Chuyên đề Bất đẳng thức dành cho học sinh khối THCS & THPT, học sinh THCS ôn thi vào lớp 10

Nội dung text: Chuyên đề Bất đẳng thức dành cho học sinh khối THCS & THPT, học sinh THCS ôn thi vào lớp 10

1. TRѬӠNG THPT CHUYÊN LÝ TӴ TRӐNG 7Ә T O ÁN - TIN HӐC CHUYÊN ĐỀ BBҨҨTTĈĈҶҶNNGGTTHHӬӬCC Th͹c hi͏n: Võ Quӕc Bá Cҭn
2. /ͥi nói ÿ̯u ----oOo---- %ҩt ÿҷng thӭc là mӝt trong nhӳng vҩn ÿӅ hay và khó nhҩt cӫa chѭѫng trình toán phә thông bӣi nó có mһt trên hҫu khҳp các lƭnh vӵc cӫa toán hӑc và nó ÿòi hӓi chúng ta phҧi có mӝt vӕn kiӃn thӭc tѭѫng ÿӕi vӳng vàng trên tҩt cҧ các lƭnh vӵc. 0ӛi ngѭӡi chúng ta, ÿһc biӋt là các bҥn yêu toán, dù ít dù nhiӅu thì cNJng ÿã tӯng ÿau ÿҫu trѭӟc mӝt bҩt ÿҷng thӭc khó và cNJng ÿã tӯng có ÿѭӧc mӝt cҧm giác tӵ hào khi mà mình chӭng minh ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc ÿó. Nhҵm “kích hoҥt” niӅm say mê Eҩt ÿҷng thӭc trong các bҥn, tôi xin giӟi thiӋu vӟi vӟi các bҥn cuӕn sách “chuyên ÿӅ Eҩt ÿҷng thӭc”. Sách gӗm các phѭѫng pháp chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc mӟi mà hiӋn nay chѭa ÿѭӧc phә biӃn cho lҳm. Ngoài ra, trong sách gӗm mӝt sӕ lѭӧng lӟn bҩt ÿҷng thӭc do tôi Wӵ sáng tác, còn lҥi là do tôi lҩy ÿӅ toán trên internet nhѭng chѭa có lӡi giҧi hoһc có Oӡi giҧi nhѭng là lӡi giҧi hay, lҥ, ÿҽp mҳt. Phҫn lӟn các bài tұp trong sách ÿӅu do tôi Wӵ giҧi nên không thӇ nào tránh khӓi nhӳng ngӝ nhұn, sai lҫm, mong các bҥn thông Fҧm. Hy vӑng rҵng cuӕn sách sӁ giúp cho các bҥn mӝt cái nhìn khác vӅ bҩt ÿҷng thӭc và mong rҵng qua viӋc giҧi các bài toán trong sách sӁ giúp các bҥn có thӇ tìm ra phѭѫng pháp cӫa riêng mình, nâng cao ÿѭӧc tѭ duy sáng tҥo. Tôi không biӃt các Eҥn nghƭ sao nhѭng theo quan ÿLӇm cӫa bҧn thân tôi thì nӃu ta hӑc tӕt vӅ bҩt ÿҷng thӭc thì cNJng có thӇ hӑc tӕt các lƭnh vӵc khác cӫa toán hӑc vì nhѭÿã nói ӣ trên bҩt ÿҷng thӭc ÿòi hӓi chúng ta phҧi có mӝt kiӃn thӭc tәng hӧp tѭѫng ÿӕi vӳng vàng. Tôi không nói suông ÿâu, chҳc hҷn bҥn cNJng biӃt ÿӃn anh Phҥm Kim Hùng, sinh viên hӋ CNTN khoa toán, trѭӡng ĈHKHTN, ĈHQG Hà Nӝi, ngѭӡi ÿã ÿѭӧc tham Gӵ hai kǤ thi IMO và ÿӅu ÿRҥt kӃt quҧ cao nhҩt trong ÿӝi tuyӇn VN. Bҥn biӃt không? Trong thӡi hӑc phә thông, anh ҩy chӍ chuyên tâm rèn luyӋn bҩt ÿҷng thӭc thôi. (Các bҥn lѭu ý là tôi không khuyӃn khích bҥn làm nhѭ tôi và anh ҩy ÿâu nhé!) 1
3. 0һc dù ÿã cӕ gҳng biên soҥn mӝt cách thұt cҭn thұn, nhѭng do trình ÿӝ có hҥn nên không thӇ tránh khӓi nhӳng sai sót, mong các bҥn thông cҧm và góp ý cho tôi ÿӇ cuӕn sách ngày càng ÿѭӧc hoàn thiӋn hѫn. Chân thành cҧm ѫn. 0ӑi ÿóng góp xin gӱi vӅ mӝt trong các ÿӏa chӍ sau: + Võ Quӕc Bá Cҭn, C65 khu dân cѭ Phú An, phѭӡng Phú Thӭ, quұn Cái Răng, thành phӕ Cҫn Thѫ. (071.916044 + Email. [email protected] Kính tһng các thҫy Ĉһng Bҧo Hòa, Phan Ĉҥi Nhѫn, Trҫn DiӋu Minh, HuǤnh Bӱu Tính, cô Tҥ Thanh Thӫy Tiên và toàn thӇ các thҫy cô giáo trong tә Toán Tin, thân Wһng các bҥn cùng lӟp. 2
