Chuyên đề Giải phương trình bậc cao

Nội dung text: Chuyên đề Giải phương trình bậc cao

1. TRƯỜNG THCS TRUNG THẠNH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TỔ TOÁN - TIN Độc lập – Tự do – Hạnh phúc BIÊN BẢN Báo cáo chuyên đề giải phương trình bậc cao * Thời gian: Lúc giờ phút ngày * Địa điểm: Phòng bộ môn * Thành phần tham dự: - BGH: - Giáo viên Tổ: Tập thể tổ Toán - Tin - Vắng : 00 Lý do: * Thư ky: Đoàn Thị Huyền Trang I. Nội dung: GV: Tổ trưởng tuyên bố lí do. NỘI DUNG BÁO CÁO * Chuyên đề : giải phương trình bậc cao Người thục hiện: Đỗ Hữu Lập. CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Lời nói đầu: Nói chung là không có phưong pháp tổng quát chung nào để giải tất cả các phương trình bậc cao. Tùy dạng phương trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phương pháp giải riêng thích hợp, qua nhiều năm giảng dạy tôi đút ra được một số kinh nghiệm hôm nay tôi mạnh dạn nêu một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt và cách giải để chúng ta cùng thảo luận, chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm với nhau qua đó chúng ta có thể tìm một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt khác và cách giải những phương trình đó. Gồm 9 dạng: 1 . PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: 3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC : 4. PHƯƠNG TRÌNH TAM THỨC 5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 6. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG (phương trình thuận nghịch) 7. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = mx 2 (Trong đó ab = cd) - 1 -
2. 8. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: (x - a)4 + (x - b)4 = c 9. CÁC PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Sau đây chúng ta lần lượt khai thác từng dạng DẠNG 1 : PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: Phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) Cách giải: Đặt x2 = y (Điều kiện y 0). Phương trình trở thành: ay2 + by + c = 0 Giải phương trình này, sau đó đối chiếu nghiệm với điều kiện để lấy giá trị của ẩn y và từ đó thay trở lại để tìm x. * Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau : 1). x4 - 2x2 - 8 = 0 2). 4x4 - 5x2 - 9 = 0 3). 9x4 + 2x2 - 32 = 0 4). 36x4 - 13x2 + 1 = 0 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: Là phương trình có dạng : A(x).B(x) P(x) = 0 Trong đó A(x); B( x ); ;P( x) là các đa thức chứa biến x. Cách giải : Tìm nghiệm của từng đa thức . Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5x3 - 6x2 - 2x + 3 = 0 Giải Nhận xét : Nếu phương trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ước của 3. Ta thấy đa thức 5x3 - 6x2 - 2x + 3 có nghiệm nguyên x = 1. Vậy khi phân tích đa thức này thành nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1. 5x3 - 6x2 - 2x + 3 = 0 5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + 3 = 0 (x - 1)(5x2 - x - 3) = 0 x - 1 = 0 hoặc 5x2 - x - 3 = 0 1 61 1 61 x = 1 hoặc x = hoặc x = 10 10 1 61 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 1 ; x . 1 2, 3 10 Ví dụ 2: Giải phương trình : x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 Giải Nhận xét : Ta thấy phương trình này không có nghiệm nguyên x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 - 2 -
3. (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) = 0 (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 = 0 (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) = 0 x 2 + 8x + 2 = 0 hoặc x2 + 4x - 2 = 0  x2 + 8x + 2 = 0 x = 4 14 hoặc x = 4 14  x2 + 4x - 2 = 0 x = 2 6 hoặc x = 2 6 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x1 = 4 14 ; x2 = 4 14 ; x3 = 2 6 ; x4 = 2 6 DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC : Cách giải : + Tìm điều kiện xác định của phương trình. + Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu. + Giải phương trình vừa tìm được. + Nghiệm của phương trình đã cho là các giá trị tìm được thỏa mãn điều kiện xác định. DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH TAM THỨC Là phương trình có dạng ax2n + bxn + c = 0 (với a 0; n N) Cách giải : + Dùng phương pháp ẩn số phụ đặt xn = y + Giải phương trình với ẩn y. + Chọn lại nghiệm phù hợp. Ví dụ : Giải phương trình x6 – 7x3 + 6 = 0 Đặt x3 = y , ta có phương trình y2 - 7y + 6 = 0 Phương trình này có hai nghiệm : y1 = 1 ; y2 = 6 Nên phương trình đã cho có hai nghiệm là : 1 và 3 6 . DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ 1 : Giải phương trình (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 0 Giải Đặt x2 + x + 2 = y . Ta có phương trình y2 - 12y + 35 = 0 y = 5 hoặc y = 7 - 3 -
