Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Cấp huyện, Cấp THCS) - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Cấp huyện, Cấp THCS) - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HƯNG HÀ Cấp huyện, cấp THCS năm học 2019- 2020 Môn kiểm tra: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề kiểm tra này gồm 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm): 5.415.99 4.320.89 1) Tính A 5.29.619 7.229.276 1 1 1 1 1 1 1 2) Cho B . Chứng minh: B < 3 32 33 34 32016 32017 2 Câu 2 ( 3,0 điểm): x 5 y 3 z 1 y4.z2020 1) Cho và x y z 2 . Tính giá trị của biểu thức : M 4 5 2 x2019 a b c a3 b3 c3 a 2) Cho: . Chứng minh: b c d b3 c3 d 3 d Câu 3 (3,0 điểm): 1 1) Cho ba phân số có tổng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với các số 3; 4; 5 và các mẫu tương 70 ứng của chúng tỉ lệ với các số 5; 1; 2. Tính tích của các phân số vừa tìm được. 2) Cho x 2 y 1 (x y z 2)2020 0 . Tính giá trị của: A= 505x2y2020z2021 Câu 4 (3,0 điểm): 1) Vẽ đồ thị hàm số y = |x| - 2x. 2) Cho hàm số f(x) = ax2 bx c . Chứng minh rằng: Nếu 5a- 3b + 2c = 0 thì f(-1).f(-2) không thể nhận giá trị dương. Câu 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c) Gọi O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với MN tại I và đường phân giác của B· AC . Chứng minh O là điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. a b c Câu 6 (1,0 điểm ). Cho A 1 ( a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác) b c c a a b Chứng minh A không là số nguyên. === Hết === Họ và tên thí sinh: Số báo danh Giám thị 1: Giám thị 2: 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 2019 – 2020 Môn kiểm tra: Toán 7 Câu 1 (4,0 điểm): 5.415.99 4.320.89 1) Tính A 5.29.619 7.229.276 1 1 1 1 1 1 1 2) Cho B . Chứng minh: B < 3 32 33 34 32016 32017 2 Câu Ý Nội dung Điểm 1 5 . 4 15 . 9 9 4 . 3 20 . 8 9 A 1 2,0đ 5 . 2 9 . 6 19 7 . 2 29 . 27 6 4,0đ 5 . 2 30 . 3 18 2 2 . 3 20 . 2 27 0,25 A 9 19 19 29 18 x 5 . 2 . 2 3 7 . 2 . 3 5 . 2 30 . 3 18 2 29 . 3 20 . 0,5 A 5 . 2 28 . 3 19 7 . 2 29 . 3 18 2 29 . 3 18 ( 5 . 2 3 2 ) 0,5 A 2 28 3 18 ( 5 . 3 7 . 2 ) 2.1 0,5 A 1 A 2 0,25 2 1 1 1 1 1 1 B 2,0đ 2 3 4 2016 2017 3 3 3 3 3 3 0,5 1 1 1 3B= 1+ 3 32 32016 1 0,5 3B-B =1- 32017 1 1 1 0,5 B 2 2.32017 2 1 B 2 0,5 Câu 2 ( 3,0 điểm): x 5 y 3 z 1 y4.z2020 1) Cho và x y z 2 . Tính giá trị của biểu thức : M 4 5 2 x2019 a b c a3 b3 c3 a 2) Cho: . Chứng minh: b c d b3 c3 d 3 d 2
3. Câu Ý Nội dung Điểm 2 1 Theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: 3,0đ 1,5đ x 5 y 3 z 1 = 4 5 2 0,5 (x 5) (y 3) (z 1) (x y z) 9 2 9 x 1 4 5 2 11 11 Từ đó tìm ra x; y ;z tương ứng: x = -1; y = 2; z =1 0, 5 24.12020 16 0, 5 Thay vào biểu thức M, ta có: M 16 . ( 1)2019 1 3 3 3 2 a b c a b c a3 b3 c3 Ta có: => => 1,5đ 3 3 3 0,5 b c d b c d b c d Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: 0,5 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 (1) b 3 c 3 d 3 b 3 c 3 d 3 a3 a a a a b c a 0,25 Lại có: . . . . (2) b3 b b b b c d d a3 b3 c3 a 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: b3 c3 d 3 d Câu 3 (3,0 điểm): 1 1) Cho ba phân số có tổng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với các số 3; 4; 5 và các mẫu tương 70 ứng của chúng tỉ lệ với các số 5; 1; 2. Tính tích của các phân số vừa tìm được. 2) Cho x 2 y 1 (x y z 2)2020 0 . Tính giá trị của: A= 505x2y2020z2021 Câu Ý Nội dung Điểm 3 1 a c e Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là ; ; (với a; b; c; d; e; 3,0đ 1,5đ b d f 0,25 f Z; b; d, f ≠ 0) x 1 a c e 1 71 0,25 Vì ba phân số có tổng bằng 1 nên ta có 1 70 b d f 70 70 Vì các tử của các phân số tỉ lệ thuận với các số 3; 4; 5 nên a c e 0,25 3 4 5 a 3m a c e Đặt m c 4m 3 4 5 e 5m Vì các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ thuận với các số 5; 1; 2 b d f 0,25 nên 5 1 2 3
