Đề thi thử Đại học môn Toán Lớp 12 - Đề số 2 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Đại học môn Toán Lớp 12 - Đề số 2 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 Đề Số 2 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 2. Giải bất phương trình 4x 3 x2 3x 4 8x 6 3 cotx Câu III ( 1điểm)Tính tích phân I dx sinx.sin x 6 4 Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) là tam giác đều cạnh a. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 300. Câu V (1 điểm) Cho a,b, c dương và a2+b2+c2=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P b2 3 c2 3 a2 3 PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 y2 2x 8y 8 0 . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. 2. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn : z 2 i 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 2 4 6 100 1. Tính giá trị biểu thức: A 4C100 8C100 12C100 200C100 . 2. Cho hai đường thẳng có phương trình:
2. x 3 t x 2 z 3 d1 : y 1 d2 : y 7 2t 3 2 z 1 t Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập phức: z2+3(1+i)z-6-13i=0 Hết
3. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung Điểm Tập xác định: D=R lim x3 3x2 2 lim x3 3x2 2 x x x 0 2 y’=3x -6x=0 x 2 0,25 đ Bảng biến thiên: x - 0 2 + y’ + 0 - 0 + 0,25 đ 2 + y - -2 1 Hàm số đồng biến trên khoảng: (- ;0) và (2; + ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) fCĐ=f(0)=2; fCT=f(2)=-2 0,5 đ y’’=6x-6=0 x=1 khi x=1=>y=0 I x=3=>y=2 x=-1=>y=-2 Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) là tâm đối xứng. Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4 P=6>0 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng 0,25 đ y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng 0,25 đ 2 Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 4 0,25 đ x y 3x 2 5 4 2 => M ; y 2x 2 2 5 5 y 5 Giải phương trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 (1) II 1 1 cos2x 1 2sin x 1 2sin x 0 0,5 đ cos2x 1 1 2sin x 0
4. Khi cos2x=1 x k , k Z 1 5 0,5 đ Khi sinx x k2 hoặc x k2 , k Z 2 6 6 Giải bất phương trình: 4x 3 x2 3x 4 8x 6 (1) (1) 4x 3 x2 3x 4 2 0 0,25 đ Ta có: 4x-3=0 x=3/4 0,25 đ x2 3x 4 2=0 x=0;x=3 2 Bảng xét dấu: x - 0 ¾ 2 + 4x-3 - - 0 + + 0,25 đ x2 3x 4 2 + 0 - - 0 + Vế trái - 0 + 0 - 0 + 3 Vậy bất phương trình có nghiệm: x 0; 3; 0,25 đ 4 Tính 3 cot x 3 cot x I dx 2 dx 0,25 đ sinx sinx cos x sin x sin x 6 4 6 3 cot x 2 dx 2 sin x 1 cot x III 6 1 0,25 đ Đặt 1+cotx=t dx dt sin2 x 3 1 0,25 đ Khi x t 1 3; x t 6 3 3 3 1 0,25 đ t 1 3 1 2 Vậy I 2 dt 2 t ln t 2 ln 3 3 1 3 1 t 3 3 3 Gọi chân đường vuông góc hạ từ S S xuống BC là H. Xét SHA(vuông tại H) 0,25 đ a 3 AH SAcos300 2 K Mà ABC đều cạnh a, mà cạnh IV A C H B
5. a 3 AH 0,25 đ 2 => H là trung điểm của cạnh BC => AH  BC, mà SH  BC => BC(SAH) Từ H hạ đường vuông góc xuống SA tại K 0,25 đ => HK là khoảng cách giữa BC và SA AH a 3 => HK AHsin 300 2 4 a 3 0,25 đ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng 4 Ta có: a3 a3 b2 3 a6 3a2 33 (1) 2 b2 3 2 b2 3 16 64 4 b3 b3 c2 3 c6 3c2 0,5 đ 33 (2) 2 c2 3 2 c2 3 16 64 4 c3 c3 a2 3 c6 3c2 V 33 (3) 2 a2 3 2 a2 3 16 64 4 Lấy (1)+(2)+(3) ta được: a2 b2 c2 9 3 0,25 đ P a2 b2 c2 (4) 16 4 2 2 2 Vì a +b +c =3 0,25 đ 3 3 Từ (4) P vậy giá trị nhỏ nhất P khi a=b=c=1. 2 2 PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 0,25 đ Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là , => : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0) Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6=> 0,25 đ khoảng cách từ tâm I đến bằng 52 32 4 1 3 4 c c 4 10 1 d I, 4 (thỏa mãn c≠2) 32 1 c 4 10 1 0,25 đ VI.a Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3x y 4 10 1 0 hoặc 0,25 đ 3x y 4 10 1 0.  Ta có AB 1; 4; 3 x 1 t 2 Phương trình đường thẳng AB: y 5 4t 0,25 đ z 4 3t
6. Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên   cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) 0,25 đ DC (a;4a 3;3a 3)   21 0,25 đ Vì AB  DC =>-a-16a+12-9a+9=0 a 26 0,25 đ 5 49 41 Tọa độ điểm D ; ; 26 26 26 Gọi số phức z=a+bi 0,25 đ 2 2 a 2 b 1 i 2 a 2 b 1 4 Theo bài ra ta có: 0,25 đ b a 3 b a 3 VII.a a 2 2 a 2 2 hoac 0,25 đ b 1 2 b 1 2 Vậy số phức cần tìm là: z= 2 2 +( 1 2 )i; z= z= 2 2 +( 0,25 đ 1 2 )i. A. Theo chương trình nâng cao Ta có: 1 x 100 C 0 C1 x C 2 x2 C100 x100 (1) 100 100 100 100 0,25 đ 100 0 1 2 2 3 3 100 100 1 x C100 C100 x C100 x C100 x C100 x (2) Lấy (1)+(2) ta được: 100 100 0 2 2 4 4 100 100 0,25 đ 1 x 1 x 2C 2C x 2C x 2C x 1 100 100 100 100 Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được 0,25 đ 99 99 2 4 3 100 99 100 1 x 100 1 x 4C100 x 8C100 x 200C100 x Thay x=1 vào 99 2 4 100 0,25 đ => A 100.2 4C100 8C100 200C100 Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1- 0,25 đ VI.b b).   Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA kMB 0,25 đ   MA 3a 1;a 11; 4 2a , MB b; 2b 3; b 0,25 đ 3a 1 kb 3a kb 1 a 1 2 a 11 2kb 3k a 3k 2kb 11 k 2 4 2a kb 2a kb 4 b 1  => MA 2; 10; 2 0,25 đ x 3 2t Phương trình đường thẳng AB là: y 10 10t z 1 2t VII.b =24+70i, 0,25 đ
7. 7 5i hoặc 7 5i 0,25 đ z 2 i 0,25 đ 0,25 đ z 5 4i