Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN 6 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 (4,0 điểm). Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý : 1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 2017 2018 2019 3 5 7 15 19 2. B 1.4 4.9 9.16 16.31 31.50 Câu 2 (4,5 điểm). 2 1. Tìm số nguyên x biết : a) 53. 3x2 7 25 b) x x 2 x 5 x 2012 5x 2. Tìm các cặp số nguyên (x,y) biết: xy 3x 2y 11 Câu 3 (4,5 điểm). n 1 1. Cho biểu thức P . 2n 3 a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì P là một phân số tối giản. b) Với n là số nguyên hãy tìm giá trị lớn nhất của P. 9 19 19 9 2. So sánh A và B biết A và B 102019 102018 102019 102018 Câu 4 (6,0 điểm). Cho điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ xy vẽ các tia Oa, 1 Ob sao cho b· Oy 600 và x· Oa y· Ob . Trên nửa mặt phẳng bờ xy không chứa tia Ob vẽ tia 2 On sao cho n· Oy 300. a) Trong ba tia Ox, Oa, Ob tia nào nằm giữa hai tia còn lại. Tại sao? b) Chứng minh rằng hai tia Oa, On là hai tia đối nhau và Ob là tia phân giác n· Oa . c) Vẽ thêm 2019 tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oa, Ob, On khi đó hãy tính số góc đỉnh O được tạo thành. Câu 5 (1,0 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 2401 p2 24 Hết Họ và tên thí sinh: , Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN 6 I. HƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ là đưa ra các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước. Bài làm phải có lập luận chặt chẽ và biến đổi hợp lý mới cho điểm, những cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Trong bài làm các bước có liên quan với nhau, bước trước sai mà bước sau đúng thì không cho điểm. Bài hình học không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. - Điểm thành phần cho chi tiết tới 0,25 điểm. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. Điểm toàn bài ghi bằng số thập phân. II. HƯỚNG DẪN CỤ THỂ: Câu ý Nội dung Điểm A 1 2 3 4 5 6 7 8 2017 2018 2019 • A là tổng đại số, A có 2019 số hạng . Nhóm bốn số hạng liên tiếp của A vào một nhóm. 0,25 • Do 2019 là số chia 4 dư 3 nên A được viết thành 504 nhóm và dư ra ba số hạng cuối. A 1 2 3 4 5 6 7 8 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 1 1 A 0 0 0 2020 0,5 (2.0đ) Vậy A 2020 0,25 Chú ý: HS có thể xét A 2020 1 2 3 4 5 6 7 8 2017 2018 2019 2020 0 0 0 0 A 2020 0 A 2020 1 (4,0đ) 3 5 7 15 19 B 1.4 4.9 9.16 16.31 31.50 4 1 9 4 16 9 31 16 50 31 B 0,5 1.4 4.9 9.16 16.31 31.50 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1 0,75 (2.0đ) 4 4 9 9 16 16 31 31 50 1 49 B 1 50 50 0,5 49 Vậy B 50 0,25 1. Tìm số nguyên x biết: 1a a) 53 3x2 7 25 2 (1,5đ) 0,25
3. 53 3x2 7 54 3x2 7 54 :53 0,25 2 3x2 7 5 3x2 5 7 0,25 (4,5đ) 3x2 12 x2 12:3 0,25 x2 4, mà x ¢ nên suy ra x 2;2 0,25 Vậy x 2;2 0,25 b) Ta có x x 2 x 5 x 2012 5x (1) Vì x 0; x 2 0; x 5 0; x 2012 0 0,25 Nên x x 2 x 5 x 2012 0 (2) 0,25 1b Từ 1 và 2 5x 0 , mà 5 0 x 0 * 0,25 Do x 0 x 2 0; x 5 0; x 2012 0 (1,5đ) 0,25 Suy ra x x, x 2 x 2, x 5 x 5, x 2012 x 2012 Khi đó 1 có dạng: x x 2 x 5 x 2012 5x 0,25 4x 2019 5x x 2019 (thỏa mãn (*)) 0,25 Vậy x 2019 2. Tìm các cặp số nguyên (x,y) biết: xy 3x 2y 11 Ta có: xy 3x 2y 11 0,25 xy 3x 2y 11 x y 3 2y 6 11 6 x y 3 2y 6 17 0,25 x y 3 2 y 3 17 x 2 y 3 17 1 . Mà x, y ¢ nên từ (1) suy ra 0,25 17 x 2 x 2 17; 1;1;17 Lập bảng tìm số nguyên x,y: 2 x 2 -17 -1 1 17 (1,5đ) x -15 1 3 19 0,5 y 3 -1 -17 17 1 y 2 -14 20 4 Vậy tìm được bốn cặp số nguyên x; y thỏa mãn bài toán là: x 15, y 2 ; x 1, y 14 ; x 3, y 20 ; x 19, y 4 . 0,25 n 1 Cho biểu thức P . 2n 3
4. a) Với n là số tự nhiên thì n 1,2n 3 là các số tự nhiên và n 1 0,50 2n 3 0 nên P là một phân số (1) 1a 2n 3 (1,5đ) Gọi d UCLN(n 1,2n 3) n 1 d, 2n 3 d 0,25 Do đó 2n 3 2 n 1 d 2n 3 2n 2 d 0,25 2n 3 2n 2 d 1d d 1 UCLN n 1,2n 3 1 2 0,25 n 1 Từ (1) và (2) suy ra P là một phân số tối giản. 0,25 2n 3 b) Với n là số nguyên hãy tìm giá trị lớn nhất của P. n 1 2 n 1 2n 2 0,25 Ta có P 2P 2n 3 2n 3 2n 3 2n 3 1 1 2P 1 * 0,25 3 2n 3 2n 3 (4,5đ) Để P đạt giá trị lớn nhất thì 2P đạt giá trị lớn nhất nên từ (*) suy ra 1b 1 0,25 đạt giá trị nhỏ nhất 2n 3là số nguyên âm lớn nhất. (1,5đ) 2n 3 2n 3 1 2n 4 n 2 0,25 1 Với n = -2 thì 2P 1 2 P 1 0,25 1 Vậy P đạt giá trị lớn nhất là P = 1 khi n 2 0,25 9 19 19 9 So sánh A và B biết A và B 102019 102018 102019 102018 9 19 9 9 1 A 2019 2018 2019 2018 2017 (1) 0,5 10 10 10 10 10 19 9 9 9 1 (2) B 2019 2018 2019 2018 2018 10 10 10 10 10 0,5 2 (1,5đ) Mà 2017 2018 và cơ số 10 >1 1 1 1 1 nên 102017 102018 (3) 0,25 102017 102018 102017 102018 Từ (1),(2),(3) suy ra A < B. 0,25 Vậy A < B.