4. 1 13 1 13  Với y = 5 x2 + x - 3 = 0 x = hoặc x = 2 2 1 21 1 21  Với y = 7 x2 + x -5 = 0 x = hoặc x = 2 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: 1 13 1 13 1 21 1 21 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2 2 2 2 Ví dụ 2: Giải phương trình (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 3 = 0 Giải Đặt x2 + 5x + 5 = y. Ta có phương trình (y - 1)(y + 1) - 3 = 0 y2 = 4 y = 2 hoặc y = -2 5 13 5 13  Với y = 2 x2 + 5x + 3 = 0 x = hoặc x = 2 2  Với y = -2 x2 + 5x + 7 = 0 phương trình này vô nghiệm vì < 0 5 13 5 13 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = ; x = 1 2 2 2 Ví dụ 3 : Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Giải (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 (x2+ 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9 = 0 Đặt x2 + 8x + 11 = y. Ta có phương trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 y2 = 25 y = 5 hoặc y = -5 Với y = 5 x2 + 8x + 6 = 0 x = 4 10 hoặc x = 4 10 Với y = -5 x2 + 8x + 16 = 0 (x + 4)2 = 0 x = -4 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x1 = 4 10 ; x2 = 4 10 ; x3 = -4 BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 3x4 - 22x2 - 45 = 0 ; b) x6 - 9x3 + 8 = 0 - 4 -
5. Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = 0 ; b) x4 + x2 + 6x - 8 = 0 c) x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau a) x(x2 - 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 d) (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) = 9 DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG (phương trình thuận nghịch) Định nghĩa: Phương trình có dạng n n - 1 anx + an - 1x + + a1x + a0 = 0 ( a 0). Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau ( an = a0 ; an-1 = a1; ). Gọi là phương trình đối xứng Nếu n là số chẵn ta gọi là phương trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ. Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình đối xứng a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc 4) b) 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5) 1. Phương trình đối xứng bậc chẵn: n a ) Cách giải: + Chia cả hai vế cho x 2 0 1 + Đặt x + = y (1) x +Biến đổi : k 1 1 k 1 1 k 2 1 x k x x k 1 x k 2 x x x x + Thay giá trị vừa tìm được của y tìm giá trị của x. b) Ví dụ: Giải phương trình sau: 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) (Đối xứng bậc bốn) Giải Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2 0 ta có phương trình: - 5 -
6. 1 2 2x2 + 3x - 16 + 3 + = 0 x x2 2 1 1 2 x 2 3 x - 16 = 0 x x Đặt x 1 2 1 + = y (2) x 2 = y2 - 2 x x 5 2 y Ta có phương trình 2y + 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , 2 5 Thứ tự thay y = -4 và y = 2 vào (2) 1 ta có x = -2 + 3 ; x = -2 - 3 ; x =2 ; x = 1 2 3 4 2 1 c) Lưu ý: Nếu m là nghiệm của phương trình đối xứng bậc chẵn thì m cũng là nghiệm của phương trình đó. 2. Phương trình đối xứng bậc lẻ a) Cách giải : Vì x = -1 luôn là nghiệm của phương trình đối xứng bậc lẻ. Nên phương trình đã cho trở thành phương trình (x + 1).f(x) = 0 Trong đó f(x) = 0 là một phương trình đối xứng bậc chẵn Do đó ta đưa việc giải phương trình đối xứng bâc lẻ về việc giải phương trình đối xứng bậc chẵn f(x) = 0 và phương trình x + 1 = 0 b) Ví dụ: Giải phương trình 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình đối xứng bậc 5 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 (x +1)(2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0 x 1 0 4 3 2 2x x 6x x 2 0 - 6 -
