Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9

1. TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN 9
2. DẠNG I: RÚT GỌN BIỂU THỨC Cõu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 1 x 3 x P = x x 1 x 1 x x 1 a. Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P. b. Tỡm giỏ trị của x khi P = 1. 2 5 x 1 x 1 Cõu 2: (4,0 điểm). Cho biểu thức: A 1 ( ) : 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1 a) Rỳt gọn A; b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A đạt giỏ trị nguyờn; c) Tớnh giỏ trị của A với x 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 2 )(3 2 1 2 2 ) . Bài 3: (4,0 điểm) x2 x 2x x 2 x 1 Cho biểu thức: P . x x 1 x x 1 a. Rỳt gọn P. b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P. 2 x c. Xột biểu thức: Q , chứng tỏ 0 < Q < 2. P 2 x 9 2 x 1 x 3 Bài 4: (4,0 điểm) Cho A (x 0, x 4, x 9) x 5 x 6 x 3 2 x a) Rỳt gọn biểu thức A. 1 b) Tỡm giỏ trị của x để A = . 2 2 5 x 1 x 1 Cõu 5: (4,0 điểm). Cho biểu thức: A 1 ( ) : 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1 a) Rỳt gọn A; b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A đạt giỏ trị nguyờn; c) Tớnh giỏ trị của A với x 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 2 )(3 2 1 2 2 ) . Bài 6: (4,0 điểm). 2x x 1 2x x x x x x Cho biểu thức A 1 ( ). . 1 x 1 x x 2 x 1 6 6 a) Tỡm cỏc giỏ trị của x để A . 5 2 1 b) Chứng minh rằng A với mọi x thoả món x 0, x 1, x . 3 4
3. Bài 7: (4,0 điểm).Cho biểu thức : x 8 x 8 x 2 x x 3 1 P : x 2 x 2 x x x 2 x x a) Tỡm x để P cú nghĩa và chứng minh rằng P 1 . b) Tỡm x thoả món : x 1 .P 1 Bài 8: (4,0 điểm).Cho biểu thức: x 3 x 2 9 x 3 x 9 P : 1 2 x 3 x x x 6 x 9 a) Rỳt gọn biểu thức P. b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P nguyờn. Bài 9: (4,0 điểm). 6x 4 3x 1 3 3x3 Cho biểu thức: A 3x 3 3 3x 8 3x 2 3x 4 1 3x 1. Rỳt gọn biểu thức A . 2. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn. Bài 10: (4,0 điểm). 2 a 1 2 a Cho biểu thức: A = 1 : a 1 1 a a a a a 1 a.Rỳt gọn biểu thức A. b.Tớnh giỏ trị biểu thức A khi a 2011 2 2010 . 6x 4 3x 1 3 3x3 Bài 11: (4 điểm) Cho biểu thức: A 3x 3 3 3x 8 3x 2 3x 4 1 3x a) Rỳt gọn biểu thức A . b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A nhận giỏ trị nguyờn. Bài 12: (4 điểm)Cho biểu thức: x 1 xy x xy x x 1 1 : 1 A = xy 1 1 xy xy 1 xy 1 a. Rỳt gọn biểu thức. 1 1 b. Cho 6 Tỡm Max A. x y Bài 13. Cho biểu thức : x 1 2 x A 1 : . x 1 x 1 x x x x 1 a.Rỳt gọn A. b.Tớnh A biết x 4 2 3. c.Tỡm x để A > 1.
4. 3m 9m 3 m 2 1 Bài 14. Cho biểu thức : P 1. m m 2 m 1 m 1 a.Rỳt gọn P. b.Tỡm m để P 2. c.Tỡm m N để P N. 1 3 2 Bài15. Cho biểu thức : P = x 1 x x 1 x x 1 a.Rỳt gọn P b.Chứng minh 0 P 1. 2 x 2 x 1 x 1 Bài 16. Cho biểu thức: M = x 2 x 1 2 a.Tỡm điều kiện của x để M cú nghĩa. b.Rỳt gọn M. 1 c.Chứng minh M 4 2 x 4x2 2 x x2 3x Bài 17. Cho biểu thức : D = : 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 a) Rỳt gọn biểu thức D. b) Tớnh giỏ trị của D khi x 5 = 2. a 1 a 1 1 Bài 18. Cho biểu thức : A = 4 a a . a 1 a 1 a a.Rỳt gọn A. b.Tớnh A với : a = 4 15 10 6 4 15 2 a 9 a 3 2 a 1 Bài 19. Cho : A = . a 5 a 6 a 2 3 a a.Rỳt gọn A. b.Tỡm a để A < 1. b.Tỡm a để A Z. a a 7 1 a 2 a 2 2 a Bài 20. Cho : A = : . a 4 a 2 a 2 a 2 a 2 a.Rỳt gọn A.
