 1). x x 2 x 1 x 2 x 3 1) Chứng minh P . x 2 3 2) Chứng minh rằng nếu x 0; x 1 thì P . 2 Câu 3 (2,5 điểm). 1) Cho phương trình x2 m 1 x 2m 2 0 (với m là tham số). a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 2 2 thỏa mãn x1 x2 4 x1x2 . b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 2. 2 2 2x y xy x y 0 2) Giải hệ phương trình 2x y 2 2 2x 0. Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ AH vuông góc với BD tại H và HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AD tại E và F . Gọi K , M lần lượt là trung điểm của HD , BC và I là giao điểm của AH với EF . 1) Chứng minh I là trực tâm của tam giác ABK. 2) Chứng minh tứ giác ABMK là tứ giác nội tiếp. 3) Chứng minh AH 3 BE.BD.DF . Câu 5 (1,0 điểm). Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 1. Tìm giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của biểu thức S . 4x2 yz 2 4y2 zx 2 4z 2 xy 2 HẾT Họ và tên thí sinh: Họ tên, chữ ký GT 1: Số báo danh: Họ tên, chữ ký GT 2: .
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (chung) - Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm Câu 1 (2,0đ) 1) 2 x 1 0 x 1 Biểu thức A x 1 xác định . 0,5 3 x x 3 x 3 2) 2 Ta có B x 3 x x 3 x . 0,5 Với x 3 3 , ta có B 3 3 3 3 3 3. 3) Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có đường kính AC 5 2 cm. AC 5 2 0,5 Suy ra bán kính đường tròn đó là R cm. 2 2 4) 2 2 x 1 Xét phương trình x x 2 x x 2 0 x 2. 0,5 Với x 1 y 1; với x 2 y 4 . Tọa độ các giao điểm cần tìm là 1;1 và 2;4 . Câu 2 (1,5đ) 1) 2 3x 6 x x 2 x 1 x 1 Ta có P 0,25 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3x 6 x x 4 x 4 x 1 x 1 x 2 0,25 x 2 x 3 x 1 x 2 0,25 x 1 x 3 x 3 . 0,25 x 1 x 2 x 2 2) x 3 1 P 1 . 0,25 x 2 x 2 1 1 1 3 3 Với x 0; x 1 ta có x 2 2 1 P . x 2 2 x 2 2 2 0,25
3. Câu 3 (2,5đ) 2 2 1.a) Ta có m 1 4 2m 2 m2 6m 9 m 3 . 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 0 m 3. 0,25 x1 x2 m 1 Theo hệ thức Viet ta có x1.x2 2m 2 2 2 2 x1 x2 4 x1x2 x1 x2 3x1x2 4 0,25 m 1 2 3 2m 2 4 m2 4m 3 0 m 1 m 3 Đối chiếu điều kiện ta được m 1 là giá trị cần tìm. 0,25 1.b) 2 x 2 x m 1 x 2m 2 0 x 2 x m 1 0 0,25 x m 1. Phương trình có nghiệm lớn hơn 2 khi và chỉ khi m 1 2 m 3. 0,25 2 2 2) 2x y xy x y 0 1 2x y 2 2 2x 0 2 0,25 Điều kiện: 2x y 2 (1) x y 2x y x y 0 x y 2x y 1 0 x y vì 2x y 1 0 do 2x y 2 . 0,25 Thế y x vào (2) ta được 3x 2 2x 2 0,25 x 1 2 x 2. 4x 11x 6 0 0,25 Với x 2 y 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;2 . Câu 4 (3 đ) 1) B M C H E Tứ giác AEHF là hình chữ nhật, suy 0,25 ra I là trung điểm của AH I K A D F IK là đường trung bình của AHD IK song song AD 0,25 KI  AB ( AD  AB ) 0,25 Xét ABK có KI  AB và AI  BD (giả thiết), suy ra I là trực tâm của ABK. 0,25
4. 2) BI  AK ( I là trực tâm của ABK ) (1) 0,25 1 IK song song AD , IK AD ( IK là đường trung bình của AHD ) 2 0,25 IK song song BM , IK BM Do đó tứ giác BMKI là hình bình hành BI song song MK (2) Từ (1) và (2) suy ra MK  AK hay ·AKM 900 . 0,25 ·ABM ·AKM 900 900 1800 , do đó tứ giác ABMK là tứ giác nội tiếp. 0,25 3) Vì ABD vuông tại A có AH là đường cao nên AH 2 BH.DH 0,25 Do đó AH 3 BE.BD.DF AH.AH 2 BE.BD.DF AH.BH.DH BE.BD.DF BH BE 0,25 AH. .DH BE.DF AH. .DH BE.DF ( HE song song AD ). BD BA AH.DH DF AH.DH AB.DF (*) 0,25 BA AH DF ABH đồng dạng với DHF (g.g), do đó AH.DH AB.DF . AB DH 0,25 Suy ra (*) đúng. Vậy AH 3 BE.BD.DF . Câu 5 (1 đ) 1 1 1 Ta có 4x2 yz 2 4x2 yz 2(xy yz zx) 4x2 2xy yz 2zx 1 . 2x y 2x z 0,25 1 1 1 Tương tự, ta có S 2x y 2x z 2y z 2y x 2z x 2z y yz xz xy S 0,25 2xz yz 2xy yz 2xy xz 2yz xz 2yz xy 2xz xy 2 2 2 a b Với mọi a,b ta có a b 0 a b 4ab ab . 4 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: 0,25 yz xz xy S 2xy 2yz 2zx 2 2xy 2yz 2zx 2 2xy 2yz 2zx 2 4 4 4 xy yz zx 1 S 1. 2xy 2yz 2zx 2 xy yz zx 4 0,25 1 Đẳng thức xảy ra khi x y z .Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 1. 3 Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án nếu đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống nhất cho điểm thành phần tương ứng. + Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu không làm tròn. ___HẾT___