Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng giải bài toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó cho học sinh Lớp 4

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng giải bài toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó cho học sinh Lớp 4

1. A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận Nói tới tương lai của chúng ta không thể không nói đến giáo dục, vì Giáo dục và Đào tạo là chìa khoá để mở cửa tiến vào tương lai. Đất nước ta đã và đang bước vào thời kỳ đổi mới, chất lượng giáo dục là vấn đề hàng đầu trong nội dung công tác của ngành giáo dục, là vấn đề sống còn của một đất nước, một dân tộc. Ở trường Tiểu học, mỗi môn học đều góp phần vào việc hình thành, phát triển những cơ sở ban đầu rất quan trọng của nhân cách con người Việt Nam. Trong các môn học ở bậc Tiểu học, môn Toán có vị trí rất quan trọng vì những lí do sau: + Các kiến thức và kĩ năng của môn Toán có nhiều ứng dụng trong đời sống sinh hoạt của mọi người dân lao động. + Môn Toán giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng, hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống. + Môn Toán góp phần quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp tư duy, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề góp phần phát triển trí thông minh, độc lập, sáng tạo, góp phần vào việc hình thành các phẩm chất của người lao động mới. Việc dạy giải toán là một trong những nội dung của chương trình môn Toán ở Tiểu học nhằm giúp học sinh tiếp thu và vận dụng những kiến thức về Toán, rèn luyện kĩ năng thực hành với những yêu cầu được thể hiện một cách đa dạng phong phú. Dạy học Toán giúp học sinh có điều kiện rèn luyện, phát triển năng lực tư duy và tư cách phẩm chất của con người mới. 2. Cơ sở thực tiễn - Trong thực tế, chất lượng giải toán có lời văn ở Tiểu học nói chung và chất lượng giải toán có lời văn ở lớp 4 nói riêng vẫn còn là mặt hạn chế của nhiều em học sinh khi học môn Toán. Đặc biệt kỹ năng giải dạng bài Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó là vấn đề cần được quan tâm nhiều hơn. - Trước thực tế như vậy, tôi luôn suy nghĩ: Làm thế nào để giúp học sinh lớp 4 có kỹ năng giải dạng bài Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó góp phần nâng cao chất lượng học môn Toán cho học sinh lớp 4, giúp các em có kỹ năng giải toán với tinh thần tự giác và hứng thú học tập. Đặc biệt là đối tượng học sinh vùng nông thôn . 1/22
2. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài : Rèn kĩ năng giải bài toán “ Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 4 để nghiên cứu và áp dụng vào quá trình dạy - học nhằm nâng cao chất lượng môn Toán ở lớp 4. II. MỤC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Tự trau dồi nghiệp vụ chuyên môn của bản thân, nâng cao chất lượng dạy học. - Nâng cao chất lượng dạy - học môn Toán lớp 4A, giúp học sinh tích cực, hứng thú học tập, biết vận dụng những kiến thức về toán, rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó góp phần thực hiện mục tiêu chung của môn Toán lớp 4. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Rèn kĩ năng giải bài toán “ Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 4. - Đối tượng khảo sát và thực nghiệm: Học sinh lớp 4 - Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu: + Tìm hiểu vị trí và mục tiêu của việc dạy học giải toán lớp 4 ở trường Tiểu học, đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4. + Tìm hiểu các cơ sở khoa học của việc rèn kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 4. + Tìm hiểu thực trạng việc dạy học giải toán lớp 4 ở trường Tiểu học. + Các giải pháp giúp học sinh lớp 4 giải toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó. + Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trong năm học 2018 – 2019. B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I. KHẢO SÁT THỰC TẾ 1. Tình trạng khi chưa thực hiện - Qua tham khảo, trao đổi với các đồng nghiệp cùng với kinh nghiệm bản thân. Qua quá trình công tác giảng dạy nhiều năm, tôi nhận thấy khi giải dạng toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó, học sinh lớp 4 còn gặp phải một số tồn tại sau: + Hiểu chưa đúng thuật ngữ Toán học dẫn tới hiểu sai đầu bài. + Khả năng tóm tắt bài toán chưa tốt. + Nhận dạng bài toán sai dẫn đến giải sai. + Câu lời giải bài toán còn chưa đúng hoặc chưa chặt chẽ. + Phép tính giải chưa đúng ý nghĩa bài toán. + Viết sai danh số. 2/22