5. 1 b.So sỏnh : A với . A x 2 x 1 x Bài 21. Cho : A = . . xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x Tớnh A biết : 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0 1 1 2 1 1 x3 y x x y y3 Bài 22. Cho : A = . : . 3 3 x y x y x y xy x y a.Rỳt gọn A. b.Cho xy = 16. Tỡm minA. a b a b 23: Cho biểu thức : N = ab b ab a ab a, Rỳt gọn biểu thức N. b, Tớnh N khi a = 4 2 3 , b = 4 2 3 a a 1 c, CMR nếu Thỡ N cú giỏ trị khụng đổi. b b 5 a a 2 a 2 a 3 24: Cho biểu thức : M = : 2 2 2 2 a b b a a b a b 2ab a, Rỳt gọn biểu thức M. b, Tớnh M khi a = 1 2 và b = 1 2 a 1 c, Tỡm a, b trong trường hợp thỡ M = 1. b 2 1 1 x 3 x 25: Cho biểu thức : H = x 1 x x 1 x x 1 a, Rỳt gọn biểu thức H. b, Tớnh H khi x = 53 . 9 2 7 c, Tỡm x khi H = 16.
6. HƯỚNG DẪN Điều kiện để P xỏc định và rỳt gọn x 0 x 0 0,5 x 1 0 x 1 x > 1 x 1 x 1 0 0.5 x 1 x x x x P = x x 1 a x 1 x x 1 0.5 x x 1 0.5 = x x 1 x 1 x x 1 1 = 2 x 1 x Với x > 1, P = 1 2 x 1 x = 1 0.5 ( x - 1 ) - 2 x 1 = 0 0.5 Đặt x 1 = t ( t 0 ), ta cú : t2 - 2t = 0 t( t - 2 ) = 0, b tớnh được t1 = 0 , t2 = 2. 0.5 * Với t = x 1 = 0 x = 1 (bị loại vỡ x > 1) 0.5 * Với t = x 1 = 2 x - 1 = 4 x = 5. Cõu 2 4,0 đ 1 a. ĐK: x 0; x ; x 1 0,5 đ (2,0đ) 4 2 5 x 1 x 1 A = 1 - : 2 0,5 đ 2 x 1 2 x 1 (2 x 1) 2 x 1 2 x 1 4 x 2 5 x 2 x 1 (2 x 1)2 A = 1 - . 0,5 đ (2 x 1)(2 x 1) x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 A = 1 - . 1 2 x 1 x 1 2 x 1 1 2 x 0,5 đ
7. 2 b. A Z Z (1,0đ) 1 2 x 0,25 2 đ Do Z nờn 1 2 x là số hữu tỉ. 1 2 x 0,25 Suy ra x là số chớnh phương, do đú 1 2 x Z =>1 2 x Ư(2) đ Do x 0; x 1; x Z và 1 2 x Ư(2) => x = 0 Vậy x = 0 thỡ A cú giỏ trị nguyờn. 0,5 đ c. Với x = 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 2 )(3 2 1 2 2 ) (1,0đ) x = - 7 3 49(5 4 2)(5 8 2) 3 75 (39 20 2) 0,5 đ 6 5 2 x 7 .(39 20 5) . Vậy A 0,5 đ 1 2 6 75.(39 20 5) a.(2,0đ) Đk : x 0; x 1. 0,25 x x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 P 0,5 x x 1 x x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 0,5 x x 1 0,5 Vậy P x x 1, với x 0; x 1. 0,25 2 1 3 3 0,5 b. (1,0đ) P x x 1 x 2 4 4 1 0,25 3 dấu bằng xảy ra x ( thỏa món) 4 3 1 0,25 Vậy GTNN của P là khi x . 4 4 2 x c. (1,0đ).Với x 0; x 1 thỡ Q = > 0. (1) x x 1 0,25 2 2 x 2 x 1 Xột 2 0 0,25 x x 1 x x 1 Dấu bằng khụng xảy ra vỡ điều kiện x 1 . 0,25 Nờn Q < 2.(2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2. 0,25 2 x 9 2 x 1 x 3 a(2,0đ) A ( x 3)( x 2) x 3 x 2 0,5 4 0,5 0,5
8. 2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 2) 0,5 2 x 9 2x 4 x x 2 x 9 x x 2 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 2)( x 1) x 1 ( x 3)( x 2) x 3 x 1 Vậy A với (x 0, x 4, x 9) . x 3 b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta cú: 1 x 1 1 A 2 x 2 x 3 2 2 0,5 x 3 1 3 x 1 x (t / m) 9 1,0 1 1 Vậy A = x = . 2 9 0,5 Cõu 5 4,0 đ 1 a. ĐK: x 0; x ; x 1 0,5 đ (2,0đ) 4 2 5 x 1 x 1 A = 1 - : 2 0,5 đ 2 x 1 2 x 1 (2 x 1) 2 x 1 2 x 1 4 x 2 5 x 2 x 1 (2 x 1)2 A = 1 - . 0,5 đ (2 x 1)(2 x 1) x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 A = 1 - . 1 2 x 1 x 1 2 x 1 1 2 x 0,5 đ 2 b. A Z Z (1,0đ) 1 2 x 0,25 2 đ Do Z nờn 1 2 x là số hữu tỉ. 1 2 x 0,25 Suy ra x là số chớnh phương, do đú 1 2 x Z =>1 2 x Ư(2) đ Do x 0; x 1; x Z và 1 2 x Ư(2) => x = 0 Vậy x = 0 thỡ A cú giỏ trị nguyờn. 0,5 đ c. Với x = 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 2 )(3 2 1 2 2 ) (1,0đ) x = - 7 3 49(5 4 2)(5 8 2) 3 75 (39 20 2) 0,5 đ 6 5 2 x 7 .(39 20 5) . Vậy A 0,5 đ 1 2 6 75.(39 20 5)