4. 0ӜT SӔ BҨT ĈҶNG THӬC THÔNG DӨNG 1. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. 1Ӄu aaa12, ,..., n là các sӕ thӵc không âm thì n 1 n .å ain³ aaa12 ... n i=1 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi aaa12= ==... n . 2. Bҩt ÿҷng thӭc AM-HM. 1Ӄu aaa12, ,..., n là các sӕ thӵc dѭѫng thì 11n . a ³ n å i 11n i=1 .å nai=1 i Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi aaa12= ==... n . 3. Bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki. Cho 2n sӕ thӵc aaa12, ,..., n và bbb12, ,..., n . Khi ÿó, ta có 2222222 (a1+ a 2 ++ ... an )( b 1 + b 2 ++ ... b n ) ³ ( ab11 + ab 22 ++ ... ab nn ) aa a Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi 12= ==....n bbb12 n 4. Bҩt ÿҷng thӭc Minkowski. Cho 2n sӕ thӵc dѭѫng aaa12, ,..., n và bbb12, ,..., n . Khi ÿó vӟi mӑi r ³1, ta có 1 11 nr nn rr ær öæöæö rr çå()ababiiii+£+ ÷ç÷ç÷ åå èi=1 øèøèø ii == 11 5. Bҩt ÿҷng thӭc AM-GM mӣ rӝng. 1Ӄu aaa12, ,..., n là các sӕ thӵc không âm và bbb12, ,..., n là các sӕ thӵc không âm có tәng bҵng 1 thì bb12 bn bb11a 22 a... b+++³nnn a aaa12 .. 6. Bҩt ÿҷng thӭc Chebyshev. Cho 2n sӕ thӵc aaa12£ ££... n và bbb12, ,..., n . Khi ÿó a) NӃu bbb12£ ££... n thì næöæö nn nabab.åiiii³ ç÷ç÷ åå i=1èøèø ii == 11 a) NӃu bbb12³ ³³... n thì næöæö nn nabab.åiiii£ ç÷ç÷ åå i=1èøèø ii == 11 3
5. éaaa12= ==... n Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi ê ëbbb12= ==... n 7. Bҩt ÿҷng thӭc Holder. Cho 2n sӕ thӵc không âm aaa12, ,..., n và bbb12, ,..., n . Khi ÿó vӟi mӑi pq,1> thӓa 11 +=1, ta có pq 11 n nnpq æöæöpq åååababiiii£ ç÷ç÷ iii===111èøèø 8. Bҩt ÿҷng thӭc Schur. 9ӟi mӑi bӝ ba sӕ không âm abc,, và r ³ 0, ta luôn có bҩt ÿҷng thӭc aabacrrr(--+--+--³ )( ) bbcba ( )( ) ccacb ( )( ) 0 Ĉҷng thӭc xҧy ra khi và chӍ khi abc== hoһc a== bc,0 và các hoán vӏ. 9. Bҩt ÿҷng thӭc Jensen. Giҧ sӱ fx() là mӝt hàm lӗi trên [,]ab. Khi ÿó, vӟi mӑi x12, x ,..., xn Î [ ab , ] và aa12, ,..., a³n 0 thӓa aa12...1 a+++=n ta có bҩt ÿҷng thӭc æönn fç÷ååaaii x³ ii fx() èøii==11 10. Bҩt ÿҷng thӭc sҳp xӃp lҥi. Cho 2 dãy ÿѫn ÿLӋu cùng tăng aaa12£ ££... n và bbb12£ ££... n . Khi ÿó, vӟi iii12, ,..., n là mӝt hoán vӏ bҩt kì cӫa 1,2,..., n ta có ab+ ab ++... ab ³ ab + ab ++ ... ab ³ ab + ab ++ ... ab 1122nniiiiiinnn11 22 nn 1211- 11. Bҩt ÿҷng thӭc Bernulli. 9ӟi x >-1, ta có + 1Ӄu rr³Ú£10 thì (1)1+xr ³+ rx + 1Ӄu 10>>r thì (1)1+xr £+ rx 4
6. %ҨT ĈҶNG THӬC THUҪN NHҨT 1. Mӣÿҫu. +ҫu hӃt các bҩt ÿҷng thӭc cәÿLӇn (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowsky, Chebyshev ...) ÿӅu là các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. ĈLӅu này hoàn toàn không ngүu nhiên. VӅ logíc, có thӇ nói rҵng, chӍ có các ÿҥi lѭӧng cùng bұc mӟi có thӇ so sánh Yӟi nhau mӝt cách toàn cөc ÿѭӧc. Chính vì thӃ, bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt chiӃm mӝt tӹ lӋ rҩt cao trong các bài toán bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ (khi các hàm sӕ là hàm ÿҥi sӕ, có bұc Kӳu hҥn). Ĉӕi vӟi các hàm giҧi tích (mNJ, lѭӧng giác, logarith), các bҩt ÿҷng thӭc FNJng ÿѭӧc coi là thuҫn nhҩt vì các hàm sӕ có bұc ¥ (theo công thӭc Taylor). Trong bài này, chúng ta sӁÿӅ cұp tӟi các phѭѫng pháp cѫ bҧn ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt, cNJng nhѭ cách chuyӇn tӯ mӝt bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt YӅ mӝt bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Nҳm vӳng và vұn dөng nhuҫn nhuyӉn các phѭѫng pháp này, chúng ta có thӇ chӭng minh ÿѭӧc hҫu hӃt các bҩt ÿҷng thӭc sѫ cҩp. 2. Bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Hàm sӕ fxxx(12 , ,...,n ) cӫa các biӃn sӕ thӵc xxx12, ,..., n ÿѭӧc là hàm thuҫn nhҩt bұc a nӃu vӟi mӑi sӕ thӵc t ta có a f(, tx1 tx 2 ,...,) txnn= t f (,,...,) x 12 x x %ҩt ÿҷng thӭc dҥng fxxx(,,...,)012 n ³ Yӟi f là mӝt hàm thuҫn nhҩt ÿѭӧc gӑi là bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt (bұc a ). Ví dө các bҩt ÿҷng thӭc AM-GM, bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki, bҩt ÿҷng thӭc Chebyshev là các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Bҩt ÿҷng thӭc Bernoulli, bҩt ÿҷng thӭc sin xx 0 là các bҩt ÿҷng thӭc không thuҫn nhҩt. 5
7. 3. Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. 3.1. Phѭѫng pháp dӗn biӃn. Ĉһc ÿLӇm cӫa nhiӅu bҩt ÿҷng thӭc, ÿһc biӋt là các bҩt ÿҷng thӭc ÿҥi sӕ là dҩu bҵng [ҧy ra khi tҩt cҧ hoһc mӝt vài biӃn sӕ bҵng nhau (xuҩt phát tӯ bҩt ÿҷng thӭc cѫ bҧn x2 ³ 0!). Phѭѫng pháp dӗn biӃn dӵa vào ÿһc ÿLӇm này ÿӇ làm giҧm sӕ biӃn sӕ cӫa Eҩt ÿҷng thӭc, ÿѭa bҩt ÿҷng thӭc vӅ dҥng ÿѫn giҧn hѫn có thӇ chӭng minh trӵc tiӃp Eҵng cách khҧo sát hàm mӝt biӃn hoһc chӭng minh bҵng quy nҥp. ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc fxxx(12 , ,...,n )³ 0 (1) Ta có thӇ thӱ chӭng minh æöxxxx1212++ fxxxfx(12 , ,...,nn )³ ç÷ , ,..., (2) èø22 hoһc f( x1 , x 2 ,..., xnn )³ f() xx 12 , xx 12 ,..., x (3) Sau ÿó chuyӇn viӋc chӭng minh (1) vӅ viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc fxxx(113 , , ,..., xnn )=³ gxx ( 13 , ,..., x ) 0 (4) Wӭc là mӝt bҩt ÿҷng thӭc có sӕ biӃn ít hѫn. Dƭ nhiên, các bҩt ÿҷng thӭc (2), (3) có thӇ không ÿúng hoһc chӍÿúng trong mӝt sӕÿLӅu kiӋn nào ÿó. Vì ta chӍ thay ÿәi 2 biӃn sӕ nên thông thѭӡng thì tính ÿúng ÿҳn cӫa bҩt ÿҷng thӭc này có thӇ kiӇm tra ÿѭӧc dӉ dàng. Ví dө 1. Cho abc,,0> . Chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc a333+++³+++++ b c3 abc a 222 b b c c a ab 222 bc ca Chͱng minh. Xét hàm sӕ f(,,)3() a b c=+++- a333 b c abc a 222 b +++++ b c c a ab 222 bc ca Ta có æbcbc++ öæö5 a 2 f(,,), abc- fç a , ÷ç÷ =+-- b c () b c è224 øèø 6