3. + Tính toán sai - Ngoài một số tồn tại như trên, khi giải dạng bài toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó, các em còn có thêm một số tồn tại sau: + Chưa có thói quen đọc kĩ đề bài nên nhận dạng bài toán chưa tốt. + Lúng túng trong việc xác định tỉ số, hiệu hai số và mối quan hệ giữa tỉ số với các đại lượng đã cho trong bài toán. + Chưa có thói quen lập kế hoạch giải bài toán. + Chưa có kĩ năng trình bày bài giải và kiểm tra kết quả 2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài Cho học sinh làm bài kiểm tra: Đề bài: 1. Hiệu của hai số là 30. Số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai. Tìm hai số đó. 2. Một cửa hàng có số gạo nếp ít hơn số gạo tẻ là 540 kg. Tính số gạo mỗi 1 loại biết rằng số gạo nếp bằng số gạo tẻ. 4 * Kết quả khảo sát thu được như sau: Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm dưới 5 SL - % SL - % SL-% SL - % 16 = 36,4 % 14 = 31,8 % 10 = 22,7% 4 = 9,1 % 3. Nguyên nhân - Nhiều học sinh chưa có thói quen đọc kĩ đề bài, lập kế hoạch trước khi giải bài toán. - Một số học sinh chưa nắm chắc cách giải dạng bài toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó, còn lúng túng trong việc xác định hiệu, tỉ số của dạng bài toán này. - Học sinh còn thiếu tự tin trong việc tìm cách giải, còn bị hạn chế trong việc lựa chọn các phép tính giải. - Các em chưa chú ý đến khâu kiểm tra, thường coi rằng bài toán đã giải xong khi tìm được câu lời giải, tính được đáp số bài toán. - Trong quá trình giải toán, học sinh còn coi nhẹ một số bước như: Tìm hiểu đề bài, nhận dạng bài toán, lập kế hoạch, trình bày bài giải, kiểm tra cách giải bài toán nên nhiều học sinh mắc những lỗi không đáng có. Đây là những nguyên nhân cơ bản ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng giải toán của học sinh. Khắc phục được những nguyên nhân trên có ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc nâng cao chất lượng môn Toán Tiểu học, nhằm thực hiện mục tiêu đào tạo con người mới, năng động, tự chủ, sáng tạo. 3/22
4. Ở phạm vi đề tài này, tôi xin trình bày một số giải pháp Rèn kĩ năng giải bài toán “Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 4. Trên cơ sở phát huy những gì đã đạt được và khắc phục những thiếu sót, chưa hợp lí nhằm giúp học sinh giải toán thật tốt, thật hiệu quả dạng bài toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó. II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 1. Khắc sâu các từ “chìa khóa” (thuật ngữ Toán học) để hiểu nội dung và nhận dạng bài toán . Các từ “chìa khóa” trong các đề bài toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó thường được gợi ra hiệu và tỉ số của hai số. Giáo viên cần chú ý giúp học sinh đọc, hiểu đúng những từ “chìa khóa” và hiểu đúng đề bài để giải đúng bài toán. Ví dụ : Những từ “chìa khóa” trong các đề bài toán lời văn dạng này thường gặp là : Hiệu hai số là , hai số có hiệu là , biết hiệu hai số là ,số lớn hơn số bé là , số bé kém số lớn là , giảm số lớn đơn vị thì được số bé, tăng số bé đơn vị thì được số lớn; tỉ số của hai số đó là , số bé bằng phần số lớn, số lớn gấp lần số bé, giảm số lớn lần thì được số bé, gấp( tăng ) số bé lần thì được số lớn, thương của hai số là . Việc đọc kĩ đề bài, nắm vững các từ “chìa khóa” để hiểu nội dung và nhận dạng bài toán có vai trò rất quan trọng với học sinh . Vì khi nhận được dạng bài toán, học sinh sẽ biết cách tóm tắt và tìm ra cách giải bài toán. 2. Xây dựng thói quen đọc kĩ đề bài để tìm ra mối liên quan giữa dữ kiện và ẩn số của bài toán. - Trước hết muốn tìm hiểu đề bài, cần hiểu rõ cách diễn đạt bằng lời văn của bài toán, các bài toán dưới dạng một bài văn viết, thường xen trộn 3 thứ ngôn ngữ: Ngôn ngữ tự nhiên, thuật ngữ toán học và ngôn ngữ kí hiệu (chữ số, các dấu phép tính, các dấu quan hệ và dấu ngoặc) nên việc hướng dẫn đọc và hiểu đề bài toán rất quan trọng giúp các em sử dụng được ngôn ngữ kí hiệu, hiểu được nghĩa của các thuật ngữ và kí hiệu sử dụng. - Để kiểm tra học sinh đọc và hiểu đề bài toán, giáo viên nên yêu cầu học sinh nhắc lại nội dung đề bài, không phải học thuộc lòng mà bằng cách diễn tả của mình, học sinh đã nhập tâm đề bài toán để tập trung suy nghĩ tìm cách giải. - Mỗi bài toán đều có 3 yếu tố cơ bản: Dữ kiện là những cái đã cho đã biết trong đề bài, những ẩn số là những cái chưa biết và cần tìm (các ẩn số được diễn đạt dưới dạng câu hỏi của bài toán) và những điều kiện là quan hệ giữa các dữ kiện và ẩn số. Hiểu rõ đề bài là chỉ ra và phân biệt rành mạch 3 yếu tố đó, từng bước thấy được mối liên quan của các yếu tố đó trong việc giải bài toán. 4/22