9. Cõu 6.a) 2x x 1 2x x x x x x (2 x 1)( x 1) x(2 x 1)( x 1) x( x 1) A 1 ( ). 1 . 1 x 1 x x 2 x 1 (1 x) 1 x (1 x)(x x 1) 2 x 1 x( x 1) x x 1 1 1 . x 1 x x 1 x x 1 x x 1 6 6 x 1 6 6 Ta cú A x 6. x 1 0 . Từ đú giải được x 2 3; x 2 3 5 x x 1 5 2 x 1 2 b)Ta cú: A x 2 x 1 0 ( x 1)2 0 3 x x 1 3 2 Do x 1nờn x 1 0 ( x 1)2 0 . Vậy A 3 ( x) 2 (8 x 8) ( x 2) 2 (x x 3) ( x 2) Cõu 7. a) Điều kiện x>0 Ta cú : P : x.( x 2) x.( x 2) 4 x 4 4 x 4 ( x 1) 2 P= P-1= 1 0 Vậy P 1 x 2 x 5 x 2 x 5 ( x 1) 2 4 2 b) ( x 1).P 1 4 x 1 x 2 x 5 3x + 6 x -1 = 0 3 2 3 x (loại) 3 7 4 3 x (thoó món điều kiện x>0) . 3 2 3 3 x (thỏa 3 nmónmón x 0 x 0 Cõu 8.a) Điều kiện để P cú) nghĩa: . Ta cú: x 2 x 4 x 9 x 9 (x 9 ) (4 x ) 9 x (2 x )( x 3) ( x 2 )( x 3) P x ( x 3) ( x 3)( x 3) (x 9) (4 x) (9 x) x 3 4 x 2 x P . P . (2 x )( x 3) x (2 x ) x x 2 x 2 2 b).Theo cõu a ta cú: P 1 . Do đú để P Z thỡ ta cần Z x x x x 1 x 2 (loại) x = 1.Vậy với x = 1 thỡ P cú giỏ trị nguyờn. 2 Bài 9: . a)Ta cú: 3x 2 3x 4 3x 1 3 0;1 3x 0,x 0 , nờn điều kiện để A cú 3 4 nghĩa là 3x 8 3x 2 3x 2 3x 4 0, x 0 3x 2 0 x 3
10. 3 6x 4 3x 2 3x 6 x 4 3x 1 3x A 3x . A 3x 3x 1 3x 3 3x 23 3x 2 3x 4 1 3x 3x 2 3x 2 3x 4 2 3x 4 2 3x 3 x 1 4 A 3x 2 3x 1 . A ( 0 x ) 3x 2 3x 2 3x 4 3 x 2 3 2 2 3x 1 3x 2 2 3x 2 1 1 A 3x 3x 2 3x 2 3x 2 b).Với x là số nguyờn khụng õm, để A là số nguyờn thỡ 3x 3 3x 9 3x 2 1 x 3 (vỡ x Z và x 0 ). Khi đú: A 4 3x 1 3x 1 2 a 1 2 a Bài 10: 1. Điều kiện: a 0. A = 1 : a 1 1 a a a a a 1 a 2 a 1 1 2 a ( a 1) 2 a 1 2 a : : a 1 1 a (a 1)(1 a) a 1 (1 a)(a 1) ( a 1) 2 (1 a)(a 1) 1 a (a 1)( a 1) 2 2 Bài11.a) Ta cú: 3x 2 3x 4 3x 1 3 0;1 3x 0,x 0 , nờn điều kiện để A cú 3 4 nghĩa là 3x 8 3x 2 3x 2 3x 4 0, x 0 3x 2 0 x 3 3 6 x 4 3 x 1 3 x A 3 x . 3 3 x 2 3 3 x 2 3 x 4 1 3 x 6 x 4 3 x 2 3 x A 3 x 3 x 1 3 x 3 x 2 3 x 2 3 x 4 2 3x 4 2 3x 3x 1 4 A 3x 2 3x 1 A (0 x ) 3x 2 3x 2 3x 4 3x 2 3 2 2 3 x 1 3 x 2 2 3 x 2 1 1 b)A 3 x 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3x 3 3x 9 Với x 0 , để A là số nguyờn thỡ 3x 2 1 x 3 (vỡx Z và x 0 ).Khi đú: A 4 3x 1 3x 1 Bài 12: . a) Đk : x 0; y 0; x.y 1. Quy đồng rỳt gọn ta được: A = 1 x.y 1 1 1 1 1 1 1 b) Max A =6 9 A . 9 3 x y x y x y x y 9 Hướng dẫn *****@*****
11. Bài 13.a. - Cần chỉ rừ ĐKXĐ của A là : x 0; x 1. - Rỳt gọn A từng phần ta được kết quả : x x 1 A . x 1 2 b.Biến đổi : x 4 2 3 3 1 . - Thay vào và rỳt gọn A ta cú : A 2 3 3. x 2 c.Xột hiệu : A 1 . x 1 Để A > 1 tức : A - 1 > 0 mà : x 0 buộc : x 1 0 x 1. Bài 14.a. ĐK : m 0;m 1. m 1 - Biến đổi rỳt gọn : P . m 1 b. P 2.Ta cú : m 9 m 1 2 m 1 1 m 9 2 c. Viết P dưới dạng : P 1 . m 1 Suy ra : m 1 là ước của 2. Từ đú tỡm ra m = 4 hoặc 9. Bài 15. Điều kiện x 0. Rỳt gọn P = x x x 1 b.Chứng tỏ : P 0 và 1-P 0 Bài 16. a.Biểu thức cú nghĩa khi và chỉ khi: x 0 và x 1 b.Rỳt gọn : M = x x 2 1 1 1 c.Ta cú : M = x x = x 4 2 4 Bài 17. a.Học sinh cú thể rỳt gọn từng phần hoặc cả bài cựng lỳc. - Điều kiện : x 2; x 0; x 3.