8. Do ÿó, nӃu a= min{ abc , , } (ÿLӅu này luôn có thӇ giҧ sӱ) thì ta có æöbcbc++ f(,,),, abc³ fç÷ a èø22 Nhѭ vұy, ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿҫu bài, ta chӍ cҫn chӭng minh f(,,)0 abb ³ Nhѭng bҩt ÿҷng thӭc này tѭѫng ÿѭѫng vӟi a33++2 b 3 ab 2222323 - ( ab +++++³ ab ba b ba b )0 Û+-³a322 ab20 ab Ûaab( -³ )02 Ví dө 2. (Vietnam TST 1996) Cho abc,, là các sӕ thӵc bҩt kǤ. Chӭng minh rҵng 4 Fabcab(,,)(=+++++- )4 ( bc ) 4 ( ca ) 4 .( abc 444 ++³ )0 7 /ͥi gi̫i. Ta có æöbcbc++ Fabc(,,)-= Faç÷ , , èø22 4 =+++++-(ab )(4 bc )( 4 ca ) 4 .( abc 444 ++- ) 7 44 æbc++ ö4 æö æö bc -+-+++2a ().2 bca44ç÷ ç ÷ç÷ ç÷ è2 ø 72èø èø 4 4 4 4æöbc++4()æö bc 44 =+(ab )( ++ ca )2 -ç÷ a + + .ç÷ -- bc èø2 78èø 4 33 3 222 23æö 44 ()bc+ =ab(4 + 4 c -+ ( bc ) ) + 3 a (2 b + 2 c -+ ( bc))+ç÷bc +- 78èø 3 =3()()3()()(7710)abcbc + -+22 abc -+ 2 bc - 222 b ++ c bc 56 3 =3(aabcbc ++-+ )()()(7710)2 bc - 222 b ++ c bc 56 7
9. 3 6ӕ hҥng (b- c )(77222 b ++ c 10) bc luôn không âm. NӃu abc,, cùng dҩu thì bҩt 56 ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh là hiӇn nhiên. NӃu abc,, không cùng dҩu thì phҧi có ít nhҩt 1 trong ba sӕ abc,, cùng dҩu vӟi abc++. Không mҩt tính tәng quát, giҧ sӱ ÿó là a . æöbcbc++ 7ӯ ÿҷng thӭc trên suy ra Fabc(,,)³ Faç÷ , , . Nhѭ vұy ta chӍ còn cҫn èø22 chӭng minh Fabb(,,)0,³"Î ab R 4 Û2(a + b )4 + (2 b ) 4 - .( a 44 + 2 b ) ³"Î 0 ab , R 7 1Ӄu b = 0 thì bҩt ÿҷng thӭc là hiӇn nhiên. NӃu b ¹ 0 , chia hai vӃ cӫa bҩt ÿҷng thӭc a cho b4 rӗi ÿһt x = thì ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿѭѫng b 4 2(xx+ 1)44 +- 16 .( +³ 2) 0 7 %ҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng có thӇ chӭng minh nhѭ sau 4 Xét fxxx( )=++-+ 2( 1)44 16 .( 2) 7 Ta có 16 fxxx/()8(1).= +- 33 7 2 fx/ ( )= 0 Û x + 1 =3 . xx Û =- 2.9294 7 ffmin =-=>( 2.9294) 0.4924 0 (Các phҫn tính toán cuӕi ÿѭӧc tính vӟi ÿӝ chính xác tӟi 4 chӳ sӕ sau dҩu phҭy. Do fmin tính ÿѭӧc là 0.4924 nên nӃu tính cҧ sai sӕ tuyӋt ÿӕi thì giá trӏ chính xác cӫa fmin vүn là mӝt sӕ dѭѫng. Vì ÿây là mӝt bҩt ÿҷng thӭc rҩt chһt nên không thӇ tránh 8
10. 4 16 ÿѭӧc các tính toán vӟi sӕ lҿ trên ÿây. Chҷng hҥn nӃu thay bҵng ÿӇ x =-3 7 27 min 4 thì f * có giá trӏ âm! Ӣÿây fxxx*( )=++-+ 2( 1) 44 16 .( 2).) min 7 3.2. Phѭѫng pháp chuҭn hóa. 'ҥng thѭӡng gһp cӫa bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt là fxxxgxxx(12 , ,...,nn )³ ( 12 , ,..., ) trong ÿó f và g là hai hàm thuҫn nhҩt cùng bұc. Do tính chҩt cӫa hàm thuҫn nhҩt, ta có thӇ chuyӇn viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc trên vӅ viӋc chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc fxxxA(12 , ,...,n ) ³ vӟi mӑi xxx12, ,..., n thӓa mãn ÿLӅu kiӋn gxxxA(12 , ,...,n ) = . Chuҭn hóa mӝt cách thích hӧp, ta có thӇ làm ÿѫn giҧn các biӇu thӭc cӫa bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh, tұn dөng ÿѭӧc mӝt sӕ tính chҩt ÿһc biӋt cӫa các hҵng sӕ. Ví dө 3. (Bҩt ÿҷng thӭc vӅ trung bình lNJy thӯa) Cho