5. Ví dụ: Một vườn cây có số cây bưởi ít hơn số cây táo là 20 cây, biết số cây bưởi bằng 1 số cây táo. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu cây? 3 Với bài toán trên, khi học sinh đã đọc và hiểu kĩ đề bài, biết dựa vào từ “chìa khóa” để nhận ra dạng bài toán. Giáo viên giúp học sinh xác định: + Cái đã cho (dữ kiện): Số cây bưởi ít hơn số cây táo là 20 cây và số cây bưởi bằng số cây táo. + Cái cần tìm (ẩn số): Mỗi loại có bao nhiêu cây? Trên cơ sở phân biệt rõ cái đã cho (Số cây bưởi ít hơn số cây táo là 20 cây và số cây bưởi bằng 1 số cây táo), cái cần tìm (Mỗi loại có bao nhiêu cây?). 3 Học sinh có thể tóm tắt bài toán như sau: Tóm tắt : ? cây Táo 20 cây Bưởi ? cây Từ sơ đồ trên, học sinh đã biết thể hiện đề bài toán một cách ngắn gọn và cô đọng nhất. Đây là một bước quan trọng giúp học sinh tìm ra cách giải bài toán. Giáo viên tập cho học sinh có thói quen từng bước phân biệt và xác định được các dữ kiện cần thiết liên quan đến câu hỏi, phát hiện được các dữ kiện không tường minh (ẩn đi), để hiểu chúng một cách rõ ràng hơn. Tóm lại: Để học sinh có thói quen đọc kĩ đề bài, tìm ra mối liên quan giữa dữ kiện và ẩn số của bài toán, giáo viên cần hình thành cho học sinh thói quen tự đặt câu hỏi trước mỗi bài toán: + Bài toán cho biết gì? + Bài toán hỏi gì? + Bài toán thuộc dạng bài toán nào ? + Giữa câu hỏi và dữ kiện của bài toán có mối liên quan gì? + Ta phải giải bài toán này như thế nào? hay bài toán cần giải qua mấy bước? đó là những bước nào? Khi học sinh đã có thói quen như vậy sẽ tìm ra cách giải bài toán không còn là khó khăn nữa. 5/22
6. 3. Hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải bài toán - Khi học sinh đọc đề bài, tự đặt câu hỏi tìm hiểu đề bài để biết chắc mối liên quan giữa dữ kiện và câu hỏi của bài toán, nhận ra dạng bài toán đã học, học sinh sẽ biết lập kế hoạch và giải được bài toán. Ví dụ: Một vườn cây có số cây bưởi ít hơn cây táo là 20 cây, biết số cây bưởi bằng 1 số cây táo. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu cây? 3 * Học sinh tự đặt câu hỏi và trả lời: - Bài toán cho biết gì? (Số cây bưởi ít hơn cây táo là 20 cây và số cây bằng 1số cây táo). 3 - Bài toán hỏi gì? ( Mỗi loại có bao nhiêu cây? ) - Bài toán thuộc dạng bài toán nào?( Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó ) * Lập kế hoạch giải bài toán: + Bước 1: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng + Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau. + Bước 3: Tính số cây bưởi ( hoặc số cây táo) + Bước 4 : Tính số cây táo ( hoặc số cây bưởi) Trong các đề bài toán dạng Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó, bên cạnh phần lớn các bài toán dành cho hầu hết học sinh có thể làm được, còn có một số bài toán mà các dữ kiện thường nhiều hơn, phức tạp hơn, nhiều khi không được đưa ra trực tiếp hoặc tường minh, khi học sinh đặt câu hỏi để biết chắc mối liên quan giữa dữ kiện và câu hỏi của bài toán, nhận ra dạng bài toán đã học, cần lập kế hoạch thể hiện các bước giải và tìm lời giải cho bài toán. Học sinh biết cách lập kế hoạch giải bài toán sẽ giúp các em không chỉ nhớ cách làm bài, tìm ra đáp số đúng của bài toán mà còn có câu lời giải chính xác. 4. Hướng dẫn học sinh trình bày bài giải bài toán và kiểm tra kết quả * Trình bày bài giải bài toán Quá trình tìm hiểu đề bài, lập kế hoạch giải bài toán và tìm lời giải cho bài toán sẽ trợ giúp đắc lực cho phần trình bày bài giải. Dựa vào kế hoạch giải bài toán, học sinh có thể tìm được câu lời giải phù hợp với phép tính giải. Thực hiện cách giải bài toán bao gồm việc thực hiện các phép tính đã nêu trong kế hoạch giải bài toán và trình bày bài giải. Theo chương trình toán hiện hành và chương trình VNEN, thì mô hình trình bày bài giải toán lớp 4 đều được thể hiện như sau: Mỗi phép tính, mỗi biểu thức đều phải kèm theo câu lời giải, cuối cùng là đáp số của bài toán: 6/22
7. Ví dụ: Một vườn cây có số cây bưởi ít hơn cây táo là 20 cây, biết số cây bưởi bằng 1 số cây táo. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu cây? 3 Học sinh có thể trình bày bài giải theo các cách sau: Bài giải Cách 1: Ta có sơ đồ : ? cây Táo 20 cây Bưởi ? cây Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Số cây bưởi là: 20 : 2 = 10 ( cây) Số cây táo là: 10 x 3 = 30 ( cây) Đáp số: 10 cây bưởi, 30 cây táo. ( Sau khi tính số cây bưởi, dựa vào tỉ số để tính số cây táo ). Cách 2: Ta có sơ đồ : ? cây Táo 20 cây Bưởi ? cây Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Số cây táo là: 20 : 2 x 3 = 30 ( cây) 7/22
8. Số cây bưởi là: 30 : 3 = 10 ( cây) Đáp số: 10 cây bưởi, 30 cây táo. ( Sau khi tính số cây táo, dựa vào tỉ số để tính số cây bưởi ). Cách 3: Ta có sơ đồ : ? cây Táo 20 cây Bưởi ? cây Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Số cây táo là: 20 : 2 x 3 = 30 ( cây) Số cây bưởi là: 30 – 20 = 10 ( cây) Đáp số: 10 cây bưởi, 30 cây táo. ( Sau khi tính số cây táo, dựa vào hiệu để tính số cây bưởi ). Cách 4: Ta có sơ đồ : ? cây Táo 20 cây Bưởi ? cây Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Số cây bưởi là: 20 : 2 = 10 ( cây) Số cây táo là: 10 + 20 = 30 ( cây) Đáp số: 10 cây bưởi, 30 cây táo. 8/22
