Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Cấp huyện, Cấp THCS) - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Cấp huyện, Cấp THCS) - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HƯNG HÀ Cấp huyện, cấp THCS năm học 2019-2020 Môn kiểm tra: Toán 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề này gồm 01 trang) Bài 1: (6,0 điểm) 1. Cho S1 = 1 + 2 S2 = 3 + 4 + 5 S3 = 6 + 7 + 8 + 9 S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 Tính S100 ? 2. Tính nhanh: A = 9 + 99 + 999 + . + 99. . 9 2019 chữ số 9 B = 456.789789 789.456456 .2019! Bài 2: (6,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y biết: xy + 3x = 5y – 2 b) Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p +12; p + 14 đều là số nguyên tố Bài 3: (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương b) Cho A 2018 x 5 , với giá trị nào của x thì A có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 4: (2,0 điểm) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Hỏi số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? Bài 5: (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a. Điểm C nằm giữa A và B. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CB. a a) Chứng tỏ rằng MN 2 b) Kết quả câu a còn đúng không nếu điểm C thuộc đường thẳng AB. Bài 6: (1,0 điểm) Viết liền nhau kết quả của 4 50 và 2550 ta được một số có bao nhiêu chữ số ? Hết 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 2019-2020 Môn kiểm tra: Toán 6 Bài Ý Nội dung Điểm S1 = 1 + 2 S2 = 3 + 4 + 5 S3 = 6 + 7 + 8 + 9 S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 Nhận xét S1 có 2 số hạng S2 có 3 số hạng S3 có 4 số hạng S4 có 5 số hạng . 1 1đ (3,0 S100 có 101 số hạng điểm) Số hạng đầu tiên của S1; S2; S3; S4 lập thành dãy 1; 3; 6; 10; Có a1 = 1 a2 = 3 = 1+2 a3 = 6 = 1+2+3 a4 = 10 = 1+2+3+4 1đ 1(6,0 100 1 .100 điểm) a100 = 1+2+3+4+ +100 = 5050 2 Do đó số hạng đầu tiên của S100 là 5050 Số hạng cuối cùng của S100 là 5050+101 – 1 = 5150 Ta có: S100 = 5050 +5051+5052+5053+ +5150 = (5050+5150).101:2 = 51510 1đ A = 9 + 99 + 999 + . + 99. . 9 0,5đ 2019 chữ số 9 = (10-1) + (100-1) + (1000-1) + + (1000 . 0 -1) 2019 chữ số 0 0,5đ = (10 + 100+1000+ +1000 . 0 ) – (1+1+1+ +1) 2019 chữ số 0 2019 số hạng 1 2 = 111  10 - 2019 (3,0 2019 chữ số 1 điểm) = 111  109091 2015 chữ số 1 0,5đ B = 456.789789 789.456456 .2019! = (456.789.1001- 789.456.1001).2019! = 0.2019! 1,5đ =0 2
3. Có xy +3x = 5y -2 0,5đ x(y+3) = 5y+15 – 17 x(y+3) = 5(y+3) – 17 5(y+3) - x(y+3) = 17 (y+3)(5-x) = 17(1) 0,5đ y+3 và 5-x Ư(17) = 1; 1;17; 17 a (2,0 điểm) Ta có bảng sau: y+3 1 -1 17 -17 y -2 -4 14 -20 5 - x 17 -17 1 -1 0,5đ x -12 22 4 6 Vậy các cặp (x;y) thỏa mãn bài ra là: (-12;2); (22; -4); (4;14); (6;-20) 0,5đ Xét các trường hợp của số nguyên tố p ta có. * Nếu p = 2 thì p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 đều là cá số chẵn lớn hơn 2 2 nên chúng đều là hợp số. ( không thỏa mãn đề bài ) ( loại p = 2 ) (1) 0,25đ (6,0 * Nếu p = 3 thì p + 6 > 3 và p + 6 = 9 là hợp số (không thỏa mãn đề bài ) điểm) ( loại p = 3 ) (2) 0,25đ * Nếu p = 5 thì p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 đều lớn hơn 5 và p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 12 = 17, p+ 14 = 19 đều là các số nguyên tố (thỏa mãn 0,25đ đề bài) (chọn p = 5 ),(3) * Nếu p >5 thì p không chia hết cho 5 do p là nguyên tố. Nên p có dạng 0,25đ 5k + 1, hoặc 5k + 2, hoặc 5k + 3, hoặc 5k + 4. (với k là số tự nhiên khác b 0) (2,0 + Trường hợp: p =5k + 1 thì p + 14 = 5 k + 15 lớn hơn 5 và chia hết cho điểm) 5 p + 14 là hợp số. ( *1) + Trường hợp: p =5k + 2 thì p + 8 = 5 k + 10 lớn hơn 5 và chia hết cho 5 p + 8 là hợp số. ( *2) + Trường hợp: p =5k + 3 thì p + 12 = 5 k + 15 lớn hơn 5 và chia hết cho 5 p + 12 là hợp số. ( *3) + Trường hợp: p =5k + 4 thì p + 6 = 5 k + 10 lớn hơn 5 và chia hết cho 5 0,5đ p + 10 là hợp số. ( *4) Từ ( *1) ,( *2) ,( *3) ,( *4) với p > 5 thì p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 không đồng thời là số nguyên tố. Loại p >5 ( 4 ) 0,25đ 0,25đ Từ (1), ( 2 ), ( 3 ) và ( 4 ) p = 5 Theo bài ra n là số tự nhiên có 2 chữ số, ta có 10≤ n ≤ 99 0,75đ 21 ≤ 2n +1 ≤ 199 3 a (1,5 Các số chính phương có dạng 2n +1 trong khoảng từ 21 đến 199 là: 25; (3,0 điểm) 49; 81; 121; 169 điểm) 0,25đ n 12;24;40;60;84 3n + 1 37;73;121;181;253 0,25đ 3
4. Vì 3n +1 là số chính phương 3n+1 = 121 3n = 120 0,25đ n = 40 Vậy với n = 40 thì 2n +1 và 3n+1 đồng thời là số chính phương Vì x Z nên x 5 N 0,5đ Do đó A nhỏ nhất x 5 nhỏ nhất b (1,5 x 5 0 x+5 = 0 x = -5 0,5đ điểm) Vậy x = -5 thì A có giá trị nhỏ nhất Khi đó A = 2018 – 0 = 2018 0,5đ Gọi số tự nhiên khi chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 là A 0,5đ (ĐK: A N*, A>5) Theo bài ra ta có: A:7 dư 5 A=7k+5(k N) (1) A:13 dư 4 A = 13l+4(l N) (2) Từ (1) và (2) 7k+5 = 13l+4 0,5đ 7k = 13l - 1 Vì 7k7 nên 13l-17 4 13l-1+147 (2,0 13l+137 0,5đ điểm) 13(l+1) 7 Vì 13 không chia hết 7 nên l+17 l+1 = 7m l = 7m -1 Thay l = 7m – 1 vào (2) ta có: A = 13(7m-1)+4 = 91m -13 + 4 = 91m-9 (m N*) A:91 thiếu 9 hay A:91 dư 82. 0,5đ Vậy một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia 13 dư 4 thì chia cho 91 dư 8 Theo bài ra điểm C nằm giữa 2 điểm A và B AC + CB = AB = a (1) 0,5đ M là trung điểm của AC AC MC AC 2MC (2) 2 N là trung điểm của CB 5 a(2,0 CB (4,0 NC CB 2NC (3) điểm) 0,5đ điểm) 2 Thay (2) và (3) vào (1) ta có: 2MC + 2NC = a 2(MC +NC) = a a MC NC (4) 2 Theo bài ra có: Điểm C nằm giữa hai điểm A và B 4
5. M nằm giữa hai điểm A và C (vì M là trung điểm của AC) 0,5đ N nằm giữa hai điểm C và B (vì N là trung điểm của CB) C nằm giữa M và N MC + CN = MN (5) a Từ (4) và (5) MN = 2 0,5đ Trường hợp 1: Điểm C thuộc tia đối của tia AB 0,5đ Điểm C thuộc tia đối của tia AB Hai tia AC và AB đối nhau A nằm giữa C và B CA + AB = CB CA + a = CB M là trung điểm của AC AC MC 0,5đ 2 N là trung điểm của CB CB CA a NC 2 2 Có M, N thuộc tia CA CA CA a CM CN 2 2 M nằm giữa C và N CM + MN = CN b(2,0 điểm) MN = CN – CM CA a CA MN = NC 2 2 a MN = 2 Trường hợp 2: Điểm C thuộc tia đối của tia BA Điểm C thuộc tia đối của tia BA Hai tia BA và BC đối nhau B nằm giữa A và C 0,5đ AB + BC = AC a + BC = AC M là trung điểm của AC AC a BC MC 2 2 N là trung điểm của CB CB NC 2 0,5đ Có M, N thuộc tia CB 5
6. CB CB a CM CN 2 2 N nằm giữa C và M CN + MN = CM MN = CM – CN CB a CB MN = NC 2 2 a MN = 2 Như vậy kết quả câu a vẫn còn đúng nếu điểm C thuộc đường thẳng AB Giả sử số 450 có m chữ số; số 2550 có n chữ số 0,25đ Khi đó 10m-1 < 450 10m (1) 10n-1< 2550 < 10n (2) 6 Từ (1) và (2) ta có (1,0 10m+n-2 < 10050 < 10m+n 0,25đ điểm) 10m+n-2 < 10100 < 10m+n Suy ra: m + n – 1 = 100 0,25đ m + n = 101 Vậy khi viết liền nhau kết quả của 450 và 2550 ta được số có 101 chữ số. 0,25đ Chú ý: - Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu (không làm tròn số) - Đây là đáp án và biểu điểm cụ thể cho một cách giải của từng ý, từng câu. Trong quá trình chấm, đối với những lời giải khác hợp lí và cho kết quả đúng, yêu cầu giám khảo cho điểm tối đa. 6