12. - Rỳt gọn biểu thức bị chia ta cú : 2 x 4x2 2 x (2 x)2 4x2 (2 x)2 4x(2 x) 4x = . 2 x x2 4 2 x 4 x2 (2 x)(2 x) 2 x Vậy : 4x x2 3x 4x.x2 (2 x) 4x2 D = : . 2 x 2x2 x3 (2 x).x.(x 3) x 3 x 5 2 x 7 b) x 5 = 2 . x 5 2 x 3 • Với x = 7 tớnh được D = 49. • Với x = 3 thỡ D khụng xỏc định. Bài 18. a.Rỳt gọn ta dược kết quả : A = 4a. b.Biến đổi a như sau : 2 a 2 5 3 4 15 4 15 2 5 3 4 15 2 2 5 3 4 15 2 4 15 4 15 2. Vậy : A = 8. a 1 Bài 19. a.Rỳt gọn : A = . a 3 4 b.Xột hiệu : A - 1 = . a 3 Để A < 1 buộc A - 1 < 0 a 3 0 0 a 9,a 2. 4 c.Ta cú : A = 1 + a 3 là ước của 4. a 3 Cỏc ước của 4 là : 1; 2; 4. Xột cỏc trường hợp ta cú cỏc giỏ trị sau của a thoó món : 16 ; 4 ; 25 ; 1 ; 49. Bài 20. a.Rỳt gọn A ta cú : A = a 9 . 6 a 2 1 a 9 1 b.Xột hiệu : A 0 A . A a a a 9 A Bài 21. - Trước tiờn cần rỳt gọn A trước. -Ta cú : 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = (x - y)2 + (x - 2)2 = 0
13. x y 0 2 x y 2 A 1. x 2 0 2 x y Bài 22. a.Rỳt gọn A = . xy 16 x 4 b. xy 16 x A . y 4 x t 2 4 Đặt : x = t 0 ta cú : A = t 2 4At 4 0. (1) 4t Phương trỡnh (1) phải cú nghiệm ' 4A2 4 0 A2 1 min A 1 Khi đú t = 2 tức là x = 4 ; y = 4. a b a b Bài 23. a, Rỳt gọn biểu thức N. N = = ab b ab a ab a.( ab a) b( ab b) a b ( ab b)( ab a) ab (a b) ab b 2 a 2 a b (a b) ab (b a)(b a) a b = = ab b ab a ab ab ab ab(b a) ab (a b)( ab b a) a b (a b)( ab b a) (b 2 a 2 ) = = ab(b a) ab ab(b a) (a b) ab b 2 a 2 b 2 a 2 (a b) ab a b = = ab(b a) ab(b a) b a b, Tớnh N : Ta cú a = 4 2 3 = ( 3 1) 2 3 1, b = 4 2 3 = ( 3 1) 2 3 1 a b 3 1 3 1 2 3 N = = 3 b a 3 1 3 1 2 a a 1 a 1 a 1 c, ỏp dụng dóy tỷ số bằng nhau ta cú: = b 5a Thay b 5a vào N = b b 5 b 5 b 5 a b a b a 5a 6a 3 3 a a 1 ta được N = = .Vậy N khụng đổi là N = khi b a b a 5a a 4a 2 2 b b 5 Bài 24. a, Rỳt gọn biểu thức M. Điều kiện: a 0;a b a a 2 a 2 a 3 a.(b a) a 2 a 2 (a b) a 3 : : M = 2 2 2 2 = 2 2 2 a b b a a b a b 2ab b a (a b) ab (a b) 2 a b = . = (b a)(b a) a 2b a.(b a) b, Tớnh M khi a = 1 2 và b = 1 2 a b 1 2 1 2 2 1 2 M = = 1 2 a.(b a) (1 2).(1 2 2 1) 2.(1 2) 2 1 a 1 c, Tỡm a, b trong trường hợp thỡ M = 1. b 2
14. a 1 (1) Ta giải hệ phương trỡnh sau: b 2 a b (2) 1 a.(b a) a 2a Từ phương trỡnh (1) rỳt ra b = 2a thay vào phương trỡnh (2) của hệ ta được: =1 a.(2a a) 3a 1 a 2 3a a(a 3) 0 a 3 (TMĐK)và a= 0 (Loại) a 2 a=3 b = 6 . Vậy a=3 , b=6 thỡ M = 1 Bài 25. a, Rỳt gọn biểu thức H. Điều kiện: x >1 1 1 x 3 x H = x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x( x 1) 2 x 1 = x x 2 x 1 ( x 1 x).( x 1 x) x 1 x 1 x 53 53.(9 2 7) 53.(9 2 7) b, Tớnh H; ta cú: x = = 9 2 7 9 2 7 92 (2 7) 2 53 H = x - 2 x 1 = 9+2 7 2 9 2 7 1 9 2 7 2 (1 7) 2 7 c, Tỡm x khi H = 16. H = 16 x - 2 x 1 = 16 x - 2 x 1 - 16 = 0 (x - 1) - 2 x 1 - 15 = 0 Đặt: x 1 = a ; a 0 a2 -2a - 15 = 0 2 a = 1+15=16 = 4 a1/2 = 1 4 a1 = 5 và a2= -3 ( loại) a1 = 5 x 1 = 5 x-1 = 25 x = 26 DẠNG II : ĐỒ THỊ HÀM SỐ 5 Đề bài 1: Cho hàm số bậc nhất : y = ( 2m – 5 )x + 3 với m cú đồ thị là đường thẳng 2 d .Tỡm giỏ trị của m để a. Gúc tạo bởi (d) và và trục Ox là gúc nhọn, gúc tự ( hoặc hàm số đồng biến, nghịch biến) b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) c. (d) song song với đường thẳng y = 3x – 4