9. ( Sau khi tính số cây bưởi, dựa vào hiệu để tính số cây táo). Học sinh biết cách giải bài toán sẽ tìm được câu lời giải đúng, lựa chọn được phép tính phù hợp câu lời giải, danh số hợp lí. * Kiểm tra cách giải bài toán: - Học sinh thường cho rằng bài toán đã giải xong, khi đã tìm được câu lời giải, phép tính, đáp số . Vì vậy nhiều khi kết quả là giải sai bài toán. Kiểm tra cách giải và kết quả bài toán là yêu cầu không thể thiếu khi giải toán, và phải trở thành thói quen đối với học sinh ngay từ Tiểu học. - Ở lớp 4, cần tập cho học sinh biết nhìn lại toàn bộ bài giải, nhìn lại phương pháp giải bài toán (yêu cầu cao hơn ở lớp 3) để vừa kiểm tra kết quả bài giải vừa nắm vững thêm cách giải. - Chú ý từng bước rèn cho học sinh có thói quen tự soát lại bài giải và suy nghĩ về tính hợp lí của cách giải đã chọn, tìm ra những chỗ dài dòng, chưa hợp lí để tìm cách sửa lại, đặc biệt tạo cho học sinh có thói quen tự hỏi:" Có câu lời giải khác không?, có thể giải bằng cách khác không ?". Tìm được cách giải khác một mặt tạo điều kiện phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo, suy nghĩ độc lập của học sinh mặt khác giúp học sinh vừa kiểm tra kết quả vừa nắm vững cách giải bài toán. - Trao đổi với các bạn cùng nhóm để một lần nữa khẳng định cách làm của mình là đúng hay còn sai ở phần nào, bước nào, học tập cách giải hay của bạn * Các hình thức thực hiện kiểm tra cách giải bài toán: - Giải bài toán bằng cách khác: Học sinh có thể giải bài toán bằng cách khác để kiểm tra kết quả hoặc đối chiếu kết quả với cách giải khác của bạn (Nếu cách giải khác nhau mà có cùng kết quả thì khả năng đúng là rất cao, còn hai cách có kết quả khác nhau thì một trong hai cách đã giải sai cần phải xem lại cả hai cách để khẳng định cách làm đúng và sửa lại cách làm sai). - Xét tính hợp lí của đáp số và dữ kiện của bài toán. Ví dụ: Khi tìm được đáp số bài toán Một vườn cây có số cây bưởi ít hơn cây táo là 20 cây, biết số cây bưởi bằng 1 số cây táo. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu 3 cây? là 10 cây bưởi, 30 cây táo .Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kiểm tra lại kết quả: Số cây táo hơn số cây bưởi là: 30 – 10 = 20 ( quả ) Tỉ số giữa số cây bưởi và số cây táo là: 10 : 30 = 1 3 Đối chiếu với dữ kiện của bài toán thấy đúng . Như vậy là bài toán đã giải đúng. Còn nếu đáp số không hợp lí với dữ kiện của đề bài là bài toán đã giải sai. 9/22
10. - Trao đổi,tranh luận với bạn về cách giải và kết quả bài toán để khẳng đinh kết quả đúng hay sai, tìm thêm cách giải khác. - Kiểm tra lại các bước giải bài toán, câu lời giải có hợp lí với phép tính giải không?, phép tính giải có đúng ý nghĩa bài toán không?, làm tính có đúng không? 5. Tổ chức cho học sinh rèn luyện giải toán 5.1 Giúp học sinh nắm vững quá trình giải toán và có kĩ năng giải toán - Giúp học sinh nắm chắc các bước giải toán và rèn luyện thực hiện các bước đó một cách thành thạo. - Giúp học sinh có kĩ năng nhận dạng các bài toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó bằng cách : + Hướng dẫn học sinh đọc và tìm hiểu kĩ đề bài. + Cho học sinh phân tích mối liên quan giữa câu hỏi và dữ kiện của bài toán để nhận ra dạng bài toán. + Xác định được hiệu và tỉ số của hai số. (Tỉ số của hai số có thể là phân số, cũng có khi ở dạng lời văn). + Cho học sinh thực hành giải toán theo từng dạng bài. 5.1.1 Tỉ số dưới dạng phân số 3 Bài toán 1: Hiệu của hai số là 85 . Tỉ số của hai số đó là . Tìm hai số đó. 8 * Hướng dẫn học sinh tự đọc đề bài, đặt câu hỏi và trả lời, lập kế hoạch giải bài toán: + Bài toán cho biết gì ? ( Bài toán cho biết hiệu của hai số là 85 . Tỉ số của 3 hai số đó là phân số ) 8 + Bài toán hỏi gì? ( Tìm hai số đó) + Bài toán này thuộc dạng toán nào ? (Bài toán thuộc dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó ). + Hiệu của hai số phải tìm là bao nhiêu ? (Hiệu của hai số là 85 ). 3 + Tỉ số của hai số đó là bao nhiêu ? (Tỉ số giữa hai số là ) . 8 3 - Tỉ số cho biết gì? (Số bé là 3 phần bằng nhau thì số lớn là 8 phần như thế ). 8 + Bước 1: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng dựa vào hiệu và tỉ số. + Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau dựa vào sơ đồ. + Bước 3: Tìm giá trị của một phần + Bước 4: Tìm số bé, số lớn. 10/22
