Các phương pháp chứng minh bằng nhau, song song, vuông góc, đồng quy, thẳng hàng - Đỗ Mạnh Thắng

Nội dung text: Các phương pháp chứng minh bằng nhau, song song, vuông góc, đồng quy, thẳng hàng - Đỗ Mạnh Thắng

1. §ç M¹nh Th¾ng CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH - Trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - với góc 300 của tam giác vuông, ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG - Ứng dụng các định nghĩa: Trung điểm đọan A.KIẾN THỨC CƠ BẢN thẳng, trung tuyến tam giác 1.Tam giác bằng nhau -Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung a) Khái niệm: của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một A A'; B B'; C C' đường tròn, ABC A'B'C' khi AB A'B'; BC B'C'; AC A'C' -Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: hình thang. c.c.c; c.g.c; g.c.g. - Tính chất các tỷ số bằng nhau; tính chất hai c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đường thẳng vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một song song. cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn. 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; song song các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng - Dùng đ/n 2 đường thẳng song song bằng nhau. -Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng 2.Chứng minh hai góc bằng nhau nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù - Sử dụng hai góc có cùng số đo. nhau, -Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc cần chứng minh: Hai góc cùng bằng một góc thứ 3; với đường thẳng thứ ba. hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với 1 góc. -Áp dụng định lý đảo của định lý Talet. - Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tương -Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt (2 ứng bằng nhau. cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, - Sử dụng định nghĩa tia phân giác của 1 góc. hình vuông, hai cạnh đáy hình thang, đường - Hai góc đối đỉnh. trung bình của tam giác, hình thang. -Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với song song (2 góc đồng vị, 2 góc so le ). đường thẳng thứ 3. - 2 góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng - Sử dụng kết quả của ácc đoạn thẳng tỷ lệ suy ra vuông góc hoặc song song. các đường thẳng tương ứng song song (ĐL Ta lét - Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau đảo) hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác -Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng cân, đều; hai góc kề đáy của hình thang cân, 2 góc nhau của một đường tròn. đối hình bình hành, 5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc - Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, hệ quả góc - Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc. nội tiếp. - Tính chất 2 tia phân giác của hai góc kề bù - Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, - Dùng tính chất 2 góc nhọn trong tam giác vuông ngoại tiếp một đường tròn. - Dùng đ/n tính chất 3 đường cao, 3 đường trung - Sử dụng các tỉ số lượng giác sin, cos, tg, cotg của trực của tam giác. góc nhọn - Chứng minh chúng song song với hai đường 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau vuông góc khác. - Hai đoạn thẳng có cùng số đo. -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một - 2 đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ 3. trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình đường thẳng còn lại. nhân của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một. -Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện - Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. trong một tam giác. - Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam -Đường kính đi qua trung điểm của dây. giác đều, hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. hành - Tính chất tam giác cân, tam giác đều
2. §ç M¹nh Th¾ng - Định lý Pitago tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng - tính chất đường kính đi qua trung điểm 1 dây dạng. không qua tâm hoặc qua điểm chính giữa một cung. 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học - Tính chất tiếp tuyến của đường tròn. -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, - Đường nối tâm và dây chung của hai đường tròn. tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng giác vuông, -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD thẳng hàng. -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB. giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại -Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một tiếp, đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng -Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bằng tích thứ ba. bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng hàng. minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so -Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh sánh với tích thứ ba. nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên. trong tam giác vuông; phương tích của một điểm -Chứng minh AC là đường kính của đường tròn với đường tròn. tâm B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ 7. Chứng minh các đường thẳng đồng quy GIÁC NỘI TIẾP -Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam Phương pháp chứng minh giác. -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều -Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một một điểm. điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo điểm đó. bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. -Dùng định lý đảo của định lý Talet. -Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI góc trong đối diện bù nhau. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG; -Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB HỆ THỨC HÌNH HỌC thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong đó A.KIẾN THỨC CƠ BẢN M AB  CD; N AD  BC ) 1.Tam giác đồng dạng -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD -Khái niệm: nội tiếp. (Trong đó P AC  BD ) A A';B B';C C' -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; ABC: A'B'C' khi AB AC BC hình chữ nhật; hình vuông; A'B' A'C' B'C' Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c-c-c; thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần c-g-c; g-g. lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất -Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh nhất một đường tròn” góc vuông *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng;
3. §ç M¹nh Th¾ng MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bµi 1 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l­ît ë C vµ D. C¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. y 1.Chøng minh AC + BD = CD. 2. Chøng minh COD = 900. x D 2 / AB I 3. Chøng minh AC. BD = . 4. Chøng minh OC // BM M 4 / 5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD. C N 6. Chøng minh MN  AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 2 Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi A O B (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn d MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). A P KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao K D ®iÓm cña OM vµ AB. N 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. H O M 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®­êng I trßn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. C 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. B 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng d X I Bµi 3 Cho nöa ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn F Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. M 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. H E 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. K 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 1 2 2 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. 1 A O B Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn (O). C¸c ®­êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn (O) lÇn l­ît t¹i M,N,P. A N Chøng minh r»ng: 1 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . E P F 1 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 2 O 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. H 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. - 1 ( 5. X¸c ®Þnh t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. B D 2 ( C - M Bµi 5. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®­êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 1 3. Chøng minh ED = BC. 2 4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
4. §ç M¹nh Th¾ng A 1 O 1 2 E H 3 B 1 D C Bµi 6 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp, K lµ A t©m ®­êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®­êng trßn. 2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bµi 7 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. VÏ ®­êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi I HD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1 1 B 2 C 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. H 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. o 3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. K X Bµi 10 Cho ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ N J P lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao 1 cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. I 1.Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. M 2.Chøng minh BM // OP. K 3.§­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. 2 1 1 Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. A ( ( B 4.BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo O dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Bµi 11 Cho nöa ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®­êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn l­ît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 12 Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®­êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®­¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB. 1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®­êng trßn 2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 3. Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn . Bµi 13. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F. BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC BD BM néi tiÕp. 4. C CB CF Bµi 14 Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn M O t¹i N cña ®­êng trßn ë P. Chøng minh : A B 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. N A' P D B' 4
5. §ç M¹nh Th¾ng 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo. Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. A 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. E 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 1 I 3. AE. AB = AF. AC. 2 1( F 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®­êng trßn . 1 )1 2 B O1 H O2 C Bµi 16 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §­êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®­êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 1.Chøng minh EC = MN. 2.Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®­êng trßn (I), (K). 3.TÝnh MN. 4.TÝnh diÖn tÝch h×nh ®­îc giíi h¹n bëi ba nöa ®­êng trßn. Bµi 17 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh MC. ®­êng th¼ng BM c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. ®­êng th¼ng AD c¾t ®­êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®­êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c. Bµi 18 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §­êng trßn ®­êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®­êng thẳng CD, AE lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : 1.Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2.Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®­êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. 5