15. d. (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 e. (d) luụn cắt đường thẳng 2x – 4y – 3 = 0 f. (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm cú hoành độ là -2 g. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bờn trỏi trục tung ( cú hoành độ õm) h. (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm cú hoành độ õm (hoặc ở bờn trỏi trục tung) i. (d) cắt đường thẳng y = 5x – 3 tại điểm cú tung độ dương ( hoặc ở trờn trục hoành) j. Chứng tỏ (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung Giải :Hàm số cú a = 2m – 5 ; b = 3 a. Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn, gúc tự Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn khi đường thẳng d cú hệ số a > 0 5 2m – 5 >0 m > ( thỏa món) 2 Gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc tự khi đường thẳng d cú hệ số a < 0 5 2m – 5 <0 m < ( thỏa món ) 2 5 Vậy gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc nhọn khi m > 2 gúc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là gúc tự khi m < 5 2 b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trỡnh đường thẳng d ta cú 3 -1 = 2. ( 2m - 5) + 3 4m – 10 + 3 = -1 m = ( thỏa món) 2 Vậy với m = 3 thỡ (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) 2 Chỳ ý : Phải viết là “Thay x = 2 ; y = -1 vào phương trỡnh đường thẳng d ”, khụng được viết là “Thay x = 2 ; y = -1 vào đường thẳng d ” c. (d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 (d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 2m 5 3 m 4 m 4 ( thỏa món) 3 4 3 4 Vậy m = 4 là giỏ trị cần tỡm d. (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 3 1 Ta cú 3x + 2y = 1 y x 2 2 3 1 (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 (d) song song với đường thẳng y x 2 2 3 7 2m 5 m 7 7 2 4 m m 1 1 ( thỏa món) . Vậy là giỏ trị cần tỡm 3 3 4 4 2 2 e. (d) luụn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0 1 3 Ta cú 2x - 4y - 3 = 0 y x 2 4
16. 1 3 (d) luụn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0 (d) luụn cắt đường thẳng y x 2 4 1 11 5 11 2m 5 m . Kết hợp với điều kiờn ta cú m và m là giỏ trị cần tỡm. 2 4 2 4 f. (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm cú hoành độ là -2 Thay x = -2 vào phương trỡnh đường thẳng 2x + y = -3 ta được 2. (-2) + y = -3 y = 1  (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vào phương trỡnh đường thẳng d ta cú 1 = ( 2m – 5 ). (-2) + 3 -4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( thỏa món). Vậy m = 3 là giỏ trị cần tỡm. g. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bờn trỏi trục tung ( cú hoành độ õm) 3 Thay y = 0 vào phương trỡnh đường thẳng d ta cú 0 = (2m - 5)x + 3 x = 2m 5 3 5 (d) cắt trục hoành tại điểm ở bờn trỏi trục tung 0 2m 5 0 m ( thỏa 2m 5 2 món). 