11. * Trình bày bài giải: Bài giải. Ta có sơ đồ: ? 85 ? Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 8 – 3 = 5(phần). Giá trị của một phần là: 85 : 5 = 17 Số bé là: 17 x 3 = 51. Số lớn là: 51 + 85 = 136. Đáp số: Số bé : 51 Số lớn : 136 Lưu ý: Nếu số bé tương ứng với một phần thì tìm số bé trước, bỏ qua bước tìm giá trị của một phần, còn nếu số bé tương ứng với từ hai phần trở lên thì tìm giá trị của một phần rồi mới tìm hai số sẽ tránh được lỗi sai không gấp số cần tìm lên số phần của số đó. Khi học sinh đã giải thành thạo thì có thể làm gộp phép tính ở bất kì bước nào. * Cho học sinh thực hành giải thêm nhiều bài cùng dạng với mức độ khó tăng dần theo các bước trên: Bài toán 2: Kho thứ nhất chứa nhiều hơn kho thứ hai 125 tấn thóc,trong đó số 3 thóc kho thứ nhất bằng số thóc kho thứ hai. Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn 2 thóc? 1 Bài toán 3: Tìm hai số khi biết hiệu của chúng là 54 và tỉ số của chúng là 10 1 (hoặc số thứ nhất bằng số thứ hai). 10 Bài toán 4: Nhà trường mới nhận một số sách Tiếng Việt và sách Toán. Trong 1 đó sách Tiếng Việt nhiều hơn sách Toán là 480 quyển và số sách Toán bằng số 5 sách Tiếng Việt. Hỏi nhà trường nhận bao nhiêu quyển sách Tiếng Việt và sách Toán? 11/22
12. 1 1 Bài toán 5: Hiệu của hai số là 639. Biết của số thứ nhất thì bằng của số thứ 4 7 hai. Tìm hai số đó.(tỉ số của hai số ẩn dưới dạng mẫu số của 2 phân số). 5.1.2 Tỉ số dưới dạng lời văn Bài toán 1: Trong kỳ thi học sinh giỏi, người ta thấy rằng cứ 5 bạn thì có 2 bạn gái còn lại là bạn trai. Hỏi trong kỳ thi đó có bao nhiêu bạn gái. Biết rằng số bạn trai hơn số bạn gái là 140 bạn. * Hướng dẫn học sinh tự đọc đề bài, đặt câu hỏi và trả lời, lập kế hoạch giải bài toán (Tương tự bài toán 1 phần 5.1.1) * Hướng dẫn học sinh xác định tỉ số: - Trong 5 bạn thì có 2 bạn gái còn mấy bạn trai? (Có 2 bạn gái và 3 bạn trai). 2 - Tỉ số giữa số bạn gái và số bạn trai là bao nhiêu phần? (Số bạn gái bằng 3 số bạn trai). * Trình bày bài giải: Số bạn trai có trong 5 bạn là: 5 - 2 = 3 (bạn) Tỉ số giữa số bạn gái và số bạn trai là: 2 2 : 3 = 3 Số bạn gái có trong kỳ thi đó là: 140 : (3 – 2) x 2 = 280 (bạn) Đáp số: 280 bạn. Lưu ý : Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán trên, tôi đã hướng dẫn học sinh xác định tỉ số và giải bài toán bằng phương pháp tỉ số để bài giải vừa ngắn gọn, vừa dễ hiểu đối với học sinh. * Cho học sinh thực hành giải thêm nhiều bài cùng dạng: Bài toán 2: Hiệu của hai số bằng 1080. Tìm hai số đó, biết rằng số thứ nhất gấp 7 lần số thứ hai. ( tỉ số của hai số ẩn dưới dạng gấp một số lên nhiều lần ) Bài toán 3: Hiệu hai số là 72. Tìm hai số đó, biết rằng nếu số lớn giảm đi 5 lần thì được số bé.( tỉ số của hai số ẩn dưới dạng giảm một số đi nhiều lần). Bài toán 4: Mẹ hơn con 24 tuổi và tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ, tuổi con? ( tỉ số của hai số ẩn dưới dạng gấp một số lên nhiều lần ). Bài toán 5: Hiện nay, bố Tuấn hơn Tuấn là 48 tuổi. Biết tuổi của Tuấn được bao nhiêu ngày thì tuổi của bố được bấy nhiêu tuần. Tính tuổi của mỗi người. ( tỉ số ẩn dưới dạng mối quan hệ giữa ngày và tuần ) Bài toán 6: Hiệu của hai số là 1280. Thương của hai số là 6. Tìm hai số đó( tỉ số của hai số ẩn dưới dạng thương của hai số ) 12/22
13. Học sinh được thực hành giải các bài toán theo từng dạng sẽ hiểu được nhiều thuật ngữ toán học ẩn trong đó hiệu hay tỉ số của hai số chắc chắn sẽ nắm chắc, nhớ lâu cách giải tiến tới có kĩ năng giải toán tốt hơn. 5.2 Tổ chức thực hành giải toán theo nhóm Để giúp học sinh giải toán có hiệu quả, giáo viên tổ chức thực hành giải toán theo nhóm cho các em theo các bước sau : + Cá nhân học sinh đọc thầm bài toán + Thảo luận nhóm để tìm hiểu đề bài, tóm tắt bài toán, nhận dạng và tìm ra cách giải bài toán. + Trình bày bài giải ra vở. + Thảo luận nhóm để thống nhất kết quả đúng, tìm câu lời giải hay cách giải khác cho bài toán. * Ví dụ: Học sinh thảo luận nhóm để tìm hiểu đề bài, nhận dạng bài toán , tóm tắt và tìm ra cách giải bài toán, tìm câu lời giải khác, cách giải khác cho hai bài toán sau: Bài toán 1: Tuấn nuôi nhiều hơn Lan 14 con gà, số gà của Tuấn gấp 3 lần số gà của Lan. Hỏi mỗi bạn nuôi mấy con gà? Học sinh có thể tìm ra các cách giải sau: Bài giải Cách 1: Ta có sơ đồ : ? con Số gà của Tuấn | | | | Số gà của Lan | | 14 con ? con Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Số gà của Lan là: 14 : 2 = 7 (con) Số gà của Tuấn là: 7 x 3 = 21 (con) Đáp số: Lan: 7 con gà; Tuấn: 21 con gà (Sau khi tính số gà của Lan, dựa vào tỉ số để tính số gà của Tuấn ). 13/22