bӝ n sӕ thӵc dѭѫng ()(,,...,)xxxx= 12 n . Vӟi mӛi sӕ thӵc r ta ÿһt 1 rrrr æöxxx12+ ++... n Mxr ()= ç÷ èøn Chӭng minh rҵng vӟi mӑi rs>>0 ta có Mxrs()³ Mx (). /ͥi gi̫i. Vì Mrr( tx )= tM () x vӟi mӑi t > 0 nên ta chӍ cҫn chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿúng cho các sӕ thӵc dѭѫng xxx12, ,..., n thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn Mxs ()1= , tӭc là cҫn chӭng minh Mxr ()1³ vӟi mӑi xxx12, ,..., n thoҧ mãn ÿLӅu kiӋn Mxs ()1= . ĈLӅu này có thӇ viӃt ÿѫn giҧn lҥi là rrr sss Chӭng minh xx12+++³... xnn vӟi xx12+++=... xnn . ĈӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng, ta áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Bernoulli rrr xrsss=( x )ss = (1 + ( x - 1)) ³ 1 + .( x - 1) "= in 1, iiiis &ӝng các bҩt ÿҷng thӭc trên lҥi, ta ÿѭӧc ÿLӅu phҧi chӭng minh. 9
11. Ví dө 4. (VMO 2002) Chӭng minh rҵng vӟi xyz,, là các sӕ thӵc bҩt kǤ ta có bҩt ÿҷng thӭc 3 6(xyzxyz++ )(222 ++ ) £ 27 xyzxyz + 10( 222 ++ ) 2 /ͥi gi̫i. %ҩt ÿҷng thӭc này rҩt cӗng kӅnh. NӃu thӵc hiӋn phép biӃn ÿәi trӵc tiӃp sӁ rҩt khó khăn (ví dө thӱ bình phѭѫng ÿӇ khӱ căn). Ta thӵc hiӋn phép chuҭn hóa ÿӇÿѫn giҧn hóa bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho. NӃu xyz222++=0 , thì xyz===0 , bҩt ÿҷng thӭc trӣ thành ÿҷng thӭc. NӃu xyz222++>0 , do bҩt ÿҷng thӭc ÿã cho là thuҫn nhҩt, ta có thӇ giҧ sӱ xyz222++=9. Ta cҫn chӭng minh 2(x++£+ y z ) xyz 10 vӟi ÿLӅu kiӋn xyz222++=9. ĈӇ chӭng minh ÿLӅu này, ta chӍ cҫn chӭng minh [2(x++-£ y z ) xyz ]2 100 Không mҩt tính tәng quát, có thӇ giҧ sӱ xyz££. Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxky, ta có [2()x++- y z xyz ]22 = [2( x ++- y ) z (2 xy )] £[(x + y )222 + z ][4 +- (2 xy ) ] =+(9 2xy )(8 -+ 4 xy x22 y ) =-++72 20xy xy22 2 xy 33 =++-100 (xy 2)2 (2 xy 7) 7ӯ xyz££Þ³Þ£+£ z23 2 xyxy 22 6, tӭc là (xy+ 2)2 (2 xy -£ 7) 0. Tӯÿây, NӃt hӧp vӟi ÿánh giá trên ÿây ta ÿѭӧc ÿLӅu cҫn chӭng minh. ì xyz+ ï = 'ҩu bҵng xҧy ra khi và chӍ khi í 22- xy . ï îxy +=20 7ӯÿây giҧi ra ÿѭӧc x=-==1,2,2 yz. .ƭ thuұt chuҭn hóa cho phép chúng ta biӃn mӝt bҩt ÿҷng thӭc phӭc tҥp thành mӝt Eҩt ÿҷng thӭc có dҥng ÿѫn giҧn hѫn. ĈLӅu này giúp ta có thӇ áp dөng các biӃn ÿәi ÿҥi sӕ mӝt cách dӉ dàng hѫn, thay vì phҧi làm viӋc vӟi các biӇu thӭc cӗng kӅnh ban 10
12. ÿҫu. Ĉһc biӋt, sau khi chuҭn hóa xong, ta vүn có thӇ áp dөng phѭѫng pháp dӗn biӃn ÿӇ giҧi. Ta ÿѭa ra lӡi giҧi thӭ hai cho bài toán trên Ĉһt f(,,)2() x y z= x ++- y z xyz . Ta cҫn chӭng minh f( xyz , , )£ 10 vӟi xyz222++=9. Xét æöyz22++- yz 22 xyz() 2 fxç, , ÷- fxyz (,,)22() = y22 + z --- yz ç÷222( ) èø æö2 x =--()yz2 ç÷ ç÷22 2 èø2()y+ z ++ yz + NӃu xyz,,0> , ta xét hai trѭӡng hӧp *1£££xyz. Khi ÿó 2(x+ y + z ) - xyz £ 2 3( x2 + y 22 + z ) -= 1 6 3 -< 1 10 *01<£x . Khi ÿó 2(x++-£+ y z ) xyz 2 x 2 2( y222 +=+ z ) 2 x 2 2(9 -= x ) gx ( ) 292( --xx2 ) Ta có gx/ ()0=>, suy ra gxg( )£= (1) 10 . 9 - x2 + NӃu trong 3 sӕ xyz,, có mӝt sӕ âm, không mҩt tính tәng quát, ta có thӇ giҧ sӱ là æöyz22++ yz 22 x < 0 . Khi ÿó fç÷ x, ,³ f (,,) xyz, nên ta chӍ cҫn chӭng minh ç÷22 èø æöyz22++ yz 22 fxç÷, ,£ 10 ç÷22 èø xx(9)- 2 Û+--£2xx 2 2(92 ) 10 2 Ûhxxxx( ) =-+32 5 4 2(9 -£ ) 20 42x Ta có hxx/2()35= -- . 9 - x2 11
