Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2020-2021

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2020-2021

1. KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài thi: 120 phút Bài 1 (2,0 điểm) 3 x 1 2 x 2 Cho hai biểu thức A và B : x 1 x 3 x 1 xx x 1 với x 0; x 1. a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4 . b) Rút gọn biểu thức B. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.B. Bài 2 (2,5 điểm) 1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Hai đội công nhân dệt may cần sản xuất một số lượng khẩu trang theo đơn đặt hàng. Nếu làm chung thì sau 4 giờ họ sẽ làm xong. Nhưng hai đội mới làm chung được 3 giờ thì đội 1 nghỉ, đội 2 tiếp tục làm trong 3 giờ nữa mới xong. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới xong công việc? 2) Tính thể tích của hình nón biết rằng diện tích đáy là 50,24 cm2 , chiều cao 6cm. Bài 3 (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 5x 1 3 y 2 7 2 2 2 4xx 8 4 5 yy 4 4 13 2) Cho phương trình x2 m 1 xm 2 0 (với m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên. Bài 4 (3,0 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn O;R . Kẻ đường cao AD và đường kính AK. Hạ BE và CF cùng vuông góc với AK. a) Chứng minh tứ giác ABDE và tứ giác ACFD là các tứ giác nội tiếp; b) Chứng minh DF // BK; c) Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp DEF là một điểm cố định. 1 1 1 Bài 5 (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn 2020 . Tìm a b b c c a 1 1 1 giá trị lớn nhất của biểu thức: P . 2abcabcabc 3 3 3 2 3 3 3 2 HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT Bài Điểm Điểm Bài 1 a) x 4 thỏa mãn điều kiện. 0,25 (2 điểm Thay x 4 vào biểu thức A, ta có: 3. 4 A 4 1 4 3 6 0,25 A 5 6 Vậy A khi x 4 5 b) Với x 0; x 1, ta có: 0,25 1 2 x 2 B : x 1 xx x 1 1 2x 2 B : x 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 0,25 B  x x 1 x 2 x 1 x 1 0,25 B x x 1 x 1 0,25 B x 3 0,25 c) AB. x 3 Với mọi x thỏa mãn điều kiện ban đầu, ta có: 0,25 3 x 0 x 3 3 1 x 3 3 1 x 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =0 Suy ra: GTNN của A.B bằng -1 khi x =0. Bài 2 1) Gọi x, y (giờ) là thời gian mà đội 1, đội 2 làm riêng hoàn thành 0,25 (2,5 công việc. (x,y>4) điểm) 1 0,25 Trong 1 giờ, đội 1 làm một mình thì làm được (Công việc) x 1 Trong 1 giờ, đội 2 làm một mình thì làm được (Công việc) y Vì nếu 2 đội làm chung thì hoàn thành công việc sau 4 giờ nên ta có PT
3. 1 1 1 x y 4 1 1 0,25 Trong 3 giờ 2 đội làm chung thì làm được: 3. (Công việc) x y 3 Trong 3 giờ, đội 2 làm riêng thì làm được (Công việc) y Vì hai đội mới làm chung được 3 giờ thì đội I nghỉ, đội II tiếp tục 0,25 1 1 3 làm trong 3 giờ nữa mới xong nên ta có PT: 3. + 1 x y y Ta có hệ PT: 0,25 1 1 1 x y 4 x 6 (TM) 1 1 3 y 12 3. 1 xy y Vậy nếu làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc trong 6 giờ, đội 2 0,25 hoàn thành công việc trong 12 giờ. 2) Gọi bán kính đáy của hình nón là r (cm) 0,25 Ta có: 3,14.r 2 50,24 r2 16 rcm 4 0,25 Thể tích của hình nón là: 0,25 1 V .3,14.42 .6 3 V 100,48 cm3 0,25 Bài 3 0,25 5x 1 3 y 2 7 (2,0 1. 2 2 điểm) 2 4xx 8 4 5 yy 4 4 13 5x 1 3 y 2 7 4x 1 5 y 2 13 Đặt x 1 a , y 2 b a , b 0 . Ta có: 0,25 5a 3 b 7 a 2( TM ) 4a 5 b 13 b 1( TM ) x 3 0,25 x 1 Suy ra: y 1 y 3 Vậy các cặp (x,y) thỏa mãn là: 3; 1;3; 3; 1; 1; 1; 3 0,25
4. 2. a) 0,25 2 2 m1 4 m 2 mm2 2 9 m 1 8 2 2 Vì m 1  0 mm 1  8 0 m 0,25 Hay 0 m Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m b) x2 m 1 xm 2 0 0,25 x2 mx x m 2 0 xx2 2 mx 1 2 mx x 1 x 1 2 xZx Z x 1 2 Z Dox Z x 1 (x 1) Ư(2) Ta có bảng: 0,25 x-1 1 2 -1 -2 x 2 3 0 -1 m 2 0 2 0 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy với m=0 và m=2 thỏa mãn yêu cầu đề bài Bài 4 (3 điểm) a) Tứ giác ABDE có AEB 900 (có giải thích) 0,5 đ
5. 0 BDA 90 Suy ra tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn Tương tự chứng minh ACFD nội tiếp 0,5 đ b) Tứ giác ACFD nội tiếp suy ra DFA ACD 0.25đ mà ACD AKB cùng chắn cung AB. 0.25đ Suy ra DFA AKB mà hai góc này ở vị trí đồng vị. 0.5đ Vậy DF // BK. c) Gọi M là trung điểm BC; N là giao điểm của AK và BC. Vì M là trung điểm BC suy ra OM BC. Do đó tứ giác OMFC nội tiếp. Suy ra MFN OCN . Ta c/m được MFN∽ OCN (g.g) 0,25đ FN MF MN . CN OC ON FN DN DF Lại có DNF∽ ANC (g.g) . CN AN AC 0,25đ Do đó hai cặp tam giác trên đồng dạng theo cùng tỷ lệ. Suy ra DMF∽ AOC MD MF. Tứ giác MOEB nội tiếp nên OBC MEN mà OBC OCB (tam 0,25đ giác OBC cân tại O). Suy ra OCB MEN Mà OCB MFN (tứ giác OMFC nội tiếp) MEN MFN. Do đó ME MF. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là 0,25đ điểm M là trung điểm của cạnh BC cố định. Bài 5 1 1 1 1 16 0,25 Chứng minh với mọi a,b,c,d dương (0,5 a b c d a b c d điểm) Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 0,25 1 1 2abc 3 3 ab ac bc bc 1 1 1 1 1 16 a b a c b c c a 1 1 Tương tự với và 3a 2 b 3 c 3a 3 b 2 c Suy ra: 1 1 1 2abcabcabc 3 3 3 2 3 3 3 2
6. 1 1 1 1 2020 .4 505 16 a b b c c a 4 3 Dấu “=” xảy ra khi a b c 4040