14. Cách 2: Ta có sơ đồ : ? con Số gà của Tuấn | | | | Số gà của Lan | | 14 con ? con Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Số gà của Tuấn là: 14 : 2 x 3 = 21 (con) Số gà của Lan là: 21 : 3 = 7 (con) Đáp số: Lan: 7 con gà; Tuấn: 21 con gà ( Sau khi tính số gà của Tuấn, dựa vào tỉ số để tính số gà của Lan). Cách 3: Ta có sơ đồ : ? con Số gà của Tuấn | | | | Số gà của Lan | | 14 con ? con Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Lan có số gà : 14 : 2 = 7 (con) Tuấn có số gà là: 7 + 14 = 21 (con) Đáp số: Lan: 7 con gà; Tuấn: 21 con gà (Sau khi tính số gà của Lan , dựa vào hiệu để tính số gà của Tuấn , chọn câu lời giải khác cho phép tính). 14/22
15. Cách 4: Ta có sơ đồ : ? con Số gà của Tuấn | | | | Số gà của Lan | | 14 con ? con Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 - 1 = 2 (phần) Số gà của Tuấn là: 14 : 2 x 3 = 21 (con) Số gà của Lan là: 21 – 14 = 7 (con) Đáp số: Lan: 7 con gà; Tuấn: 21 con gà (Gộp bước tìm giá trị của một phần, sau khi tính số gà của Tuấn, dựa vào hiệu để tính số gà của Lan). Cách 5 : Ta có sơ đồ : ? con Số gà của Tuấn | | | | Số gà của Lan | | 14 con ? con Số gà của Lan là: 14 : (3 – 1) = 7 (con) Số gà của Tuấn là: 7 x 3 = 21 (con) Đáp số: Lan: 7 con gà; Tuấn: 21 con gà ( Gộp bước hiệu số phần bằng nhau ). Bài toán 2: Cách đây hai năm, con lên 5 và kém cha 30 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi cha gấp 3 lần tuổi con? Học sinh có thể tìm ra các cách giải sau: Bài giải 15/22
16. Cách 1: Khi cha gấp 3 lần tuổi con, cha vẫn hơn con 30 tuổi, ta có sơ đồ : ? tuổi Tuổi con 30 tuổi Tuổi cha ? tuổi Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 – 1 = 2 ( phần ) Tuổi con lúc cha gấp 3 lần tuổi con là: 30 : 2 = 15 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 5 + 2 = 7 (tuổi) Thời gian từ nay đến khi cha gấp 3 lần tuổi con là: 15 - 7 = 8 (năm) Đáp số: 8 năm - Thảo luận nhóm để thống nhất kết quả đúng và tìm câu lời giải khác (hoặc cách giải khác) cho bài toán. Cách 2: Khi cha gấp 3 lần tuổi con, cha vẫn hơn con 30 tuổi, ta có sơ đồ : ? tuổi Tuổi con 30 tuổi Tuổi cha ? tuổi Tuổi con lúc cha gấp 3 lần tuổi con là: 30 : (3 – 1) = 15 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 5 + 2 = 7 (tuổi) Thời gian từ nay đến khi cha gấp 3 lần tuổi con là: 15 - 7 = 8 (năm) Đáp số: 8 năm Cách 3: Khi cha gấp 3 lần tuổi con, cha vẫn hơn con 30 tuổi, ta có sơ đồ : ? tuổi Tuổi con 30 tuổi Tuổi cha ? tuổi 16/22
17. Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 3 – 1 = 2 ( phần ) Tuổi cha lúc cha gấp 3 lần tuổi con là: 30 : 2 x 3 = 45 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 5 + 2 = 7 (tuổi) Tuổi cha hiện nay là: 30 + 7 = 37 (tuổi) Thời gian từ nay đến khi cha gấp 3 lần tuổi con là: 45 - 37 = 8 (năm) Đáp số: 8 năm Lưu ý: Cần biết lựa chọn cách giải ngắn gọn nhất, nhanh nhất. Để giúp học sinh giải toán, giáo viên phải khêu gợi hứng thú, động lực học tập của học sinh, giáo viên là người tổ chức hướng dẫn học sinh, mọi học sinh đều tham gia tích cực , phát triển năng lực cá nhân, có kĩ năng thực hành tốt. 5.3 Hình thành năng lực khái quát hóa kĩ năng giải toán cho học sinh: Hình thành năng lực khái quát hoá và kĩ năng giải toán, rèn luyện năng lực sáng tạo trong giờ học cho học sinh bằng một vài giải pháp sau: 5.3.1 Giải các bài toán nâng dần mức độ phức tạp trong mối liên quan giữa các số đã cho và số phải tìm, hoặc dữ kiện của bài toán. Ví dụ: Hiện nay, bố Tuấn hơn Tuấn là 48 tuổi. Biết tuổi của Tuấn được bao nhiêu ngày thì tuổi của bố được bấy nhiêu tuần. Tính tuổi của mỗi người. (tỉ số ẩn dưới dạng mối quan hệ giữa ngày và tuần) Học sinh phải biết chỉ ra dữ kiện đã biết, chưa biết, dữ kiện ẩn đi cần phải chỉ ra, mối liên quan giữa các số đã cho và số phải tìm để tìm ra dạng bài, cách giải bài toán. 5.3.2 Giải bài toán bằng nhiều cách giải khác nhau. Ví dụ: Bài toán 1, 2 phần 5.2. Sau khi học sinh tìm ra nhiều cách giải khác nhau, giáo viên giúp học sinh nhận ra về cơ bản phải đảm bảo các bước giải dạng toán Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó, có thể thay câu lời giải khác có nội dung hợp lí với phép tính, thay phép tính giải khác dựa vào dữ kiện của bài toán. 5.3.3 Lập bài toán tương tự với bài toán đã giải. Ví dụ: Sau khi giải xong đề toán “Mẹ hơn con 24 tuổi và tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ, tuổi con?”, có thể cho học sinh làm bài tập sau: Điền số thích hợp vào chỗ chấm rồi giải bài toán sau: Bố hơn con tuổi và tuổi bố gấp .lần tuổi con. Tính tuổi bố, tuổi con? ( Bài toán này giúp học sinh phải tìm ra mối liên quan giữa hiệu và tỉ số tuổi của hai bố con để điền vào chỗ trống thì bài toán mới giải được - hiệu số tuổi của hai bố con phải là một số chia hết cho hiệu số phần bằng nhau) 17/22