13. Giҧi phѭѫng trình hx/ ()0= (vӟi x < 0 ), ta ÿѭӧc x =-1. Ĉây là ÿLӇm cӵc ÿҥi cӫa h, do ÿó hxh( )£-= ( 1) 20. %ҵng cách chuҭn hóa, ta có thӇÿѭa mӝt bài toán bҩt ÿҷng thӭc vӅ bài toán tìm giá trӏ lӟn nhҩt hay nhӓ nhҩt cӫa mӝt hàm sӕ trên mӝt miӅn (chҷng hҥn trên hình cҫu xyz222++=9 nhѭӣ ví dө 4). ĈLӅu này cho phép chúng ta vұn dөng ÿѭӧc mӝt sӕ Nӻ thuұt tìm giá trӏ lӟn nhҩt, giá trӏ nhӓ nhҩt (ví dө nhѭ bҩt ÿҷng thӭc Jensen, hàm Oӗi,...). Ví dө 5. Cho abc,, là các sӕ thӵc dѭѫng. Chӭng minh rҵng ()()()3bca+-222 cab +- abc +- ++³ a222222++() bc b ++ () ca c ++ () ab 5 /ͥi gi̫i. Ta chӍ cҫn chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc cho các sӕ dѭѫng abc,, thoҧ abc++=1. Khi ÿó bҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi thành (12)---abc222 (12) (12) 3 ++³ 2aabbcc222-+ 2 12 -+ 2 12 -+ 2 15 1 1 1 27 Û ++£ 2aa222-+ 2 12 bb -+ 2 12 cc -+ 2 1 5 27 Û++£fa( ) fb ( ) fc ( ) (5.1) 5 1 Trong ÿó fx()= 2xx2 -+ 21 271æö ĈӇ ý rҵng = 3 f ç÷, ta thҩy (5.1) có dҥng bҩt ÿҷng thӭc Jensen. Tuy nhiên, tính 53èø ÿҥo hàm cҩp hai cӫa fx(), ta có 4(6xx2 -+ 6 1) fx// ()= ( 2xx23-+ 2 1) 12
14. æö3333-+ hàm chӍ lӗi trên khoҧng ç÷, nên không thӇ áp dөng bҩt ÿҷng thӭc èø66 27 Jensen mӝt cách trӵc tiӃp. Ta chӭng minh fa()()()++£ fb fc bҵng các nhұn 5 xét bә sung sau æö1 ffmax ==ç÷2 èø2 æö1 æö1 fx() tăng trên ç÷0, và giҧm trên ç÷,1 èø2 èø2 æöæö3-+ 3 3 3 12 ffç÷ç÷== èøèø6 67 æö3333-+ 1Ӄu có ít nhҩt 2 trong 3 sӕ abc,, nҵm trong khoҧng ç÷, , chҷng hҥn là èø66 a, b thì áp dөng bҩt ÿҷng thӭc Jensen ta có æabc+- ö æö14 fafbff()()22+£==ç ÷ ç÷2 è22 ø èøc +1 Nhѭ vұy trong trѭӡng hӧp này, ta chӍ cҫn chӭng minh 1 4 27 +£ 2211ccc22-++5 Quy ÿӗng mүu sӕ và rút gӑn ta ÿѭӧc bҩt ÿҷng thӭc tѭѫng ÿѭѫng 27c4- 27 c 32 + 18 cc - 7 +³ 1 0 Û(3c - 1)22 (3 cc -+³ 1) 0 (ñuùng) Nhѭ vұy, ta chӍ còn cҫn xét trѭӡng hӧp có ít nhҩt hai sӕ nҵm ngoài khoҧng æö3333-+ 33+ 33- ç÷, . NӃu chҷng hҥn a ³ thì rõ ràng bc, £ và nhѭ vұy, èø66 6 6 36 27 do nhұn xét trên fa()()()++£< fb fc . 75 33- Ta chӍ còn duy nhҩt mӝt trѭӡng hӧp cҫn xét là có hai sӕ, chҷng hҥn ab, £ . 6 13
15. 3 31 Lúc này, do ab+ £-1 nên c ³>. 3 32 Theo các nhұn xét trên, ta có æ3-+ 3 öæö 3 24 15 6 3 27 fa()()()2++£ fb fc fç ÷ç÷ + f =+ < . è6 øèø 37135 Ghi chú. Bài toán trên có mӝt cách giҧi ngҳn gӑn và ÿӝc ÿáo hѫn nhѭ sau %ҩt ÿҷng thӭc có thӇ viӃt lҥi thành ab()+++ c bc () a ca ()6 b ++£ a222222++() bc b ++ () ca c ++ () ab 5 Không mҩt tính tәng quát, có thӇ giҧ sӱ abc++=1. Khi ÿó, bҩt ÿҷng thӭc viӃt lҥi thành aabbcc(1--- ) (1 ) (1 ) 6 ++£ 2aabbcc222-+ 212 -+ 212 -+ 215 (a + 1) 2 (1)(1)(3)a+2 -+ aa Ta có 2(1)aa-£ . Do ÿó 1221-+³-=aa2 . Tӯÿó 4 44 aaaaa(1)(1)4-- £= 2aa2 -+ 21(1-+aa )(3 ) 3 + a 4 7ѭѫng tӵ bbb(1)4- £ 2bb2 -+ 213+ b ccc(1)4- £ . 