Tuyển tập 20 đề ôn tập học sinh gỏi Toán Lớp 9 - Hồng Trí Quang

Nội dung text: Tuyển tập 20 đề ôn tập học sinh gỏi Toán Lớp 9 - Hồng Trí Quang

1. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang ĐỀ SỐ 1 Bài 1 Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng: b c c a a b 2 2 2 (abac )( ) ( bcba )( ) ( cacb )( ) abbcca Bài 2 a) Cho A = 111 .111 ( 2m chữ số 1) B = 111 .111 (m + 1 chữ số 1) C = 666 .666 (m chữ số 6) Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương 2 abc n 1 b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho: 2 với n là số nguyên lớn hơn 2 cba n 2 Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình: x( m 2) ( m 3) y m 8 a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1). b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất? Bài 4: (4,0 điểm) 1 1 a) Cho x > 0, y > 0 và x + y 1. Chứng minh bất đẳng thức 4 . x2 xy y 2 xy 2x x 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x 1. 3x 1 Bài 5 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J. a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’)? Giải thích. b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất. Bài 6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c S . ()()()b c a a c b a b c 1
2. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang ĐỀ SỐ 2 Bài 1. Tìm phần dư của phép chia đa thức p(x) cho (x 1)(x3 1) biết p(x) chia cho x 1 thì dư 1, p(x) chia cho x3 1 thì dư x2 x 1. Bài 2. Cho phương trình 2x2 2 mx m 2 2 0 (1) 1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức 5 x3 x 3 . 1 2 2 2. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của m để nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất. Bài 3. (x2 3)( y 2 1) 10 xy 0 a) Giải hệ phương trình x y 3 2 2 0 x 3 y 1 20 b) Giải phương trình 2 2x 2 4x 3 (5x 4) x 2 3 Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB 2 R và C, D là 2 điểm di động trên nửa đường tròn sao cho C thuộc cung AD và góc COD = 600 ( C khác A và D khác B). Gọi M là giao điểm của tia AC và BD, N là giao điểm của dây AD và BC a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn và tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD không đổi . R 3 b) Gọi H và I lần lượt là trung điểm CD và MN . Chứng minh H , I, O thẳng hàngvà DI 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MCD theo R Bài 5. 1 1 1 1) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 6 . x y y z z x 1 1 1 3 Chứng minh rằng: . 3x 3 y 2 z 3 x 2 y 3 z 2 x 3 y 3 z 2 2
3. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang 3m2 2) Cho các số thực m, n, p thoả mãn: n2 np p 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 2 thức S = m + n + p. ĐỀ SỐ 3 1 1 Bài 1. a) Cho x là số thực dương thỏa mãn x2 5. Tính x12 x2 x12 b) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tính: 1 y 2 1 z 2 1 z 2 1 x 2 1 x 2 1 y 2 T = x y z 1 x 2 1 y 2 1 z 2 x 2 Bài 2: a) Giải phương trình: x 4 ( x 1 1) 2 x y z 5 b) Tìm nghiệm nguyên của hệ: xy yz zx 8 Bài 3: 1 1 a) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M x y b) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3 ; b1 ≤ b2 ≤ b3 Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3) a 2005 b 2005 c 2005 3 Áp dụng chứng minh rằng : với 0 a b c thì a 2006 b 2006 c 2006 a b c Câu 4: Cho ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( IDE ; ). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N . a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi. b) Chứng minh hệ thức 4.BM . CN BC 2 c) Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất. Câu 5: Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC? ĐỀ SỐ 4 3
4. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Câu 1. (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a2 b 2 c 2 ab bc ca a22 b 6 c 2011 Tính giá trị biểu thức: P = + + b22 c 6 a 2011 3 6 2) Cho x = ;y = . Chứng minh rằng x + y là một số tự nhiên. 34- 3 2+1 4+ 3 4+ 3 16 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 3 8 x 11x x2 24 1. 4 1 2 2) Giải hệ phương trình : 2x y 3x y 4x 12y 7 2x y 3x y Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A n 2010 n 2011 n 2012 là một số chính phương. Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là điểm thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O), (D không trùng với A, B). 1) Trong trường hợp ACBD là tứ giác ngoại tiếp một đường tròn, chứng minh rằng AC + BD = AD + BC. 2) Trong trường hợp ABC là tam giác đều, chứng minh rằng DA + DB = DC. 3) Trong trường hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất, trên cạnh AC và BC lấy Các điểm M, N tương ứng sao cho AM = BD và BN = AD. Chứng minh rằng khi D thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trung điểm I của đoạn thẳng MN luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là số thực dương, chứng minh rằng: 2ab 3bc 3ca a 2b 3c . 3a 8b 6c 3b 6c a 9c 4a 4b 9 4
5. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Hết ĐỀ SỐ 5 Bài 1. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức: a2 b 2 c 2 c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 a 2 Thì |a | | b | | c | abbccaabbccaabbcca Bài 2. 1) Giải phương trình 3x2 + 4x + 10 = 2 14x2 7 x4 3 4 y 2) Giải hệ phương trình 4 y 3 4 x Bài 3. Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau. Bài 4 1) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d  OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 2) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA ./. Bài 5. A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia ? ĐỀ SỐ 6 5
6. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Bài 1. 1) Cho a, b, c là các số khác nhau thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a4 b 4 c 4 3 a4 ( b 222 c ) b 4 ( c 222 a ) c 4 ( a 222 b ) 4 2) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết f(5) f(3) 2010 . Chứng minh rằng: f(7) f(1) là hợp số. Bài 2. 1) Giải phương trình: ( x + 5 - x + 2)(1 + x2 + 7x + 10) = 3. x 2 y 2 4 2) Giải hpt: x 7 y 7 6 Bài 3. 6 6 6 6 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 32x 16 y 4 z t 2) Cho biểu thức A x 3 y y 3 x với x; y 0; x y 2012 Tìm GTNN của A Bài 4. Cho đường tròn đường kính AB. Trên đoạn thẳng OA lấy điểm H bất kỳ không trùng A và O, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với (O) với M và N là các tiếp điểm (M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CM, CN với AB 1.Chứng minh HC là tia phân giác góc MHN 2.Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại I. CM I là trung điểm PQ 3.Chứng minh PN, QM, CH đồng quy Bài 5. Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 7 x 2 x x 1 1 2x 2 x Bài 1. Cho biểu thức P . Tìm tất cả các giá trị của x sao x x 1 x x x x x 2 x cho giá trị của P là một số nguyên. 6
7. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Bài 2. a) Giải phương trình: 2x 2 2x 1 2x 3 x 2 x 2 1 . 8xy x 2 y 2 16 x y b) Giải hệ phương trình: 5 x 2 12 x y 3x x 2 5 2 Bài 3. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A(-1;1), B(3; 9) nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m ( -1 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a b c 1 . Đẳng thức xảy ra khi nào? (ab a 1)2 (bc b 1) 2 (ca c 1) 2 a b c ĐỀ SỐ 8 Bài 1. Cho a, b, c là các số khác nhau thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 3 2 2 2 a2 b 2 c b 2 c 2 a c 2 a 2 b 2 Bài 2. 3 3 a) Giải phương trình x2 x 2 x 1 x 6 1 y2 x 8 x 2 2 b) Giải hệ phương trình 2 2 16x 8 y 16 5 x 4 xy y 7
8. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Bài 3. a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số A 2 n 3n 4 n là số chính phương. 2 b) Cho a, b dương thỏa mãn ab 2013a 2014b . Chứng minh: a b 2013 2014 Bài 4. Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON R 2 . a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn. b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định. c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Biết các tam giác ABC, ABE, BCD, CDE và DEA có diện tích bằng 2010 . Tính diện tích ngũ giác. ĐỀ SỐ 9 1 1 1 Bài 1. Cho a x ;; b y c xy với các số thực x, y thỏa mãn ≠ 0. Chứng minh rằng x y xy = + + − không phụ thuộc vào x, y. Bài 2. 2 a) Giải phương trình : x x2 9 x 9 22 x 1 8 2 3x 3 b) Giải hệ phương trình y 6 x3 2 y Bài 3. x4 1 y 4 1 1) Cho x, y là các số nguyên khác -1 sao cho là số nguyên. Chứng minh y 1 x 1 rằng x2012 1 chia hết cho y 1 8
9. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang a2 b 2 c 2 2) Cho ba số thực a,, b c đôi một phân biệt. Chứng minh 2 ()()()b c2 c a 2 a b 2 Bài 4. Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. Bài 5. 1 1 a) Chứng minh rằng nếu x y 1 thì x y . x y 1 1 1 b) Cho 1 a , b , c 2. Chứng minh rằng a b c 10. a b c ĐỀ SỐ 10 Bài 1 (3,0 điểm). x3 1. Cho f x . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 3x 3 x2 1 2 2010 2011 A f f f f 2012 2012 2012 2012 x2 5 x 6 3 x 2 6 x 8 2. Rút gọn biểu thức: A 3x 12 ( x 3) x2 6 x 8 Bài 2 (1,5 điểm). 1) Giải phương trình: x2 5 x 8 3 2 x 3 5 x 2 7 x 6 . x3 2 y 2 4 y 3 0 2) Cho x, y thỏa mãn: . Tính Q x2 y 2 2 2 2 x x y 2 y 0 Bài 3 (1,5 điểm). 9
10. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn x y3 x y 6 2 . 2) Cho a, b , c , d là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc bcd cda dab a b c d 2012 Chứng minh rằng: a2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 1 2012 . Bài 4 (3,0 điểm). Cho ba đường tròn OO1 , 2 và O (kí hiệu X chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử OO1 , 2 tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và OO1 , 2 lần lượt tiếp xúc trong với O tại MM1, 2 . Tiếp tuyến của đường tròn O1 tại điểm I cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm AA, ' . Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn O1 tại điểm N1 , đường thẳng AM 2 cắt lại đường tròn O2 tại điểm N 2 . 1. Chứng minh rằng tứ giác MNNM1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng NN1 2 . 2. Kẻ đường kính PQ của đường tròn O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung  AM1 không chứa điểm M 2 ). Chứng minh rằng nếu PM1, QM 2 không song song thì các đường thẳng AI, PM1 và QM 2 đồng quy. Bài 5 (1,0 điểm) Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu. ĐỀ SỐ 11 x x 32 x 3 x 3 Bài 1. Cho biểu thức P x 2 x 3 x 1 3 x 1. Rút gọn P 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x . Bài 2. 10
11. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang 2 2 a) Giải phương trình: x 2 x2 6 x 11 5 x 2 10 x 1 x3 2 y 3 x 4 y b) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn: 2 2 6x 19 xy 15 y 1 c) Tìm số tự nhiên n để A n2012 n 2002 1 là số nguyên tố. Bài 3. (3,0 điểm) 1. Cho các số thực a; b; c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i. a b b c c a abc ii. a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 a 3 b 3 c 3 Chứng minh rằng: abc 0 . 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1 p p2 p 3 p 4 là số hữu tỷ. Bài 4 1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T. a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC đạt giá trị lớn nhất. b) Chứng minh rằng PQ2 QR. ST . BC 2. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 108o . Chứng minh là số vô tỉ. AC Bài 5. a) Cho ba số dương a, b và c thỏa a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 ab bc ca A 14 a b c 2 2 2 a b b c c a 11
12. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang b) Giả sử a1, a 2 , , a 11 là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn a1 a 2 a 11 407 . Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 số a1, a 2 , , a 11 ,4 a 1 ,4 a 2 , ,4 a 11 bằng 2012? ĐỀ SỐ 12 1 1 1 2 1 1 x y Bài 1: Cho biểu thức: A : 3 x y x y 2 xy x y x y xy xy a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị biểu thức A khi x 3 5; y 3 5 (Đề sáng tác) Bài 2: Cho 3 số a, b , c 0 thỏa mãn a b c ; a3 b 3 c 3 3 abc và các biểu thức a b b c c a c a b PQ ; . c a c a b b c c a Chứng minh rằng: PQ. 9. Bài 3: Giải phương trình 4x –1 x2 1 2 x2 1 2x 1 x y x y Bài 4: Giải hệ phương trình sau: x y 18 xy 4 x 3 y 13 Bài 5: Cho 3 số x,, y z thỏa mãn xyz 3 vàx 4 y 4 z 4 3 xyz . Hãy tính giá trị của biểu thức M x2006 y 2006 z 2006. Bài 6: Cho Parabol P có phương trình y x2 và điểm A 3;0 ; Điểm M thuộc P có hoành độ a . a) Xác định a để đoạn thẳng AM có độ dài ngắn nhất . b) Chứng minh rằng khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của P tại điểm M. Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 x 2 x 1 2003y. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A. I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng: 5 điểm AEIDF,,,, cùng thuộc một đường tròn. 12
13. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang b) Chứng minh rằng: AE AC AF AB c) Cho AC b; AB c . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c . Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC ()Q AB và PR//AB()R AC . Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR. ĐỀ SỐ 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (3,0 điểm) Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó. Bài 2. (3,0 điểm) Cho biểu thức: P 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 2 với x  1;1 1 Tính giá trị của biểu thức P với x . 2012 Bài 3. (3,0 điểm) 2 Tìm các số thực x, y thỏa mãn: x2 1 y 2 16 x 2 x 2 2 x y 3 9 8 x 3 y 8 xy Bài 4. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 và hai điểm AB 1;1 , 3;9 nằm trên (P). Gọi M là điểm thay đổi trên P và có hoành độ là m, 1 m 3 . Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất. Bài 5. (3,0 điểm) 13
14. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn OR;. Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác). Các tia AI, BI , CI lần lượt cắt BC, CA , AB tại MNP, , . AI BI CI a) Chứng minh: 2. AM BN CP 1 1 1 4 b) Chứng minh: . AM BN BN CP CP AM 3 R OI 2 Bài 6. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn OR;. Gọi x, y , z lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến các cạnh BC, CA , AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC . Chứng minh rằng: y z x R r. Bài 7. (2,0 điểm) x; y x y 2 2 Cho x; y thỏa mãn 1 . Chứng minh rằng: . 0 x ; y 1 y 1 x 3 2 ĐỀ SỐ 14 PGD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN HỌC ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Ngày thi 10 tháng 01 năm 2013 Bài 1 (2,0 điểm) x 4 x 4 x 4 x 4 Cho biểu thức: A = 8 16 1 x x2 Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình: a. x2 3 x 2 x 3 x 2 x 2 2 x 3 14
15. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang b. 4x 2 x 8 3 x2 7 x 8 Bài 3 (1,5 điểm) 2013 a. Cho f x x3 12 x 31 . Tính f a với a 316 8 5 3 16 8 5 . b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y2 2 xy 3 x 2 0 Bài 4 (1,5 điểm) a b c a2 b 2 c 2 a. Cho a,, b c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc 1 và b2 c 2 a 2 c a b Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a,, b c là bình phương của một số hữu tỉ. b. Cho a,, b c là các số dương thỏa mãn: a b c 3 . a b c 3 Chứng minh rằng . 1 b2 1 c 2 1 a 2 2 Bài 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn OR; và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn OR; cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất. BE3 CE c. Chứng minh các hệ thức sau: CE DF EF CD3 và . BF3 DF d. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp ( K EF; M BE và N BF ) 2 2 sao cho tỉ số giữa cạnh hình vuông với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BEF là . Hãy 2 tính các góc nhọn của tam giác BEF ? Hết ĐỀ SỐ 15 15
16. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THANH HÓA DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Cho a b c 0 và a,, b c đều khác 0. Rút gọn biểu thức: ab bc ca A a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 x3 x 2 5 x 3 6 2) Tính giá trị của biểu thức: P tại x 1 3 2 3 4 . x3 2 x 2 7 x 3 Bài 2 (4,0 điểm) x2 xy y 2 3 1) Giải hệ phương trình: x y xy 5 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2x 5 y 1 2x x2 x y 105 . Bài 3 (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn ( 20142014 1) chia hết cho n3 2012 n . 2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 x 3 y 2 y . Chứng minh x– y ; 2 x 2 y 1 và 3x 3 y 1 đều là các số chính phương. Bài 4 ( 6,0 điểm) Cho đường tròn và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E. a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO b) Chứng minh CM vuông góc với OE. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB. Bài 5 (2,0 điểm) 16
17. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang 2 2 2 x1 x 2 x 2015 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M với x1, x 2 x 2015 là các số dương x1( x 2 x 3 x 2015 ) ĐỀ SỐ 16 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Đề chính thức Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3 điểm). a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó). b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2. Câu 2. (6 điểm). a. Giải phương trình: x2 6 x 1 2 x 1 x 2 2 x 3 4x2 1 y 2 4 x b. Giải hệ phương trình: 2 2 x xy y 1 Câu 3. (3 điểm). a 1 b 1 c 1 Cho a, b , c 0 thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 3 b2 1 c 2 1 a 2 1 Câu 4. (6 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O).Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB. a. Chứng minh HPO HQO 1 1 b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất. EA EB Câu 5. (2 điểm). Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không hai hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung. 17
18. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang ĐỀ SỐ 17 Câu 1 (2,5 điểm). x2 5 x 6 3 x 2 6 x 8 a) Rút gọn biểu thức: A 3x 12 ( x 3) x2 6 x 8 Câu 2 (2,0 điểm). x2 xy 2 y 2 0 a) Giải hệ phương trình: 2 xy 3 y x 3 Câu 3 (2,0 điểm). a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 8x2 23 y 2 16 x 44 y 16 xy 1180 0 . b) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương. Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON R 2 . a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn. b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định. c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để MO + MA nhỏ nhất. Câu 5 (0,5 điểm). Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NGHỆ AN Bảng A Năm học 2008 – 2009 Câu 1 1) Cho A k4 2 k 3 16 k 2 2 k 15, k . Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16 2) Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn tìm được số nguyên c sao cho a2 b 2 c 2 là số chình phương. 18
19. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Câu 2. 1) Giải phương trình: x2 x 2 1 16x 2 1 1 1 1 1 1 2) Câu 3. Tìm GTNN của biểu thức P 3 3 3 a b b c c a 3 Trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b c 2 Câu 4. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng A và D). Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N. 1) Chứng minh rằng: AM. E D 2 OM . E A OM ON 2) Xác định vị trí điểm E để tổng: đạt giá trị nhỏ nhất AM DN Câu 5. Cho tam giác ABC, lấy điểm C’ thuộc cạnh AB; A’ thuộc cạnh BC; B’ thuộc cạnh AC. Biết độ 1 dài các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ không lớn hơn 1. Chứng minh rằng: S ABC 3 ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN Năm học 2011 – 2012 (150 phút) Bài I: (2 điểm) 2012 1) Cho hàm số f( x ) x4 2 x 7 Tính f(a) với a 4 15 5 3 4 15 2) Cho Parabol (P): y = x . Trên Parabol (P) lấy hai điểm A; A sao cho AOA = 90 (O là gốc tọa độ). Hình chiếu vuông góc của A; A trên trục hoành lần lượt là B, B. Chứng minh rằng OB. OB = 1. Bài II: (2 điểm) 1) Cho phương trình x − 3mx − m = 0 có hai nghiệm x; x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: m x + 3mx + 3m A = + x + 3mx + 3m m 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x − 2y − xy − 4x − 7y − 5 = 0 19
20. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang 2 2 2xy x y 1 Bài III (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: x y 2 x y x y 3 2) Giải phương trình: (3x 1) 2 x2 1 5 x 2 x 3 2 Bài V (3 điểm) 1) Cho đường tròn tâm (O) có đường kính CD là đường cao của tam giác ABC vuông tại C. Đường tròn (O) cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại E, F. Gọi M là giao điểm của (O) với BE (M khác E). Hai đường thẳng AC, MF cắt nhau tại K; EF và BK cắt nhau tại P. a) Chứng minh rằng các điểm B, M, F, P cùng nằm trên một đường tròn. b) Tính số đo các góc của tam giác ABC khi ba điểm D, M, P thẳng hàng. 3a 2) Cho tam giác ABC vuông tại C, BAC = 60 và độ dài đường trung tuyến BD . Tính diện tích 4 tam giác ABC theo a. Bài 6 (1 điểm) Trên mặt phẳng cho sáu đường tròn có bán kính bằng nhau và có điểm chung. Chứng minh rằng ít nhất một trong sáu đường tròn này chứa tâm của một đường tròn khác trong chúng. ĐỀ SỐ 20 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2016-2017 Thời gian làm bài 150 phút Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi. A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) 5 3x Câu 1. Biểu thức có nghĩa khi nào? 6 x2 x 5 5 A. 3 x 2 . B. x 2. C. x 3 hoặc x 2. D. 3 x . 3 3 x x 4 x 4 x 45 x 2 Câu 2. Cho biểu thức Q ( x 0; x 25 ). x 2 x 15 x 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. 20
21. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang 2 7 A. . B. . C. 2. D. 3. 3 3 Câu 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y 2 m 3 x 4 m 3 . Gọi h là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) . Tìm giá trị lớn nhất của h. A. 2 3. B. 13. C. 15. D. 5. Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm ABC 2;3; 4;4; 5;1 . Tính diện tích tam giác ABC . A. 30,5. B. 28,5. C. 42. D. 38. 2 1 2 Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d : x y ; 1 3 2 3 1 1 d : y x ; d : 2 m 3 x 3 my 0 . Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy. 2 3 2 3 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Câu 6. Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d) có phương trình y 2 m 2 x 5 m 16 . Tìm giá trị của m để (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. 16 16 A. m . B. 3 m . 5 5 16 16 C. m 4 hoặc m . D. m . 5 5 2 2 Câu 7. Gọi x0; y 0 là nghiệm của phương trình x 9 y 4 x 7 2 y 3 x 7 sao cho y0 đạt giá trị lớn nhất . Tính tổng x0 y 0 . 5 3 A. 4 . B. . C. . D. 5. 2 2 2 Câu 8. Tìm m để phương trình x ( m 4) x m 3 0 có hai nghiệm x1; x 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 26 . A. m 8 hoặc m 2 . B. m 2 . 21
22. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang C. m 8 . D. m 8 hoặc m 2 . Câu 9. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB 2,5 cm ; AD 3,5 cm ; BD 5 cm và DBC DAB . Tính tổng BC+DC. A. 17 (cm) . B. 19 (cm). C. 20 (cm). D. 22 (cm). Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác AD, D BC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . AB AC AD AB AC AD AB AC AD AB AC AD Câu 11. Cho tam giác nhọn ABC có BAC 300 , kẻ hai đường cao BD, CE D AC; E AB . Gọi S ' SS;' lần lượt là diện tích ABC, ADE . Tính tỉ số . S 3 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH  BC , HD  AB, HE  AC H BC,, D AB E AC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? A. AD AB AE AC B. BD BA CE CA C. AD DB AE EC AH 2 . D. BD. BA AH 2 . Câu 13. Cho tam giác nhọn ABC có ABC ACB , kẻ đường cao AH, trung tuyến AM M, H BC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? cotCB - cot cotBC - cot A. tanHAM . B. tanHAM . 2 2 tanCB - tan cosCB - cos C. tanHAM . D. tanHAM . 2 2 22
23. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Câu 14. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB =2R . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Qua M kẻ dây cung CD, qua N kẻ dây cung EF sao cho CD//EF (C, F cùng thuộc nửa đường tròn đường kính AB) và CMO 300 . Tính diện tích tứ giác CDEF theo R. R2 15 R2 13 R2 15 3R2 15 A. . B. . C. . D. . 8 4 4 8 Câu 15. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Điểm M thuộc tia đối của tia AB, qua M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm), kẻ CH vuông góc với AB H AB biết MA a; MC 3 a (a 0) .Tính CH theo a. 12a 9a 8a 14a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 16. Một ngọn hải đăng ở vị trí A cách bờ biển (là đường thẳng) một khoảng AH 3 ( km ) . Một người gác hải đăng muốn từ vị trí A trở về vị trí B trên bờ biển (HB = 24 (km)), bằng cách chèo thuyền với vận tốc 3 (km/h) tới vị trí M trên bờ (M nằm giữa H và B) sau đó từ M chạy bộ dọc theo bờ biển đến B với vận tốc gấp bốn lần vận tốc chèo thuyền. Biết tổng thời gian di chuyển từ A về đến B hết 3 giờ 20 phút. Tính khoảng cách MB ? A 3km H M B HB=24km A. 12 (km). B. 16 (km). C. 18 (km) . D. 20 (km). B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1 (3,0 điểm) a) Cho các số dương a,, b c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng a b b c c a 0 . 1 c2 1 a 2 1 b 2 b) Chứng minh rằng nếu a. b 3thì hai phương trình sau: (a3 a ) x a 2 y a 4 1 0; (b3 b ) x b 2 y b 4 1 0 (a,b là các tham số) không có nghiệm nguyên chung. 23
24. Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn) Thầy Hồng Trí Quang Câu 2 (3,5 điểm) a) Giải phương trình 2x 3 x 1 1. 3 2 2 2 x x y 3 x 5 xy y 4 x y b) Giải hệ phương trình . 3x y 1 x 1. Câu 3 (4,0 điểm). Cho đường tròn (;)OR và điểm A cố định trên (;)OR . Gọi M, N là các giao điểm của hai đường tròn (;)OR và (;)AR ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN của đường tròn (;)AR . Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt (;)OR tại B, C. Kẻ HI AB( I AB ), HK  AC ( K AC ) . a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB. AC 2 R2 b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích AIK khi H thay đổi. Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số dương a,, b c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2( a2 b b 2 c c 2 a ) ( a 2 b 2 c 2 ) 4 abc . 24