18. 5.3.4 Lập bài toán theo tóm tắt hoặc sơ đồ minh hoạ. Ví dụ: Lập bài toán theo tóm tắt sau, rồi giải bài toán đó: ? quyển Sách Tiếng Việt | | | | | | Sách Toán | | 600 quyển ? quyển Bài này yêu cầu học sinh dựa vào sơ đồ để đặt đề toán rồi giải bài toán . Giáo viên cần giúp học sinh biết quan sát sơ đồ, đọc nội dung bài toán trên sơ đồ để thấy được dữ kiện bài toán đã cho (Sách Tiếng Việt nhiều hơn sách Toán là 600 quyển và sách Tiếng Việt gấp sách Toán 5 lần ), cần tính (Số sách Tiếng Việt, số sách Toán. Từ đó chọn câu văn phù hợp để đặt một đề toán. 5.3.4 Phân biệt với dạng toán khác Ví dụ: Em hãy đọc và cho biết bài toán nào dưới đây là bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó và giải bài toán đó? Bài toán 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 m, chiều rộng 1 bằng chiều dài. Tính diện tích mảnh vườn đó. 5 Bài toán 2: Chiều dài của mảnh vườn gấp 5 lần chiều rộng và hơn chiều rộng 80 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó. Bài toán 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 120 m và chiều dài hơn chiều rộng 80 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó. - Học sinh phải đọc kĩ 3 đề bài. - Phân tích đề bài để nhận ra dạng bài toán theo yêu cầu của bài tập. - Giải bài toán đó. Bài này giúp học sinh phân biệt và nhận dạng ba bài toán “ Tổng- tỉ” , “ Hiệu - tỉ”, “ Tổng – Hiệu” và cách giải bài toán“ Hiệu - tỉ”. 6. Tích cực hóa hoạt động của người học 6.1 Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác Trong các phương pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học. Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, kỹ năng, thói quen, ý chí tự học thì tạo ra cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi người, kết quả học tập sẽ được nhân lên. Vì vậy, giáo viên cần nhấn mạnh mặt hoạt động học trong quá trình dạy, nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập bị động sang học tập chủ động, đặt vấn đề phát triển tự học ngay từ bậc Tiểu học, không chỉ tự học ở 18/22
19. nhà sau bài lên lớp mà tự học cả trong tiết học có sự hợp tác của bạn và hướng dẫn của thầy cô. Trong một lớp học mà trình độ kiến thức tư duy của học sinh không thể đồng đều tuyệt đối thì khi áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp nhận sự phân hoá về trình độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học được thiết kế thành một chuỗi hoạt động độc lập. Tuy nhiên, trong học tập, không phải mọi tri thức, kỹ năng, thái độ đều được hình thành bằng những hoạt động độc lập cá nhân. Lớp học là môi trường giao tiếp giữa thầy và trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đường chiếm lĩnh nội dung học tập. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới. Bài học vận dụng được hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi học sinh và của cả lớp chứ không phải dựa trên vốn hiểu biết và kinh nghiệm của thầy cô giáo. Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức theo nhóm, tổ, lớp. Được sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động hợp tác trong nhóm 2 đến 6 người. Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập nhất là lúc giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung. Trong hoạt động theo nhóm nhỏ sẽ không thể có hiện tượng ỷ lại, tính cách năng lực của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn , phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ. Mô hình hợp tác trong lớp học sẽ làm cho các thành viên quen dần với sự phân công hợp tác trong học tập và mọi hoạt động ở trường. 6.2 Kết hợp đánh giá của thầy và sự đánh giá của trò Trong dạy học đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động của học sinh mà còn đồng thời tạo điều kiện nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy. Trước đây giáo viên giữ độc quyền đánh giá học sinh. Trong phương pháp tích cực, giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh phát triển kỹ năng tự tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tham gia đánh giá lẫn nhau. Tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt động kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho học sinh. Theo hướng phát triển các phương pháp tích cực để đào tạo những con người năng động sớm thích nghi với đời sống xã hội, thì việc kiểm tra, đánh giá không thể chỉ dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kỹ năng đã học mà phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo trong giải quyết các vấn đề thực tế. 19/22