5 Vậy m là giỏ trị cần tỡm. 2 h. (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm cú hoành độ õm (hoặc ở bờn trỏi trục tung) (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 2m – 5 3 m 4 Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 3x + 1 là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau : 2 ( 2m – 5 )x + 3 = 3x + 1 ( 2m - 8)x = -2 x ( vỡ m 4 ) 2m 8 (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm cú hoành độ õm 2 5 0 2m 8 0 m 4 ( thỏa món cỏc điều kiện m và m 4 ) 2m 8 2 Vậy m > 4 là giỏ trị cần tỡm. i. (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm cú tung độ dương ( hoặc ở trờn trục hoành) * (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 2m – 5 5 m 5 * Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 5x - 3 là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau : 6 3 ( 2m – 5 )x + 3 = 5x - 3 ( 2m - 10)x = -6 x ( vỡ m 5 ) 2m 10 m 5 3 Thay x vào phương trỡnh đường thẳng y = 5x - 3 ta cú y = m 5 3 15 3m 15 3m 5. 3 m 5 m 5 m 5 (d) cắt đường thẳng y = 5x - 3 tại điểm cú tung độ dương 3m 0 3m m 5 0 m m 5 0 0 m 5 m 5 5 Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú 0 < m < 5 và m là giỏ trị cần tỡm 2 j. Chứng tỏ (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung
17. Giả sử (d) luụn đi qua điểm cố định cú tọa độ ( x0 ; y0). Khi đú : y0 = ( 2m – 5 )x0 + 3 với mọi m 2x0m – 5x0 – y0 + 3 = 0 với mọi m 2x 0 x 0 0 0 5x y 3 0 y 3 0 0 0 Vậy (d ) luụn đi qua một điểm cố định trờn trục tung cú tọa độ là ( 0 ; 3 ) Chỳ ý đề bài 1: 5 * Ta luụn so sỏnh m tỡm được với điều kiện của đề bài là m ( điều này rất rất hay 2 quờn) * Nếu đề bài chỉ “Cho phương trỡnh bậc nhất” mà khụng cho điều kiện ta vẫn phải đặt điều kiện để phương trỡnh là phương trỡnh bậc nhất ( tức là phải cú a 0 và lấy điều kiện đú để so sỏnh trước khi kết luận) Đề bài 2: Cho đường thẳng d cú phương trỡnh y = ( m + 1)x – 3n + 6 . Tỡm m và n để : a. (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm ( 2 ; -1) b, (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là -1 c, (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là 3 và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 1 2 d, (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm cú hoành độ là 1 e, (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3 f, (d) đi qua ( 2 ; -5 ) và cú tung độ gốc là -3 g, (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 ) Giải : a. (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm ( 2 ; -1) m 3 • (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 m 1 2 1 3n 6 5 n 3 • (d) đi qua điểm ( 2 ; -1) -1 = ( m + 1).2 – 3n +6 2m - 3n = -9 Thay m = -3 vào ta cú 2. (-3) – 3n = -9 n = 1 ( thỏa món ) Vậy m = -3 , n = 1 b. (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là -1 m 2 • (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 m 1 3 5 3n 6 1 n 3 • (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là -1 0 = ( m + 1 ). (-1) – 3n + 6 m + 3n = 5 Thay m = 2 vào ta được 2 + 3n = 5 n = 1 ( thỏa món ) .Vậy m = 2 , n = 1 c. (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là 3 và cắt trục tung tại điểm cú 2 tung độ là 1
18. 3 3 * (d) cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ là 0 = ( m + 1 ). – 3n + 6 m - 2n = -5 2 2 5 • (d) cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 1 1 = -3n + 6 n = . 3 5 5 5 5 Thay vào phương trỡnh m - 2n = -5 ta cú m - 2. = -5 m = - .Vậy n = , m = - 3 3 3 3 d. (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm cú hoành độ là 1 • (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 m 1 2 m 1 3n 6 3 n 1 • (d) cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm cú hoành độ là 1 m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2 . Thay m = 1 vào ta cú 1 – 3n = - 2 n = 1( khụng thỏa món ) Vậy khụng cú giỏ trị nào của m và n thỏa món điều kiện đề bài. Chỳ ý : Ta thường quờn so sỏnh với điều kiện n 1 nờn dẫn đến kết luận sai e. (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) và cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3 • (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) 3 m 1 . 3 3n 6 m n 2 • (d) cắt trục tung tại điểm cú tung độ là 3 3 3n 6 n 1 Thay vào phương trỡnh m + n = 2 ta được m + 1 = 2 m = 1 Vậy m = 1 , n = 1 f. (d) đi qua ( 2 ; -5 ) và cú tung độ gốc là -3 • (d) đi qua diểm ( 2 ; -5 ) 5 m 1 .2 3n 6 2m 3n 13 • (d) cú tung độ gốc là -3 3 3n 6 n 3 Thay vào phương trỡnh 2m - 3n = -13 ta được 2m – 3.3 = -13 m = -2 Vậy m = -2 , n = 3 g. (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 ) (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) và ( -3 ; 1 ) m 0 3 m 1 . 1 3n 6 m 3n 2 2m 0 2 2 Vậy m = 0 , m = 1 m 1 . 3 3n 6 3m 3n 2 3m 3n 2 n 3 3 Đề bài 3: Cho hai hàm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 và y = 2mx - 3m - 4 cú đồ thị tương ứng là (d1) và (d2). Tỡm m để : a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trựng nhau b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn phải trục tung e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn dưới trục hoành f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 )
19. g. Chứng tỏ khi m thay đổi thỡ đường thẳng (d 1) luụn đi qua một điểm cố định , đường thẳng (d2) luụn đi qua một điểm cố định. Giải :Để cỏc hàm số đó cho là cỏc hàm số bậc nhất ta phải cú : m 3 0 m 3 2m 0 m 0 Chỳ ý : Điều kiện trờn luụn được dựng so sỏnh trước khi đưa ra một kết luận về m a. (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trựng nhau (d ) và (d ) song song với nhau m 3 2m m 3 m 3 1 2 2m 1 3m 4 m 1 (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3 (d ) và (d ) trựng nhau m 3 2m m 3 ( vụ nghiệm ) 1 2 2m 1 3m 4 m 1 Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú: Với m = 3 thỡ (d1) và (d2) song song với nhau m 3 , m 0 , m 3 thỡ (d1) và (d2) cắt nhau Khụng cú giỏ trị nào của m để (d1) và (d2) trựng nhau b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung • (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3 • (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung khi 2m + 1 = - 3m - 4 m 1 Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú với m = -1 thỡ (d 1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trờn trục tung. Chỳ ý : Giao điểm của ( d1) và ( d2) với trục tung lần lượt là ( 0 ; 2m + 1) và ( 0 ; -3m -4 ) nờn chỳng cắt nhau tại 1 điểm trờn trục tung