2cc2 -+ 213 + c Và ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc ÿҫu bài, ta chӍ cҫn chӭng minh 4abc 4 46 ++£ 3335+++abc 1 1 19 %ҩt ÿҷng thӭc cuӕi cùng này tѭѫng ÿѭѫng vӟi ++³ là hiӇn 3+++abc 3 3 10 nhiên (Áp dөng BĈT AM-GM). 14
16. Chuҭn hóa là mӝt kӻ thuұt cѫ bҧn. Tuy nhiên, kӻ thuұt ÿó cNJng ÿòi hӓi nhӳng kinh nghiӋm và ÿӝ tinh tӃ nhҩt ÿӏnh. Trong ví dө trên, tҥi sao ta lҥi chuҭn hóa xyz222++=9 mà không phҧi là xyz222++=1 (tӵ nhiên hѫn)? Và ta có ÿҥt ÿѭӧc nhӳng hiӋu quҧ mong muӕn không nӃu nhѭ chuҭn hóa xyz++=1? Ĉó là nhӳng vҩn ÿӅ mà chúng ta phҧi suy nghƭ trѭӟc khi thӵc hiӋn bѭӟc chuҭn hóa. 3.3. Phѭѫng pháp trӑng sӕ. %ҩt ÿҷng thӭc AM-GM và bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki là nhӳng bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Vì thӃ, chúng rҩt hӳu hiӋu trong viӋc chӭng minh các bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt. Tuy nhiên, do ÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng cӫa các bҩt ÿҷng thӭc này rҩt nghiêm ngһt nên viӋc áp dөng mӝt cách trӵc tiӃp và máy móc ÿôi khi khó ÿem lҥi NӃt quҧ. ĈӇ áp dөng tӕt các bҩt ÿҷng thӭc này, chúng ta phҧi nghiên cӭu kӻÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng và áp dөng phѭѫng pháp trӑng sӕ. Ví dө 6. Chӭng minh rҵng nӃu xyz,, là các sӕ thӵc không âm thì 3 6(-++xyzxyz )(222 ++ ) + 27 xyzxyz £ 10( 2 ++ 22 ) 2 /ͥi gi̫i. 6ӱ dөng nguyên lý cѫ bҧn «Gҩu bҵng xҧy ra khi mӝt cһp biӃn sӕ nào ÿó bҵng nhau», ta có thӇ tìm ta ÿѭӧc dҩu bҵng cӫa bҩt ÿҷng thӭc trên xҧy ra khi yzx==2 . ĈLӅu này cho phép chúng ta mҥnh dҥn ÿánh giá nhѭ sau 3 10(xyz2++ 22 )2 --++ 6( xyzxyz )( 222 ++ ) = æö1 =(xyz2 ++ 22 ) 10( xyz 2 ++ 22 )2 --++ 6( xyz ) ç÷ èø æö10 11 =().()(122)6()xyz2 + 22 + xyz 222 + +22 222 + + --++ xyz ç÷ èø3 2 22æö10 ³(x + y + z ).(22)6()ç÷ x + y + z --++ xyz èø3 (xyz2++ 22 )(28 xyz ++ 2 2 ) = (6.1) 3 15
17. Áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM, ta có 44 æöy2 æö z 2 æöæö y 2 z 2 xyz 2 88 222229 9 xyzxx++=+4499ç÷ + ç÷ ³ ç÷ç÷ = 8 èø4 èø 4 èøèø 44 4 28xyz++= 2 2 7.4 xyz ++³ 2 2 999 (4 x )7 (2 yz )(2 ) = 9 4 87 xyz Nhân hai bҩt ÿҷng thӭc trên vӃ theo vӃ, ta ÿѭӧc xyz2 88 (x2++++³= y 2 z 2 )(28 x 2 y 2 z ) 99 .99 4 87 x yz 81 xyz (6.2) 48 7ӯ (6.1) và (6.2) ta suy ra bҩt ÿҷng thӭc cҫn chӭng minh. Trong ví dө trên, chúng ta ÿã sӱ dөng cҧ bҩt ÿҷng thӭc Bunhiacopxki và bҩt ÿҷng thӭc AM-GM có trӑng sӕ. Lӡi giҧi rҩt hiӋu quҧ và ҩn tѭӧng. Tuy nhiên, sӵ thành công cӫa lӡi giҧi trên nҵm ӣ hai dòng ngҳn ngӫi ӣÿҫu. Không có ÿѭӧc «Gӵÿoán» ÿó, khó có thӇ thu ÿѭӧc kӃt quҧ mong muӕn. Dѭӟi ÿây ta sӁ xét mӝt ví dө vӅ viӋc chӑn các trӑng sӕ thích hӧp bҵng phѭѫng pháp hӋ sӕ bҩt ÿӏnh ÿӇ các ÿLӅu kiӋn xҧy ra dҩu bҵng ÿѭӧc thoҧ mãn. Ví dө 7. Chӭng minh rҵng nӅu 0 ££xy thì ta có bҩt ÿҷng thӭc 11 13xyx (22222-+ )22 9 xyx ( +£ ) 16 y /ͥi gi̫i. Ta sӁ áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM cho các tích ӣ vӃ trái. Tuy nhiên, nӃu áp dөng Pӝt cách trӵc tiӃp thì ta ÿѭӧc 13(xyx222+- ) 9( xyx 222 ++ ) VT£ + =+9 xy22 11 (7.1) 22 Ĉây không phҧi là ÿLӅu mà ta cҫn (Tӯÿây chӍ có thӇ suy ra VTy£ 20 2 ). Sӣ dƭ ta không thu ÿѭӧc ÿánh giá cҫn thiӃt là vì dҩu bҵng không thӇÿӗng thӡi xҧy ra ӣ hai Oҫn áp dөng bҩt ÿҷng thӭc AM-GM. ĈӇÿLӅu chӍnh, ta ÿѭa vào các hӋ sӕ dѭѫng ab, nhѭ sau 16
18. 11 13(ax )( y22-+ x )22 9( by )( y 22 x ) VT =+ ab 13(axyx2222+- ) 9( bxyx 2222 ++ ) £+ (7.2) 22ab Ĉánh giá trên ÿúng vӟi mӑi ab,0> (chҷng hҥn vӟi ab==1 ta ÿѭӧc (7.1)) và ta sӁ phҧi chӑn ab, sao cho a) VӃ phҧi không phө thuӝc vào x b) Dҩu bҵng có thӇÿӗng thӡi xҧy ra ӣ hai bҩt ÿҷng thӭc Yêu cҫu này tѭѫng ÿѭѫng vӟi hӋ ì13(ab22-+ 1) 9( 1) ï +=0 ï 22ab í 2222 ïìaxyx=- ï$xy,:í ï 2222 î îïbxyx=+ ì13(ab22-+ 1) 9( 1) ï +=0 7ӭc là có hӋ í 22ab. ï 22 îab+=-11 ì 1 a = ï 2 Giҧi hӋ ra, ta ÿѭӧc í . Thay hai giá trӏ này vào (7.2) ta ÿѭӧc 3 ïb = îï 2 22 æöæöxx229 222 VTyx£13ç÷ç÷ +- + 3 ++ yxy = 16 èøèø44 Ghi chú. Trong ví dө trên, thӵc chҩt ta ÿã cӕÿӏnh y và tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa vӃ trái khi x thay ÿәi trong ÿRҥn [0,]y . 4. Bҩt ÿҷng thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng. Khi gһp các bҩt ÿҷng thӭc dҥng ÿa thӭc thuҫn nhҩt ÿӕi xӭng, ngoài các phѭѫng pháp trên, ta còn có thӇ sӱ dөng phѭѫng pháp khai triӇn trӵc tiӃp và dөng ÿӏnh lý vӅ nhóm các sӕ hҥng. Phѭѫng pháp này cӗng kӅnh, không thұt ÿҽp nhѭng ÿôi lúc tӓ ra 17
19. khá hiӋu quҧ. Khi sӱ dөng bҵng phѭѫng pháp này, chúng ta thѭӡng dùng các ký hiӋu quy ѭӟc sau ÿӇÿѫn giҧn hóa cách viӃt ååQxxxQxxx(1 , 2 ,...,nn )= (sss (1) , (2) ,..., ( ) ) sym s trong ÿó, s chҥy qua tҩt cҧ các hoán vӏ cӫa {1,2,...,n }. Ví dө vӟi n = 3 và ba biӃn sӕ xyz,, thì å xxyz3=++222 3 33 sym å xy2222222=+++++ xy yz zx xz zy yx sym å xyz= 6 xyz sym Ĉӕi vӟi các biӇu thӭc không hoàn toàn ÿӕi xӭng, ta có thӇ sӱ dөng ký hiӋu hoán vӏ vòng quanh nhѭ sau å xy22=++ xy yz 22 zx cyc Phѭѫng pháp này ÿѭӧc xây dӵng dӵa trên tính so sánh ÿѭӧc cӫa mӝt sӕ tәng ÿӕi [ӭng cùng bұc - ÿӏnh lý vӅ nhóm các sӕ hҥng (hӋ quҧ cӫa bҩt ÿҷng thӭc Karamata) mà chúng ta sӁ phát biӇu và chӭng minh dѭӟi ÿây. Trong trѭӡng hӧp 3 biӃn, ta còn có ÿҷng thӭc Schur. 1Ӄu ssss= (12 , ,...,n ) và tttt= (12 , ,...,n ) là hai dãy sӕ không tăng. Ta nói rҵng s là ïìss1+ 2 ++... snn =+++ tt 12 ... t trӝi cӫa t nӃu í . îïss1+ 2 +... + sttii ³ 12 + + ... + tin "= 1, Ĉӏnh lý Muirhead. («Nhóm») 1Ӄu s và t là các dãy sӕ thӵc không âm sao cho s là trӝi cӫa t thì ss1 2stnn tt 12 ååxxx1 2...nn³ xxx 12 ... sym sym Chͱng minh. 18