20. Với sự trợ giúp của các thiết bị kỹ thuật, kiểm tra, đánh giá sẽ không còn là một công việc nặng nhọc đối với giáo viên, mà lại cho nhiều thông tin kịp thời để linh hoạt điều chỉnh hoạt động dạy, chỉ đạo hoạt động học. Từ dạy và học thụ động sang dạy và học tích cực, giáo viên không còn đóng vai trò đơn thuần là người truyền đạt kiến thức mà trở thành người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn hoạt động độc lập theo nhóm nhỏ để học sinh tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt các mục tiêu kiến thức, kỹ năng , thái độ theo yêu cầu của chương trình.Trên lớp, học sinh hoạt động là chính, giáo viên có vẻ nhàn nhã.Để đạt được điều đó, giáo viên phải đầu tư công sức thời gian rất nhiều so với kiểu dạy và học thụ động mới có thể tổ chức, hướng dẫn các hoạt động của học sinh mà nhiều khi diễn biến ngoài tầm dự kiến của giáo viên. III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN: Sau một thời gian nghiên cứu và áp dụng đề tài vào quá trình dạy học tại lớp 4 năm học 2014 – 2015, tôi thấy rằng chất lượng môn Toán của lớp được nâng lên.Về giải toán đã khắc phục được cơ bản những tồn tại và thực trạng của học sinh. Học sinh đã có một số kĩ năng khi giải toán. Khi làm bài, học sinh đã tránh được một số sai sót, nhầm lẫn thường gặp và làm bài nhanh hơn, chính xác hơn. Để biết được mức độ kiến thức học sinh nắm được, tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra như sau: Đề bài: 1. Một cửa hàng bán được số hộp kẹo nhiều hơn số hộp bánh là 8 hộp, 4 trong đó số hộp kẹo bằng số hộp bánh. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu hộp 3 mỗi loại ? 2. Mẹ hơn con 27 tuổi. Sau 3 năm nữa tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi của mỗi người hiện nay. * Kết quả : Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm dưới 5 SL - % SL - % SL-% SL - % Trước khi 16 = 36,4 % 14 = 31,8 % 10 = 22,7% 4 = 9,1 % thực hiện Sau khi 29 = 65,9 % 10 = 22,7% 5 = 11,4 % 0 thực hiện So sánh đối Tăng Giảm Giảm Giảm chứng 13 = 29,5% 4 = 9,1 % 5 = 11,4 % 4 = 9,1 % 20/22
21. C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN - Kết quả nghiên cứu và thực hiện của đề tài tuy còn hạn hẹp, mới chỉ là kết quả nghiên cứu và thực hiện trong năm học 2014 - 2015, là những kinh nghiệm của bản thân và quá trình tự học hỏi, song tôi nhận thấy đề tài đã giúp cho học sinh có kĩ năng giải toán, nâng cao chất lượng môn Toán cho học sinh của lớp, góp phần nâng cao chất lượng môn Toán của trường . - Dạy học giải toán thực sự là "hòn đá thử vàng" của dạy học toán, là một yêu cầu quan trọng trong yêu cầu chung của môn Toán. Việc vận dụng, tìm kiếm những biện pháp dạy học giải toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó cho học sinh lớp 4 là mong muốn của những người giáo viên trực tiếp giảng dạy và những người quan tâm đến giáo dục, đặc biệt là giáo dục Tiểu học. - Giúp học sinh giải toán tốt ở lớp 4 có vị trí hết sức quan trọng vì nó là cầu nối logic của môn Toán từ lớp đầu cấp đến các lớp cuối cấp với yêu cầu ngày một cao hơn. - Để rèn kĩ năng giải toán Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó cho học sinh ở lớp 4, học sinh cần tích cực hợp tác học tập, người giáo viên phải phát huy khả năng, năng lực của mình, huy động sự hỗ trợ của đồng nghiệp, của nhà trường, của phụ huynh học sinh, cùng phối hợp thực hiện. II. CÁC ĐỀ XUẤT VÀ KHUYẾN NGHỊ Với điều kiện, thời gian nghiên cứu triển khai đề tài còn ít nhưng tôi cũng hi vọng sự đóng góp nhỏ bé của đề tài được góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán lớp 4 ở trường Tiểu học . Do kinh nghiệm và năng lực của bản thân còn có những mặt hạn chế nhất định nên đề tài của tôi sẽ còn có thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp và các cấp lãnh đạo để đề tài tiếp tục triển khai có chất lượng tốt hơn nữa. Tôi xin chân thành cảm ơn! 21/22
22. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách Hướng dẫn Toán 4 (Thử nghiệm – chương trình VNEN) - Nhà xuất bản Giáo dục. 2. Sách giáo khoa Toán 4- Nhà xuất bản Giáo dục. 3.Bài tập phát triển Toán 4- Nhà xuất bản Giáo dục. 4.Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4 - Nhà xuất bản Giáo dục. 5. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4 - 5 6. Cùng em học Toán 4- Nhà xuất bản Hà Nội. 7. Sách bài tập nâng cao Toán 4- Nhà xuất bản Giáo dục. 8. Sách giáo viên Toán lớp 4 - Nhà xuất bản Giáo dục. 9. Sách thiết kế Toán lớp 4 - Nhà xuất bản Giáo dục. 10. Đổi mới phương pháp dạy học Tiểu học (Modunle 6, Dự án phát triển giáo viên Tiểu học). 11. Hỏi đáp về dạy học Toán 4. 12. Một số tập san Giáo dục. 13. Phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học- Nhà xuất bản Giáo Dục năm 2000 14. Phương pháp giải Toán ở Tiểu học - Nhà xuất bản Giáo dục 15. 100 câu hỏi và giải đáp về việc dạy Toán ở Tiểu học - Nhà xuất bản Giáo Dục 22/22