4. b 5n b d f n d n Đặt 5 1 2 f 2n Do đó ta có: 0,25 a c e 3m 4m 5m b d f 5n 1n 2n m 3 4 5 m 71 71 m 1 . . n 5 1 2 n 10 70 n 7 a 3m 3 b 5n 35 c 4m 4 (t / m) d 1n 7 e 5m 5 f 2n 14 3 4 5 6 Vậy tích của ba phân số cần tìm là . . 35 7 14 343 0,25 2 1,5đ Vì x 2 0  x; y 1 0  y ;( x+y-z-2)2020 0  x,y,z 0,5 Do đó x 2 y 1 (x y z 2)2020 0 khi và chỉ khi ì x 2 0 x 2 ï x - 2 = 0 0,5 ï í y- 1 = 0 y 1 0 y 1 ï 2020 îï (x + y- z- 2) = 0 x y z 2 0 z 1 Khi đó A= 505x2y2020z2021 = 505. 22 .12020.12021 0,5 = 505.4.1.1 = 2020 Câu 4 (3,0 điểm): 1) Vẽ đồ thị hàm số y = |x| - 2x. 2) Cho hàm số f(x) = ax2 bx c . Chứng minh rằng: Nếu 5a - 3b + 2c = 0 thì f(-1).f(-2) không thể nhận giá trị dương. Câu Ý Nội dung Điểm 4 1 3,0đ 1,5đ x kh i x 0 0,5 Ta có y x 2x = 3 x kh i x 0 - Với x = 1 thì y =-1. Ta có điểm A(1;-1) thuộc đồ thị của hàm số 0,5 - Với x= 0 thì y = 0. Ta có điểm O(0 ; 0) thuộc đồ thị của hàm số - Với x = -1thì y = 3. Ta có điểm B(-1;3) thuộc đồ thị của hàm số 4
5. y B 3 1 -1 O 1 x 0,5 -1 A Đồ thị của hàm số y = |x| - 2x gồm 2 tia OA, OB trên mặt phẳng tọa độ Oxy 2 a( 1)2 b( 1) c 1,5đ Ta có f(-1) = = a – b +c 0,25 0,25 Ta có f(-2) = a( 2)2 b( 2) c 4a 2b c 0,25 Xét: f(-1) + f(-2) = a b c 4a 2b c 5a 3b 2c 0 Suy ra f(-1) = - f(-2) 0,25 2 Nên f(-1).f(-2) =  f ( 2) 0 0,25 Vậy f(-1).f(-2) không thể nhận giá trị dương 0,25 Câu 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c) Gọi O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với MN tại I và đường phân giác của B· AC . Chứng minh O là điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. 5
6. A M I C B E D H N O a) ∆ABC cân tại A ·ABC ·ACB 0,5 ·ACB E· CN (hai góc đối đỉnh). ·ABC E· CN 0,5 Chứng minh: ∆BMD = ∆CNE (cạnh góc vuông –góc nhọn kề) 0,75 =>DM=EN(2 cạnh tương ứng) 0,25 b) Ta có: MD  BC NE  BC => MD//NE 0,5 I·MD I·NE (2 góc so le trong) Chứng minh: ∆ MDI = ∆NEI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề) 1,0 =>IM=IN (2 cạnh tương ứng) 6,0đ => Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN 0,5 c) Chứng minh ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) Suy ra: ·ABO ·ACO (hai góc tương ứng) (1) BO = CO ( hai cạnh tương ứng) 0,5 Chứng minh: ∆MIO = ∆NIO (c.g.c) => OM = ON ( hai cạnh tương ứng) 0,5 Theo chứng minh trên : ∆BMD = ∆CNE => BM = CN ( hai cạnh tương ứng) Chứng minh: ∆BMO = ∆CNO (c.c.c) 0,5 M· BO N· CO (hai góc tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra ·ACO N· CO Mà hai góc này là hai góc kề bù ·ACO N· CO 90o ·ACO ·ABO 90o 0,25 AB  BO; AC  CO Vì ∆ABC cố định nên đường vuông góc với AB và AC cố 0,25 định. Do đó điểm O cố định khi D di chuyển trên cạnh BC 6
7. a b c Câu 6 (1,0 điểm ). Cho A 1 ( a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác) b c c a a b Chứng minh A không là số nguyên. Câu Ý Nội dung Điểm 6 Vì a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên áp dụng bất 1,0đ đẳng thức tam giác ta có: a, b, c> 0 ; b+ c > a Xét hiệu: a a a 2a.(b c) a.(b c a) b c a b c (b c a).(b c) 2ab 2ac ab ac a2 ab ac a2 a(b c a) (b c a).(b c) (b c a).(b c) (b c a).(b c) Vì b+c>a => b+c-a> 0; a>0; b+c>0; a+b+c>0 . Suy ra a(b c a) a a a a a a >0 => >0 0,25 (b c a).(b c) b c a b c b c b c a b b b Tương tự, ta có: . (2) c a c a b c c c . (3) a b a b c a b c 2a 2b 2c Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 0,25 b c c a a b a b c Mặt khác : Vì a,b,c > 0 nên a a b b c c ; ; b c a b c c a a b c a b a b c a b c 1 0,25 b c c a a b Do đó: a b c 1 2 b c c a a b a b c 0 1 1 b c c a a b 0,25 0 A 1 Vậy A không là số nguyên. (trên đây chỉ là một cách giải, học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) 7