7. Phương trình đối xứng bậc chẵn 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 đã được giải ở trên Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm: 1 x = -2 + 3 ; x = -2 - 3 ; x = 2 ; x = ; x = -1 1 2 3 4 2 5 Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + 1 = 0 ; b) x5 + 2x4 - 3x3 - 3x2 + 2x + 1 = 0 c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = 0 ; c) 6x5 - 29x4 + 27x3 - 29x + 6 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau a) x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0 ; b) x5+ 4x4 + 3x2 - 4x + 1 = 0 c) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = mx2 (Trong đó ab = cd) ab x y a) Cách giải : Đặt x b) Ví dụ : Giải phương trình 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 Hướng dẫn 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 4(x2 + 16x + 60) (x2 + 17x + 60) = 3x2 (1) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x2 0. Ta được phương trình : 60 60 4 x 16 x 17 3 x x 60 Đặt x + 17 + = y x Ta có phương trình 4(y - 1)y - 3 = 0 4y2 - 4y - 3 = 0 1 3 y = hoặc y = 2 2 - 7 -
8. 60 1 60 3 Từ đó ta giải hai phương trình x + 17 + = và x + 17 + = x 2 x 2 Bài tập Bài 4: Giải các phương trình sau: a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x2 b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x2 DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: (x - a)4 + (x - b)4 = c a) Ví dụ: Giải phương trình (x - 6)4 + ( x - 8)4 = 16 Giải 6 8 Đặt x - = x - 7 = y phương trình trở thành 2 (y - 1)4 + (y + 1)4 = 16 y4 + 6y2 - 7 = 0 Đặt y2 = X ( X 0) phương trình trở thành 2 X + 6X - 7 = 0 X1 = 1 ; X2 = -7 (loại) * Với X = 1 y = 1 hoặc y = -1 x = 8 hoặc x = 6. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 8 ; x2 = 6. 4 4 b)Lưu ý :Khi giải phương trình bậc bốn dạng (x a) (x b) c ta a b x y thường đặt ẩn phụ 2 để đưa phương trình đã cho về phương trình trùng phương Bài tập Bài 5: Giải các phương trình a) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 ; b) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 Bài 6: Giải các phương trình a) (x + 1)4 + (x + 5)4 = 40 ; b) ( x- 2)6 - (x - 4)6 = 64 DẠNG 9: CÁC PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC 1). Giải các phương trình: - 8 -
9. 1 2 3 6 1). x 2 5x 6 x 2 8x 15 x 2 13x 40 5 1 1 1 1 2). x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 1 1 1 1 1 3). x 2 5x 6 x 2 7x 12 x 2 9x 20 x 2 11x 30 3 2). Giải các phương trình : x x 5 x 2 ( ) 2 8 x 2 ( ) 2 1). x 1 ; 2). x 1 4 5x 2x x 2 ( ) 2 11 x 2 ( ) 2 12 3). x 5 ; 4). x 2 3). Giải các phương trình : x 1 2 x 1 2 40 1). ( ) ( ) x x 2 9 2 x 2 2 x 2 2 5 x 4 2). ( ) ( ) . 0 x 1 x 1 2 x 2 1 4). Giải các phương trình : x(3 x) 3 x .(x ) 2 1). x 1 x 1 x(5 x) 5 x .(x ) 6 2). x 1 x 1 x(8 x) 8 x .(x ) 15 3). x 1 x 1 5). Giải các phương trình : 2x 7x 1). 1 3x 2 x 2 3x 2 5x 2 4x 3x 2). 1 4x 2 8x 7 4x 2 10x 7 - 9 -
10. 2x 13x 6 3). 2x 2 5x 3 2x 2 x 3 ; 3x 7x 4 4).x 2 3x 1 x 2 x 1 6). Giải các phương trình : 2 2 1). 3x 2x 2 x x 1 x 2 2 2). 3 x x 1 x x 3 x 4x 1 3). 2 4x 1 x x 2 3x 2 4). 3 3x 2 x Các loại phương trình dạng trên đa số đều có chung phương pháp giải là phương pháp: “ĐẶT BIẾN PHỤ” 7). Một số bài tập khác Giải các phương trình sau x 1 x 3 x 5 x 7 1). 65 63 61 59 x 1 x 2 x 3 x 4 2). 58 57 56 55 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 3). 2002 2001 2000 1999 1998 1997 x 11 x 12 x 13 x 67 x 88 x 89 4). 89 88 87 33 12 11 x 241 x 220 x 195 x 170 10 5). 17 19 21 22 x 1 2x 13 3x 15 4x 27 6) 13 15 27 29 - 10 -
11. * Ý kiến thảo luận về việc thực hiện chuyên đề - Thống nhất dạy lớp chọn chương trình toán 9 đưa một số phương pháp vào để phát triển kiến thức cho học sinh khá giỏi giải đươc phương trình bậc cao - BD học sinh giỏi MTCT và Toán lí thuyết, tin học, Violympic Toán sẽ bổ sung chuyên đề vào tài liệu BD Biên bản kết thúc lúc giờ cùng ngày. Tổ trưởng Thư ký Đoàn Thị Như Nguyện Đoàn Thị Huyền Trang DANH SÁCH GIÁO VIÊN DỰ HỌP STT HỌ VÀ TÊN CHỮ KÝ 1 Đoàn Thị Như Nguyện 2 Đỗ Hữu Lập 3 Đỗ Thanh Vũ Thông 4 Nguyễn Thị Cẩm 5 Huỳnh Thị Diễm 6 Lưu Thị Thúy Oanh 7 Huỳnh Văn Lâm 8 Nguyễn Văn Nữa 9 Đoàn Thị Huyền Trang - 11 -