Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Lý Thường Kiệt (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Lý Thường Kiệt (Có đáp án)

1. UBND QUẬN HẢI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn : TOÁN-Lớp 8 (Đề chính thức ) Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,75 điểm) Giải các phương trình sau: x2 x x2 7x2 3x a) x 3 x 3 9 x2 b) x2 x x2 x 2 24 Bài 2 (2,75 điểm) x2 y2 x2 y2 Cho biểu thức P xy y2 xy x2 xy a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Chứng tỏ không có giá trị nào của x và y để biểu thức P có giá trị bằng 0. c) Tính giá trị của P biết x, y thỏa mãn điều kiện: 3x2 + 3y2 = 10xy và x > y > 0 Bài 3 (1,5 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Ba xe khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h, 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy? Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BM là đường trung tuyến. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BM tại I và cắt BC tại E. Chứng minh rằng: a) AB2 = BI . BM b) BI = 4MI c) BE = 2EC. - Hết -
2. UBND QUẬN HẢI CHÂU HƯỚNG DẪN CHẤM THI TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi : Toán 8 Bài Nội dung Điểm x2 x x2 7x2 3x a) ĐKXĐ: x 3 0,25 x 3 x 3 9 x2 x2 x x 3 x2 x 3 3x 7x2 0,25 0x 0 0,25 Vậy nghiệm của phương trình là x ≠ ±3 0,25 b) x2 x x2 x 2 24 Đặt x2 x 1 y được phương trình ẩn y: y 1 y 1 24 0,25 Bài 1 y2 25 y 5 0,25 (2,75 điểm) x 3 2 * y = 5 x + x – 6 = 0 (x 3)(x 2) 0 x 2 0,5 * y = –5 x2 + x + 4 = 0, vô nghiệm vì 2 2 1 15 0,5 x x 4 x 0 2 4 Vậy S 3;2 0,25 a) ĐKXĐ: x 0,y 0,x y 0,25 x3 x y y3 x y x2 y2 x2 y2 P 0,5 xy x2 y2 2 2 2 2 x4 x3y xy3 y4 x4 y4 xy x y x y 0,5 xy x2 y2 xy x2 y2 x2 y2 b) Với x 0,y 0,x y x2 y2 P 0 0 x2 y2 0 x y 0 0,25 x2 y2 x = y = 0 không thỏa ĐKXĐ. Vậy không có giá trị nào của x, 0,25 Bài 2 y để P = 0. 10 (2,75 điểm) c) 3x2 3y2 10xy x2 y2 xy 3 0,25 2 2 x2 y2 x4 y4 2x2y2 x2 y2 4x2y2 100 64 x2y2 4x2y2 x2y2 0,25 9 9 8 x2 y2 xy (vì x > y > 0) 0,25 3
3. 10 8 5 Vậy P xy : xy 0,25 3 3 4 Gọi x (giờ) là thời gian ô tô đi đến thời điểm cách đều xe đạp và xe máy. Điều kiện: x > 0 Quãng đường ô tô đã đi: 55x (km) 0,25 Quãng đường xe máy đã đi: 35(x + 1) (km) Quãng đường xe đạp đã đi: 15(x + 2) (km) 0,25 Bài 3 Ta có: 15(x + 2) < 35(x + 1) (1,5 điểm) Lúc ô tô cách đều xe đạp và xe máy ta có phương trình: 35(x + 1) – 55x = 55x – 15(x + 2) 0,5 13 Giải phương trình ta được: x giờ = 1 giờ 5 phút. 0,25 12 Vậy lúc 8 giờ 5 phút ô tô cách đều xe đạp và xe máy. 0,25 B H G E 0,25 I C A M Bài 4 ∆AIB∽ ∆MAB vì: A· IB M· AB (= 900); A· BM I·BA 0,5 (3 điểm) BI AB Do đó: . Vậy AB2 = BI . BM (1) 0,25 AB BM b) Chứng minh ∆AIM∽ ∆BAM để có: AM2 = IM . BM (2) 0,5 AC AB AM MC AB2 4AM2 (3) 0,25 2 2 Từ (1), (2) và (3) có: BI . BM = 4 IM . BM 0,25 Suy ra: BI = 4 IM c) Kẻ AH  BC (H BC), AH cắt BM tại G 0,25 ∆ABE có G là trực tâm EG  AB EG // AC 0,25 ∆ABC có G là trọng tâm BG = 2GM 0,25 ∆BMC có EG // MC, BG = 2GM BE = 2EC 0,25 Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa. - Hết -