5. 1 1 Do b· Oy 600 và x· Oa y· Ob x· Oa .600 300 2 2 0,5 b a 0,5 x y O 4a (2,25 đ) n a) Điểm O xy Hai tia Ox, Oy đối nhau. 0.25 Xét x· Ob và y· Ob có chung cạnh Ob, hai cạnh còn lại Ox,Oylà hai tia đối 0,25 4 nhau nên x· Ob và y· Ob là hai góc kề bù. (6đ) x· Ob b· Oy 1800 0,25 mà b· Oy 600 x· Ob 600 1800 x· Ob 1800 600 1200 Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox (bờ xy) có: 0,25 x· Oa 300 ,x· Ob 1200 x· Oa x· Ob (do 300 1200 ) Nên tia Oa nằm giữa hai tia Ox, Ob. 0,25 *) Xét x· On và y· On có chung cạnh On,hai cạnh còn lại Ox,Oylà hai tia đối nhau nên x· On và y· On là hai góc kề bù. 0,25 x· On n· Oy 1800 0,25 mà n· Oy 300 x· On 300 1800 x· On 1800 300 1500 Do x· On 1500 ,x· Oa 300 x· On x· Oa 1500 300 1800 0,25 Nên x· On,x· Oa là hai góc bù nhau (1) Vì hai tia Oa, Ob thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ xy, tia On thuộc nửa mặt phẳng bờ xy không chứa tia Ob nên hai tia Oa,On thuộc hai nửa phẳng đối nhau bờ 4b 0,25 xy x· On,x· Oa là hai góc kề nhau (2) (2,0đ) Từ (1) và (2) suy ra x· On,x· Oa là hai góc kề bù. Hai góc kề bù x· On,x· Oa có chung cạnh Ox nên hai cạnh còn lại Oa, On là 0.25 hai tia đối nhau.
6. +) Tính a·Ob 900 0,25 Vì a·Ob,b· On có chung cạnh Ob hai cạnh còn lại Oa, On là hai tia đối nhau 0,25 nên a·Ob,b· On là hai góc kề bù a·Ob b· On 1800 b· On 900 +) Kết luận Ob là tia phân giác a·On 0,25 Vẽ thêm 2019 tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox,Oy,Oa,Ob,On khi đó tổng số tia gốc O là 2019 + 5 = 2024 (tia) 0.5 Chọn một tia gốc O bất kì. Tia này tạo với 2023 tia còn lại được 2023 góc 0,25 c đỉnh O. 1,25đ Làm như vậy với tất cả 2024 tia gốc O thì tổng số 2024.2023 góc. 0,25 Nhưng nếu làm như vậy thì mỗi góc được tính hai lần nên thực tế chỉ có 2024.2023 0.25 2047276 góc đỉnh O. 2 Do p là số nguyên tố và p 3 p không chia hết cho 3 p chỉ có một trong hai dạng sau: 3k + 1, 3k + 2 với k là số tự nhiên, k > 1. +) p =3k + 1 p 1 3 p 1 p 1 3 (1) 0.25 +) p =3k + 2 p 1 3 p 1 p 1 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra p 1 p 1 3 * với mọi p là số nguyên tố lớn hơn 3 Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ p 1 , p 1 là hai số chẵn liên tiếp. Mà trong hai số chẵn liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 5 và số còn lại chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho 8 0,25 (1đ) p 1 p 1 8 Do (3,8) = 1 và 3.8 = 24 nên từ (*) và ( ) suy ra p 1 p 1 24 Có p 1 p 1 p 1 p p 1 .1 p2 p p 1 p2 1 0,25 Suy ra p2 1 24 1 p2 24 (3) Ta có 2401 p2 24.100 1 p2 (4) 0,25 Từ (3) và (4) suy ra 2401 p2 24