Đề thi thử Đại học, Cao đẳng môn Toán Lớp 12 - Đề số 30 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Đại học, Cao đẳng môn Toán Lớp 12 - Đề số 30 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 30) Câu 1. (2,5 điểm). x2 2x 5 1. Cho hàm số (C) : y x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất 2. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) : y x3 6x 2 9x 1 Câu 2. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: 3.25x 2 3x 10 5x 2 x 3 sin x sin y 2 2. Giải hệ phương trình: cos x cos y 2 Câu 3. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: log x cos x sin x log 1 cos x cos2x 0 . x 2. Giải bất phương trình: x3 1 x2 1 3x x 1 0 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó. Câu 4. (2 điểm) 1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0 Tìm toạ độ điểm C (P) sao cho ABC là tam giác đều. 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó. Câu 5. (2,5 điểm). / 4 xsin x 1 1. Tính : I dx ; J x x2 2x 2dx 3 0 cos x 0 2. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c . a2 bc b2 ac c2 ab 2abc 1 3 1 2 3 2 3. Cho z = i , Hãy tính : ;z;z ;(z) ;1 z z 2 2 z (Hết)
2. HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 30) Câu Ý Nội dung Điểm I 2.5 b Tìm M (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75 4 4 X x 1 ❖ y x 1 Y X . Với 0.25 x 1 X Y y TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) = | X Y | 4 4 4 7 | X | | X | 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ 2 | X | 2 2 0.5 4 4 | X | X 2 X 4 23 x 1 4 23 | X | 2 2 • Gọi M(2; m) d1: x = 2. Khi đó đt d  M d: y = k(x -2) + m. Để đt d tiếp xúc với x 3 6x 2 9x 1 k x 2 m 0,25 (C’) hệ: có nghiệm 2 3x 12x 9 k 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm. • Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1) • Xét hàm số y = 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m y’ = 6(x-2)2 0 x Hàm luôn đồng biến Pt (1) luôn có 0,5 nghiệm duy nhất từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị (C’). II 1,5 1 Giải phương trình: 0,75 3.25x 2 3x 10 5x 2 x 3 5x 2 3.5x 2 1 x 3.5x 2 1 3 3.5x 2 1 0 0.25 3.5x 2 1 5x 2 x 3 0 3.5x 2 1 0 1 x 2 0.25 5 x 3 0 2 1 1 1 5x 2 x 2 log 2 log 3 3 5 3 5
3. 2 5x 2 x 3 Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất. 0.25 Vậy Pt có nghiệm là: x = 2 log5 3 và x = 2 2 Giải hệ phương trình: 0,75 sin x sin y 2 sin x cos x sin y cos y 2 2 0.25 cos x cos y 2 cos x 1 x k2 4 4 cos x cos y 2 0.25 4 4 cos y 1 y l2 4 4 Thử lại thấy đúng nên: x k2 4 0.25 là nghiệm của hệ phương trình. y l2 4 III 1,5 1 Giải phương trình: . 0,5 log x cos x sin x log 1 cos x cos2x 0 x 0 x 1 Điều kiện: cos x sin x 0 . 0.25 cos x cos2x 0 Khi đó Pt cos2x sin x cos2x cos x 2
4. 2x x k2 x k2 2 2 k2 . 2x x k2 x 0.25 2 6 3 k2 Kết hợp với điều kiện ta được: x (Với k ∊ N*). 6 3 2 Giải bất phương trình: 0,5 x3 1 x2 1 3x x 1 0 x3 x2 3 x3 x2 2 0 2 0.25 t 2 3t 2 0 Đặt t x x 1 3 2 t 3 2 2 t x x 1 x 1 0.25 t 1 3 3 t 2 3 0,5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C5 tập con gồm 5 chữ 10 0,25 số khác nhau. Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất 0,25 5 cả C10 = 252 số. IV 2.0 1 Xác định tọa độ điểm C (P) sao cho ABC đều 1.0 Để ABC là tam giác đều đường cao MC = AB 3 / 2 6 Gọi M là trung điểm của AB M(1; 0; - 2). 0,25 Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB (Q): x + z + 1 = 0 Gọi d = (P) n (Q) x 2 2t 3x 8y 7z 1 0 d : y t 0,25 x z 1 0 z 1 2t C d C(-2 - 2t; t; 1 + 2t)
5.  MC 3 2t;t;3 2t MC 6 3 2t 2 t 2 3 2t 2 6 2 2 9t 24t 12 0 3t 8t 4 0 t1 2;t2 2/3 0,25 2 2 1 C1 2; 2; 3 , C2 ; ; 3 3 3 0.25 2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện. 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có: GE = GF = c/2. ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB 2 2 2 2 2 2 0.25 2 2 2AC 2AD CD 2b 2c a ⇒ FA FB 4 4 FE là trung tuyến của ∆FAB nên: 2FA2 2FB2 AB2 b2 c2 a 2 FE 2 0.25 4 2
6. Gọi ￿ là góc tạo bởi AD và BC ta có : c2 b2 c2 a 2 2 2 2 | | | GE GF FE | 2 2 cos | cos GE,GF | 2 2GE.GF c 0.25 2 | a 2 b2 | | a 2 b2 | . Vậy cos c2 c2 Tương tự nếu gọi ￿￿￿￿ lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và | b2 c2 | | c2 a 2 | DB, AC ta có: cos , cos 0.25 a 2 b2 3 0,5 5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C9 tập con gồm 5 chữ 0,25 số khác nhau. Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất 0,25 5 cả C9 = 126 số. V 2,5 1 0,5 u x du dx Đặt: d cos x 1 0,25 dv v cos3 x 2.cos2 x
7. x 1 / 4 dx 1 1 I 4 tgx / 4 2 0 2 0 0,25 2cos x 2 0 cos x 4 2 4 2 2 1,0 1 J x x2 2x 2dx . Đặt: x - 1 = tgt 0 dt 1 dx ; x2 2x 2 cos2 t cost 0,25 0 tgt 1 0 sint 0 dt J dt dt 3 4 3 cos t cos t cos t 4 4 4 1 0 1 3 J1 1 2 2 J1 3cos t 4 3 0,25 2 sin t u 0 du 1 0 1 u 1 u J du 1 2 2 2 2 1 1 u 1 u 4 1 1 u 1 u 2 2 1 0 du 0 du 0 du . 2 2 2 0,25 4 1 1 u 1 1 u 1 1 u 1 u 2 2 2 1 1 1 1 u 0 1 u 1 u 0 2ln 2ln 2 2 2 4 1 u 1 u 1 u 4 1 u 1 u 2 2 0,25 1 2 1 1 2 2ln 2 4ln 2 1 . 4 2 1 4 3 1,0 1 1 1 a b c . a 2 bc b2 ac c2 ab 2abc 1 1 a 2 bc 2a bc a 2 bc 2a bc 0.5 1 1 Ta có: b2 ca 2b ca b2 ca 2b ca 1 1 c2 ab 2c ab c2 ab 2c ab
8. 1 1 1 1 1 1 a2 bc b2 ca c2 ab 2a bc 2b ca 2b ca b c c a a b 1 bc ca ab a b c 0.5 . 2 2 2 2 abc 2abc 2abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.