Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018- 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1 (4,0 điểm). 1) Tính giá trị của biểu thức sau: 2 2 3 80 33 7 11 1010 1 A  :  80 160 17 34 1010 2020 25 2 x2 y2 2) Tìm x, y biết: và x2 y2 100 9 16 Câu 2 (4,0 điểm). 1) Tìm x biết : x 1 x 3 4 2) Cho hàm số y m 2 x m 1 biết đồ thị của nó đi qua điểm M 2;6 . Tìm m và vẽ đồ thị hàm số. Câu 3 (3,5 điểm). 4 x 5 1) Cho biểu thức B với x 0. Tìm x để biểu thức B có giá trị là số nguyên. 2 x 1 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C x 1 x2 2y 1 2 3 . Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc BC H BC , kẻ HI vuông góc AB I AB , HK vuông góc AC K AC . Trên tia đối của tia IH lấy điểm M sao cho IH IM. Trên tia đối của tia KH lấy điểm N sao cho KH KN. 1) Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. 2) Chứng minh AIK IAM và IK / /MN. 1 1 1 3) Chứng minh . AH 2 AB2 AC 2 4) Vẽ AD, AE thứ tự là các tia phân giác của B· AH và C· AH D, E BC . Tính DE biết AB 3cm, AC 4cm. Câu 5 (1,5 điểm). 2x 1 Cho hàm số f x . Tìm các số nguyên dương x,y sao cho: x2 x 1 2 2y x 1 3 1 S f 1 f 2 f 3 f x 2 19 x x 1 Hết Họ và tên thí sinh: , Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2018 – 2019 I. HƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ là đưa ra các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước. Bài làm phải có lập luận chặt chẽ và biến đổi hợp lý mới cho điểm, những cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Trong bài làm các bước có liên quan với nhau, bước trước sai mà bước sau đúng thì không cho điểm. Các bài hình học không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. - Điểm thành phần cho chi tiết tới 0,25 điểm. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. Điểm toàn bài ghi bằng số thập phân. II. HƯỚNG DẪN CỤ THỂ: Câu ý Nội dung Điểm 2 3 33 7 11 1 0,50 Biến đổi A : 17 34 34 25 50 4 4 3 33 14 11 1 0,50 : 34 50 4 1) 2 1 0,25 1: 2,0 đ 4 4 3 1: 0,25 4 1) 4 4 0,5 1. 4,0đ 3 3 Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: x2 y2 x2 y2 100 0,50 4 9 16 9 16 25 2) 2,0 đ Suy ra: x2 = 36 => x = 6 hoặc x = - 6 0,50 2 y 64 => y= 8 hoặc y= -8 0,50 Kết luận: Có 4 bộ số (x;y) thỏa mãn (6; 8), (6; -8), (-6; 8), (-6; -8) 0,50 x 1 x 3 4 x 1 3 x 4 0, 50 Áp dụng tính chất A A . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A 0 0,25 Ta có: x 1 x 1 với x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 0 (1) 3 x 3 x với x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 x 0 (2) 0,25 2) 1) 4,0 đ 2,0 đ Do đó x 1 3 x 4 với x 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=”ở (1) và (2) đồng thời xảy ra Suy ra: x 1 3 x 4 khi và chỉ khi: x 1 0 x 1 1 x 3 0,50 3 x 0 x 3
3. Vậy 1 x 3 0,25 Vì điểm M(2; 6) thuộc đồ thị hàm số y m 2 x m 1 nên ta có: 0,25 6 = 2m + 4 + m – 1 => m = 1 0,25 3x; x 0 • Với m = 1 thì y 3 x 0,50 3x; x 0 • Vẽ đúng đồ thị hàm số y = 3x với x 0 là tia OA với O(0;0) và 0,50 A(1;3) • Vẽ đúng đồ thị hàm số y = -3x với x 0 là tia OB với O(0;0) và 0,25 B(-1;3) • KL: Đồ thị hàm số y 3 x là hai tia OA, OB 0,25 y 2.b) 2,0 đ B 3 A 2 1 -1 O 1 x 3 0,25 3) 1) B 2 với x 0 2 x 1
4. 3,5 đ 2,0 đ 3 0,25 Ta có: 2 x 1 1 0 3 2 x 1 2 B 5 0,25 mà B Z nên B 3;4;5 0,25 B =3 tìm được x = 1 (tmđk) 0,25 B = 4 tìm được x = 1/16 (tmđk) 0,25 B = 5 tìm được x = 0 (tmđk) 0,25 1  KL: Vậy x 0; ;1 0,25 16  Trường hợp 1: x 1 thì: C x2 x 1 2y 1 2 3 0,25 2 1 2 3 x 2y 1 3 2 4 3 Lập luận được C 3 (1) 0,25 4 2 1 1 x 3 x 0 2 0,25 C 3 khi và chỉ khi 2 2) 4 1 2 y 2y 1 0 1,5 đ 2 Trường hợp 2 0,25 x2 1 x2 1 x < -1 thì: x 1 0 (x 1) 0 C x2 x 1 3 4 (2) 0,25 3 So sánh (1) và (2) ta có C đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi và chỉ khi 4 0,25 1 1 x ; y 2 2
5. B D M I H E 0,25 C A K N Chứng minh IAH IAM (c.g.c) 0,75 AH = AM và I·AH I·AM 0,25 4) a) Chứng minh tương tự AH = AN và K· AH K· AN 0,25 7,0 đ 2,0đ Do đó AM = AN (= AH) (1) 0,25 · · · · · 0 IAH IAM KAH KAN 2.BAC 180 A;M;N thẳng hàng và A nằm giữa 0,25 M và N (2) Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của MN 0,25 Có HK // AB (cùng  AC) 0,25 Chứng minh IHA KAH (cạnh huyền – góc nhọn) 0,5 IH = AK b) 0,25 Mà IH = IM nên AK = IM 2,0đ Chứng minh AIK IAM (c.g.c) 0,5 ·AIK I·AM 0,25 IK //MN 0,25 ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 0,25 1 Và S ABC AB.AC 0,25 c) 2 1,25 1 ABC có AH  AC S ABC AH.BC 0,25 đ 2 Do đó AB.AC = AH.BC AB2.AC2 = AH2.BC2 0,25 1 BC 2 AB2 AC 2 1 1 0,25 AH 2 AB2.AC 2 AB2.AC 2 AB2 AC 2
6. Áp dụng định lí Pitago vào tam giác ABC vuông tại A tính BC = 5cm 0,25 d) Chứng minh BAE cân tại B BA = BE 0,5 1,5 Tương tự CAD cân tại C CA = CD 0,25 đ Do đó BA + CA = BE + CD = BE + EC + DE = BC + DE 0,25 DE = AB + AC – BC = 3 + 4 – 5 = 2 (cm) 0,25 3 5 7 2x 1 Tính S = 2 2 2 2 2 2  2 0,25 1 .2 2 .3 3 .4 x2 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =  1 22 22 32 32 42 x2 x 1 2 0,25 1 = 1 - x 1 2 5) Thay vào đề bài biến đổi đến (x + 1)(2y + 1) = 21 0,25 2y 1 3 1,5 đ Vì x, y N* suy ra có 2 trường hợp x 1 2 0,25 2y 1 3 y 1 * (TMĐK) x 1 7 x 6 2y 1 7 y 3 * x 1 3 x 2 (TMĐK) 0,25 Vậy có 2 bộ số (x,y) nguyên dương thỏa mãn bài toán là (2; 3); (6; 1) 0,25