khi hai điểm đú trựng nhau, tức là 2m+1 = -3m – 4. Do đú lời giải trờn nhanh mà khụng phải làm tắt. c. (d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành • (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3 • Thay y = 0 vào phương trỡnh đường thẳng (d1) và (d2) ta cú 2m 1 x m 3 x 2m 1 0 m 3 ( Vỡ m 3 , m 0 ) 2mx 3m 4 0 3m 4 x 2m 2m 1 3m 4 Giao điểm của (d1) và (d2) với trục hoành lần lượt là ;0 và ;0 m 3 2m • (d1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành khi 2m 1 3m 4 2m 2m 1 m 3 3m 4 4m2 2m 3m2 13m 12 m2 11m 12 0 m 3 2m Phương trỡnh trờn là phương trỡnh bậc hai cú a - b + c = 0 nờn cú hai nghiệm m1 = -1 ; m2 = 12 Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú m = -1 hoặc m = 12 thỡ d 1) cắt (d2) tại một điểm trờn trục hoành Chỳ ý : Phải kết hợp với cả ba điều kiện là m 3 , m 0 , m 3 rồi mới kết luận. d. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn phải trục tung • (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3 • Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau :
20. 5m 5 m 3 x 2m 1 2mx 3m 4 m 3 x 5m 5 x ( vỡ m 3 ) m 3 • (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn phải trục tung khi hoành độ giao điểm dương 5m 5 0 5m 5 m 3 0 m 1 hoặc m 3 m 3 Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú m 3,m 1 hoặc m 3 e. (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bờn dưới trục hoành • (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3 • Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trỡnh ẩn x sau : 5m 5 m 3 x 2m 1 2mx 3m 4 m 3 x 5m 5 x ( vỡ m 3 ) m 3 5m 5 Thay x vào phương trỡnh đường thẳng ( d1) ta cú m 3 5m 5 5m2 20m 15 2m2 5m 3 7m2 15m 12 y m 3 . 2m 1 m 3 m 3 m 3 * (d1) cắt (d2) tại điểm nằm bờn dưới trục hoành khi tung độ giao điểm õm 7m2 15m 12 0 (*) m 3 2 2 2 2 9 5 2 3 15 Ta có7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0 4 4 2 4 Nờn (*) tương đương với m-3<0 m 3 Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú : m 3,m 3,m 0 là giỏ trị cần tỡm f. (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 ) • (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3 2 m 3 2m 1 • (d ) cắt (d ) tại điểm ( 1 ; -2 ) m 2 m 2 1 2 2 2m 3m 4 m 2 Kết hợp với cỏc điều kiện ta cú m = -2 là giỏ trị cần tỡm. g. Chứng tỏ khi m thay đổi thỡ đường thẳng (d1) luụn đi qua một điểm cố định , đường thẳng (d2) luụn đi qua một điểm cố định. Giả sử khi m thay đổi cỏc đường thẳng (d1) luụn đi qua điểm ( x0 ; y0 ) , tức là : y0 m 3 x0 2m 1 với mọi m x0 2 m 3x0 y0 1 0 với mọi m x 2 0 x 2 0 0 3x y 1 0 y 5 0 0 0 Vậy khi ma thay đổi thỡ cỏc đường thẳng (d1) luụn đi qua điểm ( -2 ; -5 ) cố định 3 Chỳ ý : Với đường thẳng ( d2 ) ta làm tương tự , điểm cố định là ; 4 2 Đề bài Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt cú phương trỡnh y = -2x + 4 và y = 2x - 2 a. Tỡm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trờn. b. Vẽ trờn cựng một hệ trục tọa độ cỏc đường thẳng d1 và d2 c. Gọi B và C lần lượt là giao điểm của d 1 và d2 với trục hoành; D và E lần lượt là giao điểm của d 1 và d2 với trục tung.Tớnh diện tớch cỏc tam giỏc